Los problemas de conteo se presentan junto con sus soluciones detalladas y explicaciones detalladas.
Principio de conteo
Comencemos introduciendo el principio de conteo usando un ejemplo.
Un estudiante tiene que tomar un curso de física, uno de ciencias y uno de matemáticas. Puede elegir uno de los 3 cursos de física (P1, P2, P3), uno de los 2 cursos de ciencias (S1, S2) y uno de los 2 cursos de matemáticas (M1, M2). ¿De cuántas maneras puede este estudiante seleccionar los 3 cursos que tiene que tomar?
Usemos un diagrama de árbol que muestre todas las opciones posibles. La primera columna de la izquierda muestra las 3 opciones posibles del curso de física: P1, P2 o P3. Luego, la segunda columna muestra las 2 opciones posibles del curso de ciencias y la última columna muestra las 2 opciones posibles para el curso de matemáticas. Las diferentes formas en que se pueden seleccionar los 3 cursos son:
(P1 S1 M1), (P1 S1 M2), (P1 S2 M1), (P1 S2 M2)
(P2 S1 M1), (P2 S1 M2), (P2 S2 M1), (P2 S2 M2)
(P3 S1 M1), (P3 S1 M2), (P3 S2 M1), (P3 S2 M2)
El número total de opciones se puede calcular de la siguiente manera:
Sea n1 el número de opciones del curso de física, aquí n1 = 3. Sea n2 el número de opciones del curso de ciencias, aquí n2 = 2. Sea n3 el número de opciones del curso de matemáticas, aquí n3 = 2 Está claro del diagrama de árbol anterior que el número total N de opciones se puede calcular de la siguiente manera:
N = n1 × n2 × n3
= 3 × 2 × 2 = 12
Usando el problema anterior, podemos generalizar y escribir una fórmula relacionada con el conteo de la siguiente manera:
"Si los eventos E1, E2, E3... pueden ocurrir en n1, n2, n3... formas diferentes respectivamente, el número de formas en que todos los eventos pueden ocurrir es igual a
n1 × n2 × n3..."
Problema 1
Para comprar un sistema de cómputo, un cliente puede elegir uno de 4 monitores, uno de 2 teclados, uno de 4 computadoras y uno de 3 impresoras. Determine el número de sistemas posibles entre los que puede elegir un cliente.
Solución al problema 1
Un cliente puede elegir un monitor, un teclado, una computadora y una impresora. El siguiente diagrama muestra cada artículo con la cantidad de opciones que tiene el cliente.
Usando el principio de conteo utilizado en la introducción anterior, el número de todos los sistemas informáticos posibles que se pueden comprar está dado por
N = 4 × 2 × 4 × 3 = 96
Problema 2
En cierto país, los números de teléfono tienen 9 dígitos. Los dos primeros dígitos son el código de área (03) y son los mismos dentro de un área determinada. Los últimos 7 dígitos son el número local y no pueden comenzar con 0. ¿Cuántos números de teléfono diferentes son posibles dentro de un código de área dado en este país?
Solución al problema 2
El siguiente diagrama muestra la cantidad de opciones para cada dígito. El primer dígito del código de área es 0, sin opción, que de hecho es solo una opción. El segundo dígito del código de área es 1, ninguna opción o solo una opción. El primer dígito del código local puede ser cualquier dígito excepto 0, por lo que hay 9 opciones. Los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 del código local pueden ser cualquier dígito, por lo tanto, 10 opciones cada uno.
Utilizando el principio de conteo, el número total de números de teléfono posibles viene dado por
Un estudiante puede seleccionar uno de 6 libros de matemáticas diferentes, uno de 3 libros de química diferentes y uno de 4 diferentes libros de ciencia. ¿De cuántas maneras diferentes puede un estudiante seleccionar un libro de matemáticas, un libro de química y un libro de ciencias?
Solución al problema 3
El número total N de diferentes formas en que los estudiantes pueden seleccionar sus 3 libros está dado por
N = 6 × 3 × 4 = 72
Problema 4
Hay 3 caminos diferentes de la ciudad A a la ciudad B y 2 caminos diferentes de la ciudad B a la ciudad C ¿De cuántas maneras puede alguien ir de la ciudad A a la ciudad C pasando por la ciudad B?
Solución al problema 4
El número total N de diferentes formas en que alguien puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por la ciudad B es
N = 3 × 2 = 6
Problema 5
Un hombre tiene 3 trajes diferentes, 4 camisas diferentes y 5 pares de zapatos diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes este hombre puede usar un traje, una camisa y un par de zapatos?
Solución al Problema 5
El número total N de diferentes formas en que este hombre puede usar uno de sus trajes, una de sus camisas y un par de sus zapatos es
N = 3 × 4 × 5 = 60
Problema 6
En una empresa, las tarjetas de identificación tienen números de 5 dígitos.
a) ¿Cuántas tarjetas de identificación se pueden formar si se permite la repetición del dígito?
b) ¿Cuántas tarjetas de identificación se pueden formar si no se permite la repetición del dígito?
Solución al problema 6
a) En el siguiente diagrama, cualquiera de los 5 dígitos del número que se va a formar puede ser cualquiera de los 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9. Por lo tanto, las 10 opciones para cada dígito del número a formar ya que se permite la repetición de los dígitos del 0 al 9. Cuando se permite la repetición, el número total N de tarjetas de identificación está dado por el número total de números de 5 dígitos que se pueden formar y viene dado por:
N = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
b) En el siguiente diagrama, el primer dígito del número que se va a formar puede ser cualquiera de los 10 dígitos, de ahí las 10 opciones. El segundo dígito puede ser cualquiera de los 10 dígitos, excepto el dígito utilizado en la posición 1, ya que no se permite la repetición de los dígitos, de ahí las 9 opciones. El tercer dígito puede ser cualquiera de los 10 dígitos excepto los dos ya utilizados en las posiciones 1 y 2 ya que no se permite la repetición, de ahí las 8 opciones y así sucesivamente.
El número N de las tarjetas de identificación está dado por
N = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30 240
Problema 7
En cierto país, los números de matrícula tienen 3 letras seguidas de 4 dígitos. ¿Cuántos números de placas diferentes se pueden formar? (las letras y los dígitos pueden repetirse).
Solución al Problema 7
26 (todas las letras del alfabeto) son posibles opciones para cada una de las 3 letras que se utilizarán para formar el número de licencia. Son posibles 10 opciones (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) para cada uno de los 4 dígitos. El número total de números de licencia viene dado por
Usando los dígitos 1, 2, 3 y 5, ¿cuántos números de 4 dígitos se pueden formar si
a) ¿El primer dígito debe ser 1 y se permite la repetición de los dígitos?
b) ¿El primer dígito debe ser 1 y no se permite la repetición de los dígitos?
c) ¿El número debe ser divisible por 2 y se permite la repetición?
b) ¿El número debe ser divisible por 2 y no se permite la repetición?
Solución al Problema 8
a) 1 opción para el primer dígito. 4 opciones para los últimos 3 dígitos que forman el número de 4 dígitos ya que se permite la repetición. Por tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por
N = 1 × 4 × 4 × 4 = 64
b) 1 opción para el primer dígito. 3 opciones para el segundo dígito del número a formar ya que no se permite la repetición. 2 opciones para el tercer dígito del número a formar. 1 opción para el cuarto dígito del número a formar. Por tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por
N = 1 × 3 × 2 × 1 = 6
c) Para que el número a formar sea divisible por dos, el último dígito debe ser 2, por lo tanto, una opción para este dígito. 4 opciones para cada uno de los otros dígitos ya que se permite la repetición. Por tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por
N = 4 × 4 × 4 × 1 = 64
d) Para que el número a formar sea divisible por dos, el último dígito debe ser 2, por lo tanto, una opción para este dígito. 3 opciones para el primer dígito, 2 opciones para el segundo dígito y 1 opción para el tercer dígito que forman el número. Por tanto, el número N de números que podemos formar viene dado por
N = 3 × 2 × 1 × 1 = 6
Problema 9
Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es el número total de todos los resultados posibles?
Solución al Problema 9
La primera vez que se lanza la moneda, 2 resultados diferentes son posibles (cara, cruz). La segunda vez que se lanza la moneda, son posibles otros 2 resultados diferentes y la tercera vez que se lanza la moneda, son posibles otros 2 resultados diferentes. Por lo tanto, el número total de resultados posibles es igual a
N = 2 × 2 × 2 = 8
Problema 10
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es el número total de todos los resultados posibles?
Solución al Problema 10
Seis resultados posibles para el primer dado (1,2,3,4,5,6) y otros 6 resultados posibles para el segundo dado. El número total de resultados diferentes es
N = 6 × 6 = 36
Problema 11
Se lanza una moneda y se tira un dado. ¿Cuál es el número total de todos los resultados posibles?
Solución al Problema 11
Dos resultados posibles para la moneda (cara, cruz) y 6 resultados posibles (1,2,3,4, 5,6) para el dado. El número total de resultados diferentes es
