How is a definite integral defined using Riemann sums?

A definite integral of a function f(x) over an interval [a, b] is defined as the limit of Riemann sums as the number of subintervals n approaches infinity: ∫_a^b f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(x_i) Δx.

تعريف التكاملات المحددة – مجاميع ريمان ونهاية المجموع

في التفاضل والتكامل، يُعَرَّف التكامل للدالة \( f(x) \) على الفترة \( [a, b] \) كنهاية لمجاميع ريمان.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

مجاميع ريمان

لنقسم الفترة \( [a, b] \) إلى \( n \) فترة جزئية، عرض كل منها \( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \). يمكننا بعد ذلك اختيار نقطة عينة \( x_i \) في كل فترة جزئية \( [x_{i-1}, x_i] \) لـ \( i = 1, 2, \ldots, n \).

مجموع ريمان المرتبط بهذا التقسيم واختيار نقاط العينة يُعطى كالتالي:

\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]

التكامل كالنهاية

نهاية مجموع ريمان، عندما تقترب \( n \) من ما لا نهاية، تُمثل التكامل المحدد للدالة \( f(x) \) على \( [a, b] \)، ويُرمز إليها بالرمز:

\[ \int_a^b f(x) \; dx = \lim_{n\to\infty} R_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]

تعريف التكاملات المحددة
مجاميع ريمان

مجاميع ريمان

التكامل كالنهاية

الروابط والمراجع