القيمة العظمى والصغرى المطلقة لدالة

عندما تكون \(f'(x_0) = 0\) ويتغير إشارة \(f'(x)\), قد تتوافق \(x_0\) مع قيمة عظمى أو صغرى محلية (وربما مطلقة).

قد تحدث القيم القصوى في النقاط التي لا توجد عندها المشتقة.

اعتبر الدالة \(f(x) = x^3 - 2x^2\) على الفترة \([-1, 5/2]\). توجد قيم قصوى محلية، ولكن القيم القصوى المطلقة تحدث عند الأطراف:

أوجد القيمة العظمى والصغرى المطلقة للدالة \(f\) المعرفة كـ

حل المثال 4

الخطوة 1: حساب المشتقة الأولى
لإيجاد القيمة العظمى والصغرى المطلقة للدالة، نبدأ بحساب المشتقة الأولى للدالة \(f(x) = -x^2 + 2x - 2\):

الخطوة 2: تحديد النقاط الحرجة
اجعل المشتقة تساوي الصفر لإيجاد النقاط الحرجة:

بما أن المشتقة الأولى معرفة لجميع قيمة \(x\) في الفترة \([-2, 3]\), و \(x = 1\) يقع ضمن تلك الفترة، فهي نقطة حرجة صحيحة.

الخطوة 3: تقييم الدالة عند الأطراف والنقاط الحرجة
الآن قم بتعويض النقاط في الدالة الأصلية عند الأطراف وعند النقطة الحرجة \(x = 1\):

الخلاصة:
- قيمة العظمى المطلقة هي \(f(1) = -1\), وتحدث عند \(x = 1\).
- قيمة الصغرى المطلقة هي \(f(-2) = -10\), وتحدث عند \(x = -2\).

يوضح الرسم البياني أدناه الدالة، مبيناً النقطة الحرجة والأطراف، ويسلط الضوء على القيمتين الصغرى والعظمى المطلقتين:

حدد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \) على الفترة المغلقة \( [-1, 1] \).

حل المثال 5

الخطوة 1: حساب المشتقة الأولى

اشتق الدالة لإيجاد نقاطها الحرجة:

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

الخطوة 2: إيجاد النقاط الحرجة بحل المعادلة \( f'(x) = 0 \)

ساوي المشتقة بالصفر:

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

الحلول هي \( x = 0 \) و \( x = 1 \) و \( x = -2 \). ومع ذلك، فإن \( x = 0 \) و \( x = 1 \) فقط هما اللذان يقعان داخل الفترة \( [-1, 1] \). إذن النقاط الحرجة في المجال هي \( x = 0 \) و \( x = 1 \).

الخطوة 3: تقييم الدالة عند الأطراف والنقاط الحرجة

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

الخطوة 4: تحديد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين

• القيمة العظمى المطلقة: \( f(0) = 0 \) عند \( x = 0 \)
• القيمة الصغرى المطلقة: \( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \) عند \( x = -1 \)

يُعرض الرسم البياني للدالة \( f(x) \) أدناه، موضحاً النقاط الحرجة، والأطراف، وأماكن القيم العظمى والصغرى المطلقة.

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \) على الفترة المغلقة \( [0.5 , 2] \).

حل المثال 6

الخطوة 1: حساب المشتقة الأولى

نقوم بالاشتقاق باستخدام قاعدة الضرب:

الخطوة 2: إيجاد النقاط الحرجة

ساوي المشتقة الأولى بالصفر:

حل المعادلة:

• \( x = 0 \) (مرفوض لأنه ليس في المجال)
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

فقط \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) يقع داخل الفترة \( [0.5 , 2] \), لذا فهو النقطة الحرجة الوحيدة في المجال.

الخطوة 3: تقييم الدالة عند الأطراف والنقطة الحرجة

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

الإجابة النهائية

• القيمة العظمى المطلقة: \( \boxed{1.772} \) عند \( x = 2 \)
• القيمة الصغرى المطلقة: \( \boxed{-1.1839} \) عند \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) على الفترة المغلقة \([-1.1 , 4]\).

حل المثال 7

الخطوة 1: إعادة كتابة المشتقة والدالة

استخدم المتطابقة \( |u| = \sqrt{u^2} \) لإعادة كتابة الدالة:

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

الآن قم بالاشتقاق:

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

الخطوة 2: إيجاد النقاط الحرجة

المشتقة تكون غير معرفة عندما يكون المقام صفراً:

اجعل \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( (x+1)(x-3) = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \) و \( x = 3 \)

لإيجاد أين \( f'(x) = 0 \), حل المعادلة:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     (المعادلة 1)

الحالة 1: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

حينئذٍ \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \), وتصبح المعادلة 1:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

الحلول: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

الحالة 2: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

حينئذٍ \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \), وتصبح المعادلة 1:

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

الحلول: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

التحقق من النقاط الحرجة

• \( x = -1 \), \( x = 3 \): المشتقة غير معرفة — نقاط حرجة.
• \( x = \dfrac{1}{2} \): بالتعويض في البسط \(\Rightarrow\) النتيجة هي 0 \(\Rightarrow\) نقطة حرجة صحيحة.
• \( x = \dfrac{3}{2} \): بالتعويض في البسط \(\Rightarrow\) ليس صفراً \(\Rightarrow\) ليست نقطة حرجة.

الخلاصة: النقاط الحرجة للدالة \( f(x) \) هي: \( x = -1 \) و \( x = \dfrac{1}{2} \) و \( x = 3 \).

الخطوة 3: تقييم \( f(x) \) عند الأطراف والنقاط الحرجة

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

الإجابة النهائية:

• القيمة العظمى المطلقة: \( f(x) = 3.25 \) عند \( x = \dfrac{1}{2} \)
• القيمة الصغرى المطلقة: \( f(x) = -3 \) عند \( x = 3 \)

الرسم البياني للدالة

يُظهر الرسم البياني للدالة \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) أدناه النقاط الحرجة وأطراف الفترة \([-1.1 , 4]\), إلى جانب القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين.

أوجد القيمة العظمى والصغرى المطلقة للدالة \( f \) المعرفة كـ

حل المثال 8

الخطوة 1: حساب المشتقة الأولى للدالة
بناءً على الدالة:
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

المشتقة الأولى هي:

الخطوة 2: تحديد النقاط الحرجة
المشتقة \( f'(x) \) ليس لها أصفار لأن البسط ثابت.
ومع ذلك، تكون المشتقة غير معرفة عندما يكون المقام صفراً، أي عندما \( x = 2 \).
لذلك، \( x = 2 \) تعتبر نقطة حرجة لأن المشتقة غير معرفة عندها.

الخطوة 3: تقييم f(x) عند الأطراف والنقطة الحرجة
احسب قيم الدالة عند النقاط الأساسية داخل الفترة \([-3, 4]\):

الخطوة 4: تحديد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين
من النتائج السابقة:

• القيمة الصغرى المطلقة: 0 عند \( x = 2 \)
• القيمة العظمى المطلقة: حوالي 1.90 عند \( x = -3 \)

التمثيل البياني:
يؤكد الرسم البياني للدالة \( f(x) = (x - 2)^{2/5} \) على الفترة \([-3, 4]\) وجود النقطة الحرجة عند \( x = 2 \), بالإضافة إلى القيمتين الصغرى والعظمى المطلقتين.