Asíntotas Oblicuas de Funciones Racionales - Interactivo

Una calculadora gráfica en línea para graficar funciones racionales de la forma \( f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + c}{d x + e} \) introduciendo diferentes valores para los parámetros \( a , b , c , d \) y \( e \). Cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, como es el caso de la función \( f \) definida arriba, la gráfica de la función racional tiene una asíntota oblicua que es una recta.

Ejemplo

Encuentre la asíntota oblicua de la función racional dada por \[ f(x) = \dfrac{3 x^2 + 2 x - 1}{ -2 x + 2} \] Siendo una razón de dos polinomios y usando la división de polinomios, la función dada se puede escribir como \[ f(x) = Q(x) + \dfrac{R}{-2x+2} \] donde \( Q(x) \) es el cociente y \( R \) es el resto de la división del numerador por el denominador.

Para la función dada y usando la división de polinomios, tenemos \[ f(x) = Q(x) + \dfrac{R}{-2x+2} = -\dfrac{3x}{2}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{4}{-2x+2} \] A medida que \( x \) aumenta indefinidamente (\( + \infty\) ) o disminuye indefinidamente (\( - \infty\) ), el término \( \dfrac{4}{-2x+2} \) se aproxima a cero y la gráfica de \( f(x) \) estará cerca de la gráfica de la recta \( y = Q(x) = -\dfrac{3x}{2}-\dfrac{5}{2} \) que se llama asíntota oblicua.
Nota que para tener gráficas con asíntotas oblicuas, ambos parámetros \( a \) y \( d \) deben ser diferentes de cero.

Usa la Calculadora Gráfica para Graficar Funciones Racionales y Explorar la Asíntota Oblicua

Introduce valores para los parámetros \( a , b , c , d \) y \( e \) y presiona "Graficar". Se mostrarán la gráfica de \( f \), las asíntotas oblicua y vertical.

Tutoriales Interactivos

Sea la asíntota oblicua con la ecuación: \( y = M x + B \), donde \( M \) es la pendiente y \( B \) es la intersección con el eje y.

1. Use diferentes valores de \( a , b , c , d \) y \( e \) y demuestre que la pendiente \( M \) depende solo de los parámetros \( a\) y \( d \).
2. Use diferentes valores de \( a , b , c , d \) y \( e \) y demuestre que \( B \) no depende del parámetro \( c \).
3. Usando la división de polinomios, se puede demostrar que: \[ M = \dfrac{a}{d} \quad \text{y} \quad B = \dfrac{1}{d}\left(b - \dfrac{e a}{d}\right) \]
4. Use diferentes valores de \( a , b , c , d \) y \( e \); aproxime \( M \) y \( B \) a partir de la gráfica dada por la calculadora gráfica y use las fórmulas anteriores para verificar que los valores de \( M \) y \( B \) dados por la gráfica son cercanos a los dados por las fórmulas.

Ejercicios

Para cada función, encuentre la asíntota oblicua analíticamente y verifique su respuesta gráficamente usando la calculadora gráfica de arriba.

1. \( f(x) = \dfrac{ - x^2 + 2 x - 1}{ - x + 2} \)
   
   
2. \( g(x) = \dfrac{ 2 x^2 + 3 x - 1}{ - 4 x + 2} \)
   
   
3. \( h(x) = \dfrac{ x^2 + 2x + 3 }{ 2x + 2} \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

1. \( y = x \)
   
2. \( y = -\dfrac{x}{2}-1 \)
   
3. \( y = \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2} \)

Más Referencias y Enlaces