Tutorial sobre el cálculo y aplicaciones del producto escalar de dos vectores.
Producto escalar de dos vectores
Conociendo las coordenadas de dos vectores v = < v1, v2 > y u = <u1, u2> , el producto escalar de estos dos vectores, denotado v . u, está dada por:
v · u = < v1, v2 > · <u1, u2> = v1 × u1 + v2 × u2
TENGA EN CUENTA que el resultado del producto escalar es un escalar.
Ejemplo 1: Los vectores v y u están dados por sus componentes de la siguiente manera
v = < -2, 3> y u = < 4, 6>
Encuentre el producto escalar v · u de los dos vectores.
Solución al ejemplo 1:
v · u = < -2 , 3> · <4 , 6>
= (-2) × (4) + (3) × (6) = -8 + 18 = 10
Propiedades del producto escalar
1. v · u = u · v
2. v · (u + w) = v · u + v · w
3. v · v = || v || 2
4. c(v · u) = cv · u = v · cu
Ejemplo 2: Buscar || v || primero usando la definición || v || = √( v1 2 + v1 2 ) y luego usando la propiedad 3 anterior donde v = <3 , - 4>
Solución al ejemplo 2:
1. definición: || v || = √( v1 2 + v1 2 ) = √( (3) 2 + (- 4) 2 )
= √(9 + 16) = 5
2. Propiedad 3: || v || 2 = v · v
= <3 , - 4> . <3 , - 4> = (3) × (3) + (- 4) × (- 4) = 25
Saca la raíz cuadrada para encontrar || v || = 5
Forma alternativa del producto escalar de dos vectores
En la siguiente figura, los vectores v y u tienen el mismo punto inicial, el origen O (0,0). Los puntos A y B son los puntos terminales. t es el ángulo formado por los dos vectores. Aplicando la ley del coseno al triángulo OAB, obtenemos:
d(A,B) 2 = || v || 2 + || u || 2 -2|| v || || u || cos (t)
Utilice la definición de distancia para encontrar d(A,B) y la definición de magnitud para encontrar || v || y || tú || y sustituir en lo anterior
(v1 - u1) 2 + (v2 - u2) 2 = (v1 2 + v2 2) + (u1 2 + u2 2) -2 || v |||| u || cos (t)
Expande los cuadrados del lado izquierdo y simplifica para obtener
v1 u1 + v2 u2 = || v || || u || cos (t)
El lado izquierdo es el producto escalar de los vectores v y u, por lo tanto
v · u = || v || || u || cos (t)
Podemos usar la propiedad anterior del producto escalar para encontrar el ángulo t entre dos vectores.
cos t = v · u / (|| v || || u ||)
TENGA EN CUENTA que si cos t = 0 ( t = Pi / 2) el producto escalar v . u = 0. Esto lleva a:
los vectores v y u son ortogonales si y sólo si v · u = 0.
Ejemplo 3: Demuestre que los vectores v = <3 , - 4> y u = <4, 3> son ortogonales
Solución al ejemplo 3:
Encuentra el producto escalar v . u
v · u = <3 , - 4> . <4 , 3> = (3)*(4) + (-4)*(3) = 0
según lo anterior
cos t = v · u / (|| v || || u ||) = 0
cos t = 0 significa que t = Pi / 2 y los dos vectores son ortogonales.
Ejemplo 4: Encuentre el ángulo entre los vectores v = <1, 1> y u = < - 4 , 3>.
Solución al ejemplo 4:
Encuentra el producto escalar v . u
v · u = <1 , 1> . < - 4 , 3> = (1) × (- 4) + (1) × (3) = - 1
Encontrar || v || y || u ||
|| v || = √(1 2 + 1 2) = √ (2)
|| u || = √((-4) 2 + 3 2) = √ (25) = 5
Ahora usamos la fórmula cos t = v . u / (|| v || || u ||) para encontrar cos t
cos t = v · u / (|| v || || u ||) = - 1 / [ √(2)*5 ]
t = arccos (- 1 / [ √(2)*5 ]) ≈ 98.1 o
Ejercicios
1. Vectores dados
v = <10 , - 5> and u = <2 , u2>,
Encuentre u2 de manera que los vectores v y u sean ortogonales.
2. Encuentre el ángulo entre los vectores v y u que se indican a continuación
v = <1 , 1> and u = <-2 , -2>,
Respuestas a los ejercicios anteriores.
1. u2 = 4
2. 180 o
