التكاملات التي تتضمن sin(x) و cos(x) بأس فردي

أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، تمارين تدريبية، والإجابات

درس تعليمي لإيجاد التكاملات التي تتضمن حاصل ضرب قوى \( \sin(x) \) و \( \cos(x) \) مع وجود أس فردي لأحد الاثنين. يتم تضمين أمثلة وتمارين مع الحلول.

وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

أمثلة مع حلول مفصلة

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1: احسب \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \)

حل المثال 1:

الفكرة الرئيسية هي إعادة كتابة التكامل عن طريق فصل الحد ذي الأس الفردي إلى حاصل ضرب قوة زوجية وقوة مفردة تساوي 1:

\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]

إذن، يمكن كتابة التكامل المعطى على النحو التالي:

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]

نستخدم الآن المتطابقة الفيثاغورسية \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) ونعوض:

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]

لتكن \( u = \cos(x) \)، مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) أو \( -du = \sin(x) \, dx \). بالتعويض عن ذلك في التكامل:

\[ = -\int (1 - u^2) u^2 \, du \]

فك وحساب التكامل:

\[ = \int (u^4 - u^2) \, du = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos(x) \):

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]
المثال 2: احسب \( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx \)

حل المثال 2:

أعد كتابة \( \cos^5(x) \) على شكل \( \cos^4(x) \cos(x) \):

\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) \, dx \]

استخدم المتطابقة \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) لإعادة كتابة \( \cos^4(x) \) بدلالة قوى \( \sin(x) \):

\[ = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) \, dx \]

لتكن \( u = \sin(x) \)، مما يعطي \( du = \cos(x) \, dx \). بالتعويض في التكامل:

\[ = \int u^{12} (1 - u^2)^2 \, du \]

فك الاقتران المراد تكامله:

\[ = \int u^{12} (1 - 2u^2 + u^4) \, du = \int (u^{12} - 2u^{14} + u^{16}) \, du \]

كامل حدًا بحَد:

\[ = \dfrac{1}{13}u^{13} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{17}u^{17} + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \sin(x) \):

\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]

التمارين

احسب التكاملات التالية. انقر فوق كل تمرين لعرض الحل خطوة بخطوة.

التمرين 1: احسب \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx \)

الحل:

أعد كتابة \( \cos^3(x) = \cos^2(x)\cos(x) = (1 - \sin^2(x))\cos(x) \):

\[ \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx = \int (1 - \sin^2(x))\sin^2(x) \cos(x) \, dx \]

لتكن \( u = \sin(x) \)، \( du = \cos(x) \, dx \):

\[ = \int (1 - u^2)u^2 \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - \dfrac{1}{5}u^5 + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \sin(x) \):

\[ = \dfrac{1}{3}\sin^3(x) - \dfrac{1}{5}\sin^5(x) + C \]
التمرين 2: احسب \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx \)

الحل:

أعد كتابة \( \sin^3(x) = \sin^2(x)\sin(x) = (1 - \cos^2(x))\sin(x) \):

\[ \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))\cos^{14}(x) \sin(x) \, dx \]

لتكن \( u = \cos(x) \)، \( du = -\sin(x) \, dx \implies -du = \sin(x) \, dx \):

\[ = -\int (1 - u^2)u^{14} \, du = \int (u^{16} - u^{14}) \, du = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{1}{15}u^{15} + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos(x) \):

\[ = \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) + C \]

المزيد من المراجع والروابط