Preguntas del Círculo Unitario en Trigonometría

Esta página presenta preguntas de opción múltiple sobre el círculo unitario en trigonometría. Las preguntas se centran en identificar puntos en el círculo unitario, determinar cuadrantes y comprender cómo las rotaciones afectan las coordenadas. Respuestas detalladas y explicaciones se proporcionan al final de la página.

Preguntas

Pregunta 1

¿Cuál de los siguientes puntos está en el círculo unitario?

a) \( (-\sqrt{2}/2 , -\sqrt{2}/2) \)
b) \( (\sqrt{2}/3 , -\sqrt{2}/3) \)
c) \( (1/2 , 1/2) \)
d) \( (3/2 , 2/3) \)

Pregunta 2

Un punto está en el Cuadrante III y se encuentra en el círculo unitario. Si su coordenada x es \( -4/5 \), ¿cuál es la coordenada y?

a) \( 3/5 \)
b) \( -3/5 \)
c) \( -2/5 \)
d) \( 5/3 \)

Pregunta 3

Encuentra el punto en el círculo unitario asociado con la rotación \( -9\pi/2 \).

a) \( (0 , -1) \)
b) \( (0 , 1) \)
c) \( (1 , 0) \)
d) \( (-1 , 0) \)

Pregunta 4

Encuentra el punto en el círculo unitario asociado con el ángulo \( 5\pi/3 \).

a) \( (1/2 , 1/2) \)
b) \( (-\sqrt{3}/2 , 1/2) \)
c) \( (1/2 , -\sqrt{3}/2) \)
d) \( (-\sqrt{3}/2 , -1/2) \)

Pregunta 5

Si el punto \( (a , b) \) está en el círculo unitario asociado con la rotación \( t \), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

a) \( \sin(t) = b \)
b) \( \cos(t) = a \)
c) \( \sin(-t) = -b \)
d) \( \cos(-t) = -a \)

Pregunta 6

Si el punto \( (a , b) \) está en el círculo unitario asociado con la rotación \( t \), y el punto \( (c , d) \) está en el círculo unitario asociado con la rotación \( t + \pi \), ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?

a) \( c = -a \) y \( d = -b \)
b) \( c = -a \) y \( d = b \)
c) \( c = a \) y \( d = b \)
d) \( c = a \) y \( d = -b \)

Pregunta 7

Si el punto \( (a , b) \) está en el círculo unitario asociado con la rotación \( t \), ¿qué punto corresponde a la rotación \( t + \pi/2 \)?

a) \( (b , a) \)
b) \( (-b , a) \)
c) \( (-b , -a) \)
d) \( (-a , b) \)

Respuestas y Explicaciones

1. a)
   Un punto \( (x,y) \) está en el círculo unitario si \( x^2 + y^2 = 1 \). \[ (-\sqrt{2}/2)^2 + (-\sqrt{2}/2)^2 = 1/2 + 1/2 = 1 \] Por lo tanto, la opción (a) se encuentra en el círculo unitario.
2. b)
   En el círculo unitario, \( x^2 + y^2 = 1 \). Con \( x = -4/5 \): \[ (-4/5)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 9/25 \] Así que \( y = \pm 3/5 \). Dado que el punto está en el Cuadrante III, \( y \) debe ser negativo, entonces \( y = -3/5 \).
3. d)
   Reduce el ángulo: \[ -9\pi/2 = -4\pi - \pi/2 \] Esto es equivalente a \( -\pi/2 \), que corresponde al punto \( (-1,0) \).
4. c)
   El ángulo \( 5\pi/3 \) está en el Cuadrante IV. En el círculo unitario: \[ (\cos 5\pi/3, \sin 5\pi/3) = (1/2 , -\sqrt{3}/2) \] Por lo tanto, la opción (c) es correcta.
5. d)
   Para cualquier ángulo \( t \): \[ \sin(-t) = -\sin(t), \quad \cos(-t) = \cos(t) \] Así que \( \cos(-t) = -a \) es falso, haciendo que la opción (d) sea incorrecta.
6. a)
   Sumar \( \pi \) a un ángulo mueve el punto al lado opuesto del círculo unitario: \[ (\cos(t+\pi), \sin(t+\pi)) = (-a, -b) \] Por lo tanto, la opción (a) es correcta.
7. b)
   Una rotación de \( \pi/2 \) corresponde a una rotación en sentido antihorario de 90°: \[ (\cos(t+\pi/2), \sin(t+\pi/2)) = (-b, a) \] Por lo tanto, la opción (b) es correcta.

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