حل مسائل معدل التغير في التفاضل والتكامل

أمثلة محلولة

المسألة 1

خزان مياه مستطيل الشكل (انظر الشكل أدناه) يُملأ بمعدل ثابت قدره \( 20 \) لتراً في الثانية. قاعدة الخزان لها أبعاد w = 1 متر و L = 2 متر. ما هو معدل تغير ارتفاع الماء في الخزان؟ (عبر عن الإجابة بـ cm/sec).

عرض حل المسألة 1

حجم الماء \( V \) في الخزان يُعطى كالتالي:

\[ V = w \times L \times H \]

نعلم أن معدل تغير الحجم \( \dfrac{dV}{dt} = 20 \) لتر/ثانية. نحتاج إلى إيجاد معدل تغير الارتفاع \( H \)، وهو \( \dfrac{dH}{dt} \). بما أن \( V \) و \( H \) دالتان في الزمن \( t \)، فإننا نشتق طرفي صيغة الحجم بالنسبة إلى \( t \):

\[ \frac{dV}{dt} = w \times L \times \frac{dH}{dt} \]

لاحظ أن \( w \) و \( L \) لا يتغيران مع الزمن وبالتالي يُعاملا كثوابت أثناء الاشتقاق.

الحل من أجل \( \dfrac{dH}{dt} \):

\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\dfrac{dV}{dt}}{w \times L} \]

نقوم بتحويل الوحدات إلى سنتيمترات وسنتيمترات مكعبة:

• \( 1 \) لتر = \( 1 \) ديسيمتر مكعب = \( 1000 \; \text{cm}^3 \)
• \( 1 \) متر = \( 100 \; \text{cm} \)

تعويض القيم:

\[ \frac{dH}{dt} = \frac{20 \times 1000 \; \text{cm}^3/\text{sec}}{100 \; \text{cm} \times 200 \; \text{cm}} = \frac{20,000}{20,000} = 1 \; \text{cm/sec} \]

المسألة 2

طائرة تطير في اتجاه مستقيم وعلى ارتفاع ثابت يبلغ \( 5000 \) متر (انظر الشكل أدناه). زاوية ارتفاع الطائرة من نقطة مراقبة ثابتة هي \( a \). سرعة الطائرة هي \( 500 \) كم/ساعة. ما هو معدل تغير الزاوية \( a \) عندما تكون \( 25^\circ \)؟ (عبر عن الإجابة بالدرجات/ثانية وقرب إلى رقم عشري واحد).

عرض حل المسألة 2

تطير الطائرة أفقياً بمعدل \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/hr} \). من حساب المثلثات، نربط الزاوية \( a \)، والارتفاع \( h \)، والمسافة الأفقية \( x \):

\[ \tan a = \frac{h}{x} \]

بما أن \( a \) و \( x \) دالتان في الزمن \( t \)، فإننا نشتق الطرفين بالنسبة إلى \( t \):

\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} \]

باستخدام قاعدة السلسلة:

\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = (\sec^2 a) \frac{da}{dt} \] \[ \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} = h \left(-\frac{1}{x^2}\right) \frac{dx}{dt} \quad (\text{بما أن } h \text{ ثابت}) \]

مساواة المشتقين:

\[ (\sec^2 a) \frac{da}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \implies \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} \]

من \( \tan a = \dfrac{h}{x} \)، لدينا \( x = \dfrac{h}{\tan a} \). تعويض \( x^2 = \dfrac{h^2}{\tan^2 a} \):

\[ \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h \tan^2 a}{h^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} = -\frac{\tan^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \cdot \cos^2 a = -\frac{\sin^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \]

باستخدام تحويلات الوحدات (\( 1 \; \text{km} = 1000 \; \text{m} \)، \( 1 \; \text{hour} = 3600 \; \text{sec} \))، السرعة \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/hr} = \dfrac{500,000 \; \text{m}}{3600 \; \text{sec}} \)، والارتفاع \( h = 5000 \; \text{m} \)، و \( a = 25^\circ \):

\[ \frac{da}{dt} = -\frac{\sin^2(25^\circ)}{5000} \left(\frac{500,000}{3600}\right) \approx -0.005 \; \text{radians/sec} \]

تحويل الراضيانات إلى درجات (\( 180/\pi \)):

\[ \frac{da}{dt} = -0.005 \times \frac{180}{\pi} \approx -0.2865 \approx -0.3 \; \text{degrees/sec} \]

المسألة 3

إذا تم توصيل مقاومنتين بمقاومتين \( R_1 \) و \( R_2 \) على التوازي كما هو موضح في الشكل أدناه، فإن سلوكهما الكهربائي يكافئ مقاومة ذات مقاومة \( R \) بحيث:

\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]

إذا كانت \( R_1 \) تتغير مع الزمن بمعدل \( \dfrac{dR_1}{dt} \) و \( R_2 \) ثابتة، فعبر عن معدل التغير \( \dfrac{dR}{dt} \) بدلالة \( \dfrac{dR_1}{dt} \)، و \( R_1 \)، و \( R_2 \).

عرض حل المسألة 3

اشتقاق طرفي معادلة المقاومة المتوازية بالنسبة إلى الزمن \( t \) (مع ملاحظة أن \( R_2 \) ثابت):

\[ -\frac{1}{R^2} \frac{dR}{dt} = -\frac{1}{R_1^2} \frac{dR_1}{dt} \]

إعادة ترتيب المعادلة من أجل \( \dfrac{dR}{dt} \):

\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{R}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]

من \( \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \)، يمكننا التعبير عن \( R \) صراحةً:

\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]

تعويض \( R \) في معادلة المشتقة:

\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]

التمارين والحلول

1. أوجد صيغة لمعدل التغير \( \dfrac{dV}{dt} \) لحجم بالون يتم نفخه بحيث يزداد نصف قطره \( R \) بمعدل يساوي \( \dfrac{dR}{dt} \).
   عرض حل التمرين 1

   \[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} \]
2. أوجد صيغة لمعدل التغير \( \dfrac{dA}{dt} \) لمساحة \( A \) لمربع يتغير طول ضلعه \( x \) سنتيمتر بمعدل يساوي \( 2 \; \text{cm/sec} \).
   عرض حل التمرين 2

   \[ A = x^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} = 2x(2) = 4x \; \text{cm}^2/\text{sec} \]
3. تبدأ سيارتان في الحركة من نفس النقطة في اتجاهين يصنعان زاوية \( 90^\circ \) بسرعتين ثابتتين \( s_1 \) و \( s_2 \). أوجد صيغة لمعدل تغير المسافة \( D \) بين السيارتين.
   عرض حل التمرين 3

   \[ D^2 = x^2 + y^2 \] الاشتقاق ضمنياً بالنسبة إلى \( t \): \[ 2D \frac{dD}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} \implies \frac{dD}{dt} = \frac{x s_1 + y s_2}{D} \] بما أن \( x = s_1 t \)، و \( y = s_2 t \)، و \( D = \sqrt{(s_1 t)^2 + (s_2 t)^2} = t\sqrt{s_1^2 + s_2^2} \): \[ \frac{dD}{dt} = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} \]

المراجع والروابط

• دروس مسائل التفاضل والتكامل
• مسائل المعدلات المرتبطة في التفاضل والتكامل
• الصفحة الرئيسية لأنايلايز ماث