التعويض المثلثي في التكاملات

الصيغ، أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، وتمارين تدريبية

احسب التكاملات باستخدام التعويضات المثلثية مع أمثلة وحلول مفصلة وشرح. كما يتم تقديم المزيد من التمارين مع الحلول في أسفل الصفحة.

في جميع الأمثلة والتمارين، يمثل \( c \) ثابت التكامل.

المتطابقات المثلثية لتبسيط الجذور التربيعية

نبدأ بالمطابقة المثلثية:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \]

أعد كتابة المتطابقة أعلاه على النحو التالي:

\[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \]

خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين للحصول على:

\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \qquad (I') \]

اقسم جميع حدود المتطابقة \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) على \( \cos^2 x \) (أو أعد ترتيبها) للحصول على متطابقة أخرى معطاة بـ:

\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \]

خذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المتطابقة أعلاه للحصول على:

\[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \]

يمكن أيضًا كتابة المتطابقة (II) على النحو التالي:

\[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \]

خذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المتطابقة أعلاه للحصول على:

\[ \sqrt{\sec^2 x - 1} = |\tan x| \qquad (III') \]

القسم أ - حساب التكاملات التي تتضمن تعبيرات على الشكل \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \)

بالنظر إلى التعبير:

\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \]

حلل \( a^2 \) تحت الجذر التربيعي وأخرج \( |a| \) خارج الجذر التربيعي:

\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = \sqrt{a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2 \right)} = |a| \sqrt{1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2} \]

قم بالتعويض التالي:

\[ \sin t = \dfrac{bx}{a} \]

وأعد كتابة التعبير \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) على النحو التالي:

\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = |a| \sqrt{1 - \sin^2 t} = |a| |\cos t| \]
المثال 1: احسب التكامل \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx \)

حل المثال 1:

أعد كتابة التعبير \( \sqrt{16 - 4x^2} \) في مقام الاقتران المراد تكامله على النحو التالي:

\[ \sqrt{16 - 4x^2} = \sqrt{16\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)} = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]

التعويض المثلثي: لتكن \( \dfrac{x}{2} = \sin t \) أو \( x = 2\sin t \)، مما يعطي \( \dfrac{dx}{dt} = 2\cos t \) أو \( dx = 2\cos t \, dt \)؛ ليصبح التكامل:

\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \int \dfrac{(2\sin t)^2}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} (2\cos t) \, dt \]

بسط باستخدام المتطابقة \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \):

\[ = 2 \int \dfrac{\sin^2 t}{|\cos t|} \cos t \, dt \]

بما أن التكامل غير محدود، يمكننا فرض أن \( \cos t \geq 0 \)، إذن \( |\cos t| = \cos t \):

\[ = 2 \int \sin^2 t \, dt \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \):

\[ = 2 \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \, dt = \int (1 - \cos 2t) \, dt \]

احسب التكامل:

\[ = t - \dfrac{1}{2}\sin(2t) + C \]

بما أن \( \dfrac{x}{2} = \sin t \)، فإن \( t = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) \). عوض مرة أخرى للحصول على الإجابة النهائية:

\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2 \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) + C \]

القسم ب - حساب التكاملات التي تتضمن تعبيرات على الشكل \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \)

بالنظر إلى التعبير:

\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \]

حلل \( b^2 \) تحت الجذر التربيعي وأخرج \( |b| \) خارج الجذر التربيعي:

\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1} \]

قم بالتعويض التالي:

\[ \tan t = \dfrac{bx}{a} \]

وأعد كتابة التعبير \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) على النحو التالي:

\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = |b| \sqrt{\tan^2 t + 1} = |b| |\sec t| \]
المثال 2: احسب التكامل \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx \)

حل المثال 2:

أعد كتابة التعبير \( \sqrt{25x^2 + 4} \) في البسط على النحو التالي:

\[ \sqrt{25x^2 + 4} = \sqrt{4\left(\dfrac{25x^2}{4} + 1\right)} = 2 \sqrt{\left(\dfrac{5x}{2}\right)^2 + 1} \]

التعويض المثلثي: لتكن \( \dfrac{5x}{2} = \tan t \) أو \( x = \dfrac{2}{5}\tan t \)، مما يعطي \( dx = \dfrac{2}{5}\sec^2 t \, dt \)؛ ويُعطى التكامل بـ:

\[ \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx = \int \dfrac{2\sqrt{\tan^2 t + 1}}{\left(\dfrac{2}{5}\tan t\right)^4} \left(\dfrac{2}{5}\sec^2 t\right) dt \]

بسط باستخدام \( \sqrt{\tan^2 t + 1} = |\sec t| \):

\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{|\sec t|}{\tan^4 t} \sec^2 t \, dt \]

بفرض أن \( \sec t \geq 0 \)، فإن \( |\sec t| = \sec t \):

\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\sec^3 t}{\tan^4 t} \, dt \]

أعد الكتابة بدلالة \( \sin t \) و \( \cos t \):

\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\cos t}{\sin^4 t} \, dt \]

التعويض: لتكن \( w = \sin t \)، إذن \( dw = \cos t \, dt \):

\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{1}{w^4} \, dw \]

احسب باستخدام قاعدة القوة:

\[ = -\dfrac{125}{12 w^3} + C \]

عوض مرة أخرى بـ \( w = \sin t \) و \( t = \arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right) \):

\[ = -\dfrac{125}{12} \cdot \dfrac{1}{\left(\sin\left(\arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right)\right)\right)^3} + C \]

باستخدام المتطابقة \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)، نبسط إلى:

\[ = -\dfrac{\sqrt{(25x^2 + 4)^3}}{12x^3} + C \]

القسم ج - حساب التكاملات التي تتضمن تعبيرات على الشكل \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \)

بالنظر إلى التعبير:

\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \]

حلل \( b^2 \) تحت الجذر التربيعي وأخرج \( |b| \) خارج الجذر التربيعي:

\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1} \]

قم بالتعويض التالي:

\[ \sec t = \dfrac{bx}{a} \]

وأعد كتابة التعبير \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) على النحو التالي:

\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = |b| \sqrt{\sec^2 t - 1} = |b| |\tan t| \]
المثال 3: احسب التكامل \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx \)

حل المثال 3:

أعد كتابة التعبير \( \sqrt{4x^2 - 9} \) في المقام على النحو التالي:

\[ \sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{9\left(\dfrac{4x^2}{9} - 1\right)} = 3 \sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} \]

التعويض المثلثي: لتكن \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \) أو \( x = \dfrac{3}{2}\sec t \)، مما يعطي \( dx = \dfrac{3}{2}\sec t \tan t \, dt \)؛ والتكامل هو:

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx = \int \dfrac{1}{3\sqrt{\sec^2 t - 1}} \left(\dfrac{3}{2}\sec t \tan t\right) dt \]

بسط باستخدام \( \sqrt{\sec^2 t - 1} = |\tan t| \):

\[ = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{|\tan t|} \sec t \tan t \, dt \]

بفرض أن \( \tan t \geq 0 \)، فإن \( |\tan t| = \tan t \):

\[ = \dfrac{1}{2} \int \sec t \, dt \]

هذا التكامل قياسي ومعروف:

\[ = \dfrac{1}{2} \ln|\tan t + \sec t| + C \]

بما أن \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \)، فلدينا \( t = \text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right) \). بالتعويض مرة أخرى:

\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right)\right) + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]

باستخدام المتطابقة \( \tan(\text{arcsec}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \)، نبسط إلى:

\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]

التمارين

احسب التكاملات التالية. انقر فوق كل تمرين لعرض الحل خطوة بخطوة.

التمرين 1: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 2x^2}} \, dx \)

الحل:

أعد كتابة المقام على شكل \( \sqrt{9\left(1 - \dfrac{2x^2}{9}\right)} = 3\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)^2} \).

لتكن \( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x = \sin t \implies x = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin t \)، \( dx = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t \, dt \).

بالتعويض والتبسيط ينتج:

\[ \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left( \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right) \right) + C \]
التمرين 2: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x^4} \, dx \)

الحل:

لتكن \( 3x = \tan t \implies x = \dfrac{1}{3}\tan t \)، \( dx = \dfrac{1}{3}\sec^2 t \, dt \).

التعويض في التكامل والتبسيط يؤدي إلى:

\[ -\dfrac{(1 + 9x^2)^{3/2}}{3x^3} + C \]
التمرين 3: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2 - 36}} \, dx \)

الحل:

أعد كتابة المقام على شكل \( \sqrt{9(x^2 - 4)} = 3\sqrt{x^2 - 4} \).

لتكن \( \dfrac{x}{2} = \sec t \implies x = 2\sec t \)، \( dx = 2\sec t \tan t \, dt \).

تقييم التكامل ينتج عنه:

\[ \dfrac{1}{3}\ln\left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2 - 4} + x\right|}{2}\right) + C \]

المزيد من المراجع والروابط