Gráficas y Propiedades de Funciones Trigonométricas

Esta página presenta las propiedades principales de las seis funciones trigonométricas: \( \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \), \( \cot x \), \( \sec x \), y \( \csc x \). Para cada función, discutimos la gráfica, dominio, rango, período, simetría, intersecciones, extremos, intervalos de monotonía y asíntotas (cuando corresponde).

Función Seno: \( f(x) = \sin x \)

• Dominio: todos los números reales
• Rango: \([-1, 1]\)
• Período: \(2\pi\)
• Intersecciones con x: \(x = k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\)
• Intersección con y: \(y = 0\)
• Puntos máximos: \(\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\, 1\right)\)
• Puntos mínimos: \(\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\,-1\right)\)
• Simetría: Dado que \( \sin(-x) = -\sin x \), la función seno es impar y simétrica respecto al origen.
• Creciente/Decreciente: En un período \([0, 2\pi]\), \( \sin x \) crece en \( (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \) y decrece en \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \).

Función Coseno: \( f(x) = \cos x \)

• Dominio: todos los números reales
• Rango: \([-1, 1]\)
• Período: \(2\pi\)
• Intersecciones con x: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
• Intersección con y: \(y = 1\)
• Puntos máximos: \((2k\pi, 1)\)
• Puntos mínimos: \((\pi + 2k\pi, -1)\)
• Simetría: Dado que \( \cos(-x) = \cos x \), la función coseno es par y simétrica respecto al eje y.
• Creciente/Decreciente: En \([0, 2\pi]\), \( \cos x \) decrece en \((0, \pi)\) y crece en \((\pi, 2\pi)\).

Función Tangente: \( f(x) = \tan x \)

• Dominio: todos los números reales excepto \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
• Rango: todos los números reales
• Período: \( \pi \)
• Intersecciones con x: \( x = k\pi \)
• Intersección con y: \( y = 0 \)
• Simetría: Dado que \( \tan(-x) = -\tan x \), la tangente es una función impar.
• Creciente: \( \tan x \) es creciente en cada intervalo \( \left(-\frac{\pi}{2} + k\pi,\, \frac{\pi}{2} + k\pi\right) \).
• Asíntotas verticales: \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Función Cotangente: \( f(x) = \cot x \)

• Dominio: todos los números reales excepto \( x = k\pi \)
• Rango: todos los números reales
• Período: \( \pi \)
• Intersecciones con x: \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
• Simetría: Dado que \( \cot(-x) = -\cot x \), la cotangente es una función impar.
• Decreciente: En un período \((0, \pi)\), \( \cot x \) es decreciente.
• Asíntotas verticales: \( x = k\pi \)

Función Secante: \( f(x) = \sec x \)

• Dominio: todos los números reales excepto \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
• Rango: \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \)
• Período: \( 2\pi \)
• Intersección con y: \( y = 1 \)
• Simetría: Dado que \( \sec(-x) = \sec x \), la secante es una función par.
• Asíntotas verticales: \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Función Cosecante: \( f(x) = \csc x \)

• Dominio: todos los números reales excepto \( x = k\pi \)
• Rango: \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \)
• Período: \( 2\pi \)
• Simetría: Dado que \( \csc(-x) = -\csc x \), la cosecante es una función impar.
• Asíntotas verticales: \( x = k\pi \)

Más recursos: Descripción general de funciones trigonométricas