مسائل التحسين الواقعية في التفاضل والتكامل مع الحلول

أوجد عددين موجبين بحيث يكون حاصل ضربهما يساوي 10 ومجموعهما أصغر ما يمكن. تحقق من إجابتك بيانيا.

الحل

ليكن \( x \) العدد الأول و \( y \) العدد الثاني، حيث \( x > 0 \) و \( y > 0 \). وليكن \( S \) يمثل المجموع المراد تصغيره.

• المجموع: \( S = x + y \)   ← هذه هي الدالة المراد تصغيرها
• قيد الضرب: \( x \cdot y = 10 \)   ← العلاقة بين المتغيرات

من القيد، أوجد قيمة \( y \): \( y = \dfrac{10}{x} \)

التعويض في دالة المجموع للحصول على دالة بمتغير واحد:

مع المجال \( x > 0 \)

أوجد المشتقة الأولى لـ \( S(x) \):

اجعل المشتقة تساوي الصفر لإيجاد النقاط الحرجة:

نستبعد \( x = -\sqrt{10} \) لأن \( x \) يجب أن يكون موجباً. إذن \( x = \sqrt{10} \) هي نقطة حرجة.

تحقق من المشتقة الثانية لتحديد التقعر:

بما أن \( x > 0 \)، فإن \( S''(x) > 0 \)، إذن المنحنى مقعر نحو الأعلى. لذلك، \( x = \sqrt{10} \) هي قيمة صغرى.

العددين هما:

يوضح رسم الدالة \( S(x) = x + \dfrac{10}{x} \) وجود قيمة صغرى عند \( x \approx 3.16 \)، مما يؤكد النتيجة.

أوجد عددين موجبين بحيث يكون مجموع ستة أمثال الأول وضِعف الثاني يساوي 150، وحاصل ضربهما أكبر ما يمكن.

الحل

ليكن \( x \) العدد الأول و \( y \) العدد الثاني. وليكن \( P \) يمثل حاصل الضرب المراد تعظيمه.

دالة الهدف هي: \( P = x \cdot y \)

القيد هو: \( 6x + 2y = 150 \)

حل القيد بالنسبة لـ \( y \): \( y = 75 - 3x \)

التعويض في دالة حاصل الضرب: \( P(x) = x(75 - 3x) = 75x - 3x^2 \)

حساب المشتقة الأولى: \( P'(x) = 75 - 6x \)

مساواة المشتقة بالصفر لإيجاد النقاط الحرجة: \( 75 - 6x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{75}{6} = \dfrac{25}{2} \)

حساب المشتقة الثانية: \( P''(x) = -6 \). بما أن \( P''(x) < 0 \)، فإن الدالة مقعرة نحو الأسفل، مما يؤكد وجود قيمة عظمى.

الآن أوجد \( y \): \( y = 75 - 3 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{75}{2} \)

الخلاصة: العددين الموجبان اللذان يعظمان حاصل الضرب هما:

• \( x = \dfrac{25}{2} = 12.5 \)
• \( y = \dfrac{75}{2} = 37.5 \)

فرضا أنك تريد تسوير حقلين مستطيلين لهما نفس الأبعاد، ولهما ضلع مشترك، باستخدام 180 متراً من السياج. أوجد أبعاد المستطيلين لكي تكون المساحة الكلية المسورة عظمى.

الحل

ليكن \( L \) الطول و \( W \) العرض لكل مستطيل. العرض هو الضلع المشترك.

المساحة الكلية: \( A = 2LW \)
قيد السياج: \( 4L + 3W = 180 \).
حل المعادلة بالنسبة لـ \( W \): \( W = 60 - \dfrac{4}{3}L \).
المساحة كدالة في \( L \):

من القيد، المجال هو \( L \in [0, 45] \).
المشتقة: \( A'(L) = -\dfrac{16}{3}L + 120 \).
حل \( A'(L) = 0 \implies L = 22.5 \).
التقييم:

• \( A(0) = 0 \)
• \( A(45) = 0 \)
• \( A(22.5) = -\dfrac{8}{3}(22.5)^2 + 120 \cdot 22.5 = 1350 \)

تحدث المساحة العظمى عند \( L = 22.5 \)، \( W = 60 - \dfrac{4}{3} \cdot 22.5 = 30 \).

الأبعاد: \( 22.5 \) م × \( 30 \) م.

سلك بطول 100 سم قُطع إلى جزأين. تم ثني الجزء الأول لتشكيل مربع، والثاني لتشكيل دائرة. أوجد طولَي الجزأين لكي يكون مجموع المساحتين المحاطتين بالمربع والدائرة أصغر ما يمكن.

الحل

ليكن \( x \) طول السلك المستخدم للمربع و \( y \) للدائرة. إجمالي السلك: \( x + y = 100 \).

الخطوة 1: التعبير عن المساحات بدلالة \( x \)

للمربع: \( x = 4s \implies s = \dfrac{x}{4} \implies A_{\text{square}} = \dfrac{x^2}{16} \)
للدائرة: \( y = 2\pi r \implies r = \dfrac{y}{2\pi} \implies A_{\text{circle}} = \dfrac{y^2}{4\pi} \)
المساحة الكلية: \( A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi} \)

الخطوة 2: تصغير المساحة

المشتقة: \( A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \)
مساواة المشتقة بالصفر:

بالتقريب: \( x \approx 56 \) سم، \( y = 100 - x \approx 44 \) سم.

الخطوة 3: التحقق من القيمة الصغرى

\( A(0) \approx 795 \)، \( A(100) = 625 \)، \( A(56) \approx 350 \).

الإجابة النهائية

• استخدم تقريباً 56 سم للمربع.
• استخدم تقريباً 44 سم للدائرة.

صندوق ذو نهايتين مربعتين طول ضلعهما \( x \) وطول \( L \) مُصمم بحيث يكون \( L + 4x = 4 \) أمتار. أوجد أبعاد الصندوق التي تعظم حجمه.

الحل

الحجم: \( V = x^2 L \)
القيد: \( L + 4x = 4 \implies L = 4 - 4x \)
التعويض: \( V(x) = x^2(4 - 4x) \) بمجال \( [0, 1] \).
المشتقة: \( V'(x) = 8x - 12x^2 \)
النقاط الحرجة: \( 8x - 12x^2 = 0 \implies x(8 - 12x) = 0 \implies x = 0 \) أو \( x = \dfrac{2}{3} \).
التقييم: \( V(0) = 0 \)، \( V\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{16}{27} \)، \( V(1) = 0 \).

تصل لأقصى قيمة عند \( x = \dfrac{2}{3} \) متر.
\( L = 4 - 4 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \) متر.

الإجابة النهائية: نهايتان مربعتان بطول ضلع \( \dfrac{2}{3} \) متر وطول \( \dfrac{4}{3} \) متر، مما يعطي أقصى حجم يساوي \( \dfrac{16}{27} \text{ م}^3 \).

التكلفة الكلية للآلة الحاسبة الإلكترونية هي 21 دولاراً. إذا بُيعت الآلة بسعر \( x \) دولار لكل منها، فإن عدد \( n \) الآلات المُباعة يُعطى بالعلاقة \( n(x) = \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \).

الحل

دالة الربح: \( P(x) = n(x - 21) = \left( \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \right)(x - 21) \)
التبسيط: \( P(x) = -10x^2 + 710x - 10300 \) لمجال \( x \in (21, \infty) \).
المشتقة: \( P'(x) = -20x + 710 \)
مساواة بالصفر: \( -20x + 710 = 0 \implies x = 35.5 \).
المشتقة الثانية: \( P''(x) = -20 < 0 \) (مقعرة نحو الأسفل، قيمة عظمى).

الإجابة النهائية

سعر البيع الذي يعظم الربح هو \( \boxed{x = 35.5 \text{ دولاراً}} \).

أوجد أبعاد المستطيل ذي المساحة الكبرى المحصور تحت المنحنى \( y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \) وفوق محور السينات.

الحل

ليكن \( x \) نصف طول القاعدة. المساحة: \( A(x) = 2x \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \).

المشتقة: \( A'(x) = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2} \)
مساواة بالصفر: \( 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \).
اختبار المشتقة الثانية يؤكد وجود قيمة عظمى عند \( x = 1 \).

الإجابة النهائية

الطول = \( 2(1) = 2 \)، العرض = \( \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2} \). الأبعاد هي وحدتان × 0.5 وحدة.

أوجد أبعاد المستطيل ذي المساحة الكبرى المحصور داخل مثلث قائم الزاوية بارتفاع 4 ووتر 5.

الحل

قاعدة المثلث: \( BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \).

من تشابه المثلثات: \( \dfrac{4 - h}{w} = \dfrac{4}{3} \implies h = -\dfrac{4}{3} w + 4 \).
المساحة: \( A(w) = w\left(-\dfrac{4}{3} w + 4\right) = -\dfrac{4}{3} w^2 + 4w \).
المشتقة: \( A'(w) = -\dfrac{8}{3} w + 4 = 0 \implies w = \dfrac{3}{2} = 1.5 \).
الارتفاع: \( h = -\dfrac{4}{3}(\dfrac{3}{2}) + 4 = 2 \).

الإجابة النهائية

الأبعاد: \( w = 1.5 \)، \( h = 2 \).

أثبت تحليلياً أن \( f(x) = -5 - 4 \cos(x) + \cos(2x) \) من أجل \( 0 \leq x \leq 2\pi \) لا تكون موجبة أبداً.

الحل

المشتقة: \( f'(x) = 4 \sin(x) - 2 \sin(2x) = 4 \sin(x) (1 - \cos(x)) \).
النصائح الحرجة في \( [0, 2\pi] \): \( x = 0, \pi, 2\pi \).
التقييم: \( f(0) = -8 \)، \( f(2\pi) = -8 \)، \( f(\pi) = 0 \).

الخلاصة

بما أن القيمة العظمى للدالة \( f(x) \) على الفترة \( [0, 2\pi] \) هي \( 0 \)، فإن الدالة لا تكون موجبة أبداً.

أوجد نصف القطر \( r \) والارتفاع \( h \) للمخروط ذي طول الراس 5 سم الذي يعظم حجمه.

الحل

الحجم: \( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \)
القيد: \( h^2 + r^2 = 25 \implies h = \sqrt{25 - r^2} \)
دالة الحجم: \( V(r) = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{25 - r^2} \)
المشتقة: \( V'(r) = \dfrac{\pi}{3} \dfrac{50r - 3r^3}{\sqrt{25 - r^2}} \)
النقطة الحرجة: \( 50r - 3r^3 = 0 \implies r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4.08 \).
الارتفاع: \( h = \sqrt{25 - \dfrac{50}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2.88 \).

أوجد النقطة الواقعة على المستقيم \( y = 4 - x \) والأقرب إلى النقطة \( (6, 3) \).

الحل

نقطة على المستقيم: \( M = (x, 4 - x) \).
مربع المسافة: \( D^2 = (x - 6)^2 + (1 - x)^2 = 2x^2 - 14x + 37 \).
المشتقة: \( 4x - 14 = 0 \implies x = \dfrac{7}{2} \).
\( y = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2} \).

الإجابة النهائية: \( \boxed{\left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2} \right)} \).

أوجد المسافات في البحر وعلى طول الساحل التي تصغر التكلفة الكلية لمد خط الأنابيب إذا كانت تكلفة البحر \( 3k \) وتكلفة الساحل \( k \).

الحل

ليكن \( x \) المسافة على طول الساحل من \( B \) إلى \( D \). طول الساحل \( CD = 40 - x \)، والطول في البحر \( y = \sqrt{30^2 + (40-x)^2} \).
التكلفة الكلية: \( C_t(x) = kx + 3ky = kx + 3k\sqrt{900 + (40-x)^2} \).
إيجاد المشتقة وحل النقطة الحرجة يعطي \( x \approx 29.40 \) كم، والمسافة في البحر \( y \approx 31.81 \) كم.

أثبات أنه إذا كان \( x + y = K \)، فإن \( x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \).

الحل

دالة حاصل الضرب: \( P(x) = x(K - x) = -x^2 + Kx \).
المشتقة: \( P'(x) = -2x + K = 0 \implies x = \dfrac{K}{2} \).
المشتقة الثانية \( P''(x) = -2 < 0 \) تؤكد وجود قيمة عظمى عند \( x = \dfrac{K}{2}, y = \dfrac{K}{2} \).
حاصل الضرب الأعظمي: \( \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \).