أوجد تفاضلات متنوعة للدوال باستخدام طرق وقواعد مختلفة في الاحتساب. يتم تقديم عدة أمثلة مع حلول مفصلة. توجد مزيد من التمارين مع الإجابات في نهاية هذه الصفحة.
مثال 1: أوجد التفاضل للدالة \( f \) التي تعطى بواسطة
حل المثال 1:
الدالة f هي ناتج ضرب دالتين: \( U = x^2 - 5 \) و \( V = x^3 - 2x + 3 \) ؛ وبالتالي
نستخدم قاعدة الضرب لتفاضل الدالة f على النحو التالي:
حيث \( U'\) و \( V'\) هما تفاضلي \( U \) و \( V \) على التوالي ويتم تعطيهما عن طريق
استبدل للحصول على
قم بتوسيع العبارة، وتجميع الأعداد المماثلة، وتبسيط العبارة للحصول على
مثال 2:قم بحساب التفاضل الأول للدالة \( f \) المعطاة بواسطة
\[
f(x) = (\sqrt x + 2x)(4x^2-1)
\]
حل المثال 2:
يمكن اعتبار هذه الدالة على أنها ناتج ضرب الدالة \( U = \sqrt x + 2x \) والدالة \( V = 4x^2 - 1\)، وبالتالي يتم استخدام قاعدة الضرب.
\[
f'(x) = U' V + U V' \\
= (\dfrac{1}{2\sqrt x} + 2)(4x^2-1) + (\sqrt x + 2 x)(8x)
\]
لإضافة المعادلة أعلاه، يجب كتابة جميع الأعداد على شكل كسور بمقام مشترك.
\[
f'(x) = \dfrac{(1+2\cdot2\sqrt x)(4x^2-1)+2\sqrt x(8x)(\sqrt x + 2x)}{2\sqrt x}
\]
انشر
\[
f'(x) = \dfrac{4x^2-1+16x^{5/2}-4\sqrt x+16x^2+32x^{5/2}}{2\sqrt x}
\]
وقم بتجميع العبارة للحصول على النتيجة النهائية لتفاضل f على النحو التالي.
\[
f'(x) = \dfrac{48x^{5/2}+20x^2-4x^{1/2}-1}{2\sqrt x}
\]
مثال 3: قم بحساب التفاضل الأول للدالة \( f \) المعطاة بواسطة
حل المثال 3:
يمكن اعتبار الدالة المعطاة كنسبة بين دالتين: \( U = x^2 + 1 \) و \( V = 5x - 3 \) ويتم استخدام قاعدة النسبة لتفاضل f على النحو التالي:
قم بتوسيع العبارة وتجميع الأعداد المماثلة للحصول على \( f'(x) \) على النحو التالي:
مثال 4: قم بحساب التفاضل الأول للدالة \( f \) المعطاة بواسطة
حل المثال 4:
الدالة \( f \) هي ناتج قسمة دالتين، وبالتالي يتم استخدام قاعدة النسبة لحساب التفاضل الأول للدالة \( f \).
قم بكتابة جميع الأعداد في البسط بحيث يكون لديهم نفس المقام وهو 2√x.
قم بتوسيع العبارة وتجميع الأعداد المماثلة للحصول على \( f'(x) \)
مثال 5: قم بحساب التفاضل الأول للدالة f المعطاة بواسطة
حل المثال 5:
يمكن اعتبار الدالة \( f \) المعطاة كناتج ضرب الدالتين \( U = 1/x - 3\) و \( V = (x^2 + 3)/(2x - 1) \)، ويمكن اعتبار الدالة \( V \) كنسبة بين الدالتين \( x^2 + 3\) و \( 2x - 1 \). نستخدم قاعدة الضرب للدالة \( f \) وقاعدة النسبة للدالة \( V \) على النحو التالي
قم بتجميع جميع العبارات على نفس المقام المشترك
قم بتوسيع العبارة وتجميع الأعداد المماثلة للحصول على التفاضل الأول f'.
مثال 6: قم بحساب التفاضل الأول للدالة \( f \) المعطاة بواسطة
حل المثال 6:
هناك عدة طرق لحساب التفاضل الأول للدالة \( f \) المعطاة. أحد تلك الطرق هو اعتبار الدالة \( f \) كناتج ضرب الدالة \( U = \sqrt x \) و \( V = (2x - 1)(x^3 - x) \) وأيضًا اعتبار الدالة V كناتج ضرب \( (2x - 1) \) و \( (x^3 - x) \) وتطبيق قاعدة الضرب على الدالة \( f \) و \( V \) على النحو التالي
قم بتوحيد المقام لجميع العبارات
قم بتوسيع العبارة وتجميع الأعداد المماثلة للحصول على التفاضل الأول \( f' \).
مثال 7: احسب التفاضل للدالة \( f \) المعطاة بواسطة
حل المثال 7:
الدالة المعطاة من الشكل \( U^4 \) حيث \( U = x^3 + 4\). استخدام قاعدة سلسلة التفاضل ( قاعدة الدالة المركبة ) يعطي \( f ' \) على النحو التالي
احسب قيمة \( U ' \) واستبدل في العبارة أعلاه للحصول على \( f ' \) على النحو التالي
مثال 8: احسب التفاضل للدالة f المعطاة بواسطة
حل المثال 8:
الدالة \( f \) هي من الشكل \( U^3 \) حيث \( U = (x - 1) / (x + 3)\). تطبيق قاعدة سلسلة التفاضل يعطينا \( f' \) على النحو التالي
احسب قيمة \( U'\) باستخدام قاعدة النسبة واستبدل للحصول على
قم بتوسيع وتجميع المصطلحات المشابهة للحصول على الشكل النهائي للتفاضل \( f' \)
مثال 9: احسب التفاضل للدالة f المعطاة بواسطة
حل المثال 9:
الدالة المعطاة هي من الشكل \( \sqrt U \) حيث \( U = x^3 + 2x + 1\). احسب قيمة \( U' \) واستخدم قاعدة سلسلة التفاضل للحصول على
مثال 10: احسب التفاضل للدالة f المعطاة بواسطة
حل المثال 10:
الدالة المعطاة هي من الشكل \( U^{(3/2)} \) حيث \( U = x^2 + 5\). استخدم قاعدة سلسلة التفاضل على النحو التالي
احسب قيمة U ' واستبدل ثم بسط العبارة للحصول على التفاضل f '.
مثال 11: احسب التفاضل للدالة \( f \) المعطاة بواسطة
حل المثال 11:
الدالة المعطاة هي من الشكل \( U^{(1/4)} \) حيث \( U = (x + 6)/(x + 5)\). استخدم قاعدة سلسلة التفاضل لحساب التفاضل \( f' \) على النحو التالي
نظرًا لأن \( U \) هي حاصل قسمة لدالتين، استخدم قاعدة حاصل القسمة لإيجاد قيمة \( U' \) واستبدل للحصول على
قم بتوسيع العبارة وتجميع المصطلحات المتشابهة
قم بتحويل الأس السالب إلى أس موجب للحصول على التفاضل f ' النهائي على النحو التالي
