Respuestas a los Tutoriales del Círculo Unitario

Esta página proporciona respuestas y explicaciones completas a las preguntas del tutorial Círculo Unitario y Funciones Trigonométricas: sen(x), cos(x), tan(x) .

Pregunta:
¿Existe algún punto en el círculo unitario que no pueda tener coordenadas x o y? ¿Cuáles son los dominios de \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \)?

Respuesta:
Cada punto en el círculo unitario tiene tanto una coordenada x como una coordenada y. Estas coordenadas se definen como: \[ x = \cos(x), \quad y = \sin(x) \] Dado que un ángulo \(x\) puede tomar cualquier valor real, tanto el seno como el coseno están definidos para todos los números reales. \[ \text{Dominio de } \sin(x) = \text{Dominio de } \cos(x) = (-\infty, +\infty) \]

Pregunta:
Usa el círculo unitario para determinar las intersecciones con el eje x, los máximos y los mínimos de \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \).

Respuesta:
Sea \(k\) cualquier número entero.
Intersecciones con el eje x:
\[ \sin(x) = 0 \quad \text{cuando} \quad x = k\pi \] \[ \cos(x) = 0 \quad \text{cuando} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
Valores máximos:
\[ \sin(x) = 1 \quad \text{en} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ \cos(x) = 1 \quad \text{en} \quad x = 2k\pi \]
Valores mínimos:
\[ \sin(x) = -1 \quad \text{en} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] \[ \cos(x) = -1 \quad \text{en} \quad x = \pi + 2k\pi \] Estos resultados se derivan directamente de las posiciones de los puntos en el círculo unitario.

Pregunta:
¿Pueden las coordenadas de un punto en el círculo unitario ser mayores que 1 o menores que -1? Explica el rango de \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \).

Respuesta:
El círculo unitario tiene radio 1, por lo que cada punto se encuentra exactamente a una unidad del origen. Por lo tanto, ni la coordenada x ni la coordenada y pueden exceder 1 en valor absoluto. Dado que: \[ x = \cos(x), \quad y = \sin(x) \] sus rangos son: \[ -1 \le \cos(x) \le 1 \] \[ -1 \le \sin(x) \le 1 \]

Pregunta:
Explora la periodicidad de \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) y \( \tan(x) \).

Respuesta:
Cuando un punto viaja una vez alrededor del círculo unitario, el ángulo aumenta en \(2\pi\). En este punto, los valores del seno y el coseno se repiten. \[ \text{Período de } \sin(x) = \text{Período de } \cos(x) = 2\pi \] La función tangente se repite después de solo media revolución: \[ \text{Período de } \tan(x) = \pi \]

Pregunta:
¿Cuándo no está definida \( \tan(x) \)? ¿Cuál es el dominio de \( \tan(x) \)?

Respuesta:
Dado que: \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \] la tangente no está definida siempre que \( \cos(x) = 0 \). Esto ocurre en: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] Por lo tanto, el dominio de \( \tan(x) \) es: \[ (-\infty, +\infty) \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \]

Pregunta:
Explica el comportamiento asintótico de \( \tan(x) \). ¿Cuál es su rango y dónde están sus intersecciones con el eje x entre \(0\) y \(2\pi\)?

Respuesta:
Cerca de los valores donde \( \cos(x) = 0 \), el denominador de \( \tan(x) \) se acerca a cero. Como resultado, la función aumenta o disminuye sin límite, creando asíntotas verticales. Esto lleva al rango: \[ \text{Rango de } \tan(x) = (-\infty, +\infty) \] Las intersecciones con el eje x ocurren donde \( \tan(x) = 0 \), lo que sucede cuando \( \sin(x) = 0 \): \[ x = k\pi \] Entre \(0\) y \(2\pi\), las intersecciones son: \[ (0,0),\ (\pi,0),\ (2\pi,0) \]