حساب المساحة في الإحداثيات القطبية

اشتقاق الصيغة، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع إغلاق الحلول، المراجع، والروابط

احسب المساحة المحصورة بمنحنى مُعطى بواسطة معادلة قطبية؛ يتم تقديم أمثلة وحلولها المفصلة.

صيغة المساحة في الإحداثيات القطبية

المساحة المحدودة بمنحنى ذي معادلة قطبية \( r(\theta) \) والأشعة \( \theta = \theta_1 \) و \( \theta = \theta_2 \) تُعطى بالصيغة [1] [2] [3]:

صيغة المساحة القطبية:
\[ \dfrac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2(\theta) \, d\theta \]
Region in Polar Coordinates
الشكل 1. المنحنى وحدود التكامل في الإحداثيات القطبية

الأمثلة والحلول

المثال 1

استخدم الصيغة المذكورة أعلاه لإيجاد مساحة الدائرة المحصورة بالمنحنى \( r(\theta) = 2 \sin(\theta) \) والذي يظهر رسمه البياني أدناه، وقارن النتيجة بصيغة مساحة الدائرة القياسية \( \pi r^2 \)، حيث \( r \) هو نصف القطر.

Circle in Polar Coordinates
الشكل 2. الدائرة في الإحداثيات القطبية \( r(\theta) = 2 \sin \theta \)
الحل للمثال 1

لاحظ أن الدائرة تُمَسَح بالأشعة \( \theta = \theta_1 \) و \( \theta = \theta_2 \)، وعلينا إيجاد \( \theta_1 \) و \( \theta_2 \).

Circle and Rays
الشكل 3. الدائرة المحدودة بـ \( r(\theta) = 2 \sin(\theta) \) والممسوحة بالأشعة

تبدأ الدائرة من نقطة الأصل (\( r(\theta) = 0 \)) وتنتهي عند نقطة الأصل (\( r(\theta) = 0 \)). ومن ثم، تُوجَد الزاويتان \( \theta_1 \) و \( \theta_2 \) بحل المعادلة \( r(\theta) = 0 \):

\[ \sin(\theta) = 0 \]

مما يعطي الحلول:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{و} \quad \theta_2 = \pi \]

مساحة الدائرة \( A \) تُعطى بـ:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 \sin \theta)^2 \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} (\sin \theta)^2 \, d\theta \]

استخدم المطابقة المثلثية \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \):

\[ A = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \left[ \theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\pi} = \pi \]

مساحة الدائرة المعطاة التي نصف قطرها \( 1 \) تطابق الصيغة القياسية \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \).

المثال 2

أوجد مساحة المنطقة المحصورة بالمنحنى \( r(\theta) = \sin(3\theta) \) والذي يظهر رسمه البياني أدناه.

Plot of Curve sin(3t)
الشكل 4. تمثيل المنحنى \( r(\theta) = \sin(3\theta) \)
الحل للمثال 2

بسبب تناظر الرسم البياني، نجد المساحة المحصورة بعروة واحدة ونضرب النتيجة في 3.

Plot of Curve sin(3t) and limits of Integration
الشكل 5. التمثيل مع حدود التكامل

تبدأ العروة الموجودة على اليمين وتنتهي عند نقطة الأصل (\( r(\theta) = 0 \)). بحل المعادلة \( \sin(3\theta) = 0 \):

\[ 3\theta = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]

بالنسبة للعروة الأولى في الربع الأول:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{و} \quad \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]

مساحة العروة الواحدة هي:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(6\theta)) \, d\theta = \dfrac{1}{4} \left[ \theta - \dfrac{1}{6}\sin(6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{12} \]

المساحة الكلية للعروات الثلاث هي:

\[ 3A = \dfrac{\pi}{4} \]

المثال 3

أوجد مساحة المنطقة المشتركة بين المنحنيين \( r_1(\theta) = \sin(\theta) \) و \( r_2(\theta) = 0.5(1 + \cos(2\theta)) \) كما هو موضح أدناه.

Plot of Two Curve Intersecting
الشكل 6. تمثيل المنحنيات المتقاطعة
الحل للمثال 3

بسبب التناظر، نجد مساحة السطح المحصور بين المنحنيين على اليمين ونضرب في 2.

Plot of Two Curve Intersecting and limits of Integration
الشكل 7. المنحنيات المتقاطعة مع حدود التكامل

تتكون المساحة من جزأين، \( A_1 \) و \( A_2 \):

\[ A_1 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r_1^2(\theta) \, d\theta, \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_2}^{\theta_3} r_2^2(\theta) \, d\theta \]

حدود التكامل:

  • \( \theta_1 = 0 \) (حيث \( r_1(\theta) = 0 \))
  • \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \) (حيث \( r_2(\theta) = 0 \))
  • \( \theta_2 \) هي نقطة التقاطع: \( \sin(\theta) = 0.5(1 + \cos(2\theta)) \). باستخدام \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \)، نحصل على \( \sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \)، مما ينتج \( \sin\theta = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \)، لذا \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \).

حساب التكاملات:

\[ A_1 = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{0.66624} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta \approx 0.0450915 \] \[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2} \int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4\theta)) + 2\cos(2\theta)\right) d\theta \approx 0.0409645 \]

مساحة التقاطع الكلية \( A = 2(A_1 + A_2) \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 0.172112 \).

المزيد من المراجع والروابط

  1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  4. الإحداثيات والمعادلات القطبية
  5. نظرة عامة على الإحداثيات القطبية
  6. تحويل الإحداثيات القطبية إلى ديكارتية - حاسبة
  7. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى قطبية - حاسبة