إيجاد مشتقات الدوال في حساب التفاضل والتكامل

أمثلة تفاضل شاملة: قواعد القوة، الضرب، القسمة، والسلسلة

إتقان التفاضل يتضمن تطبيق قواعد محددة بناءً على بنية الدالة. تجد أدناه أمثلة تغطي قاعدة القوة، وقاعدة الضرب، وقاعدة القسمة، وقاعدة السلسلة مع حلول تفصيلية.

أمثلة قاعدة القوة

تنص قاعدة القوة على أنه بالنسبة لـ \( f(x) = x^n \)، تكون المشتقة \( f'(x) = nx^{n-1} \).

المثال 7: أوجد مشتقة \( f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 10 \)

طبق قاعدة القوة على كل حد على حدة:

  • مشتقة \( 4x^5 \) هي \( 4(5x^4) = 20x^4 \)
  • مشتقة \( -3x^2 \) هي \( -3(2x) = -6x \)
  • مشتقة \( 7x \) هي \( 7(1) = 7 \)
  • مشتقة الثابت \( -10 \) هي \( 0 \)

الحل النهائي: \( f'(x) = 20x^4 - 6x + 7 \)

المثال 8: أوجد مشتقة \( f(x) = \dfrac{3}{x^2} + 5\sqrt[3]{x} \)

أعد كتابة الدالة باستخدام الأسس: \( f(x) = 3x^{-2} + 5x^{1/3} \)

طبق قاعدة القوة:

\[ f'(x) = 3(-2x^{-3}) + 5(\frac{1}{3}x^{-2/3}) \] \[ f'(x) = -\dfrac{6}{x^3} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

أمثلة قواعد الضرب والقسمة

المثال 1: \( f(x) = (x^2 - 5)(x^3 - 2x + 3) \) (قاعدة الضرب)

باستخدام \( f'(x) = U'V + UV' \):

\[ f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2) \]

النتيجة: \( 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10 \)

المثال 3: \( f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{5x - 3} \) (قاعدة القسمة)

باستخدام \( f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \):

\[ f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2} \]

النتيجة: \( \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2} \)

أمثلة قاعدة السلسلة

تُستخدم قاعدة السلسلة للدوال المركبة: \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

المثال 9: أوجد مشتقة \( f(x) = (4x^3 - 2x)^6 \)

لتكن الدالة "الداخلية" \( u = 4x^3 - 2x \). إذن \( f(x) = u^6 \).

1. تفاضل الدالة الخارجية: \( 6u^5 \)

2. تفاضل الدالة الداخلية: \( u' = 12x^2 - 2 \)

3. اضربهما معاً: \( 6(4x^3 - 2x)^5 \cdot (12x^2 - 2) \)

النتيجة: \( 12(6x^2 - 1)(4x^3 - 2x)^5 \)

المثال 10: أوجد مشتقة \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)

أعد الكتابة على شكل \( f(x) = (x^2 + 1)^{1/2} \).

\[ f'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) \]

تختزل العددان 2، ليتبقي:

\[ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

تمارين تدريبية

التمرين 7: \( f(x) = 10x^4 - \pi x + e \) (قاعدة القوة)

الإجابة: \( f'(x) = 40x^3 - \pi \) (ملاحظة: \( e \) ثابت، ومشتقته تساوي 0).

التمرين 8: \( g(x) = (2x+1)^3(x-5)^2 \) (قاعدة الضرب + السلسلة)

الإجابة: \( g'(x) = 3(2x+1)^2(2)(x-5)^2 + (2x+1)^3(2)(x-5) \)

مبسطة: \( 2(2x+1)^2(x-5)[3(x-5) + (2x+1)] = 2(2x+1)^2(x-5)(5x-14) \)

التمرين 9: \( h(x) = \sin(x^2) \) (دوال مثلثية + قاعدة السلسلة)

الإجابة: \( h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \)

قراءات إضافية