What are parametric equations?

Parametric equations express the coordinates x and y of a curve as functions of a third independent variable known as a parameter (usually t). They are often used to describe complex curves and motion in calculus and physics.

المعادلات الوسيطية – التعريفات، الأمثلة والحلول

تُعرض المعادلات الوسيطية مع أمثلة وحلولها. يتم تضمين المزيد من الأسئلة مع الحلول.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

الأمثلة

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

يتم وصف بعض المنحنيات بشكل أفضل باستخدام المعادلات الوسيطية \( x \) و \( y \) بدلالة وسيط (parameter) [1] [2].
فيما يلي مثال على المعادلات الوسيطية \( x(t) \) و \( y(t) \) بدلالة الوسيط \( t \):

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t \\ y(t) &= 0.5 t^2 \qquad \text{for} \; t \in [0, 3] \end{aligned} \right. \]

عرض الحل والتحليل للمثال 1

يتم رسم المنحنى عن طريق إيجاد إحداثيات \( x \) و \( y \) لقيم مختلفة للوسيط \( t \):

Table of Values of Parametric Equations — الجدول 1. جدول القيم لـ \( x(t) = t \) و \( y(t) = 0.5 t^2 \)

تحدد كل قيمة لـ \( t \) نقطة \( (x, y) \) مرسومة في نظام الإحداثيات. مع تغير \( t \)، ترسم النقطة \( (x(t), y(t)) \) منحنى يسمى منحنى وسيطياً. توضح الأسهم الحمراء اتجاه زيادة الوسيط \( t \).

Example of Parametric Equations — الشكل 1. رسم المنحنى الوسيطي \( x(t) = t \) و \( y(t) = 0.5 t^2 \)

ملاحظة أن المنحنى الناتج هو جزء من قطع مكافئ يمكن الحصول عليه بالتخلص من \( t \):
حل المعادلة الأولى \( x(t) = t \) من أجل \( t \): \( t = x \).
عوض بـ \( t \) في المعادلة الثانية \( y(t) = 0.5 t^2 \):

\[ y = 0.5 x^2 \]

عند أخذ قيم لـ \( t \) في المدى \( [0, 3] \)، يُعرض جزء فقط من هذا القطع المكافئ.

المثال 2

يوضح هذا المثال ميزة استخدام معادلات وسيطية بسيطة لوصف منحنيات معقدة. تصف المعادلات الوسيطية أدناه منحنيات ليساجو المستخدمة في الهندسة الكهربائية.
لتكن:

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t + 1 \\ y(t) &= \sin 2t + 2 \qquad \text{for} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

عرض الحل والتحليل للمثال 2

Table of Values of Lissajous Curves — الجدول 2. جدول القيم لـ \( x(t) = \sin t + 1 \) و \( y(t) = \sin 2t + 2 \)

Plot of Lissajous Curves — الشكل 2. رسم منحنى ليساجو الوسيطي

دعونا نجد معادلة المنحنى بالإحداثيات الديكارتية عن طريق التخلص من الوسيط \( t \):

تعطي المعادلة الأولى:

\[ \sin t = x - 1 \]

باستخدام المتطابقة المثلثية \( \sin(2t) = 2\sin t \cos t \)، أعد كتابة المعادلة الثانية:

\[ y = 2\sin t \cos t + 2 \]

بما أن \( \cos t = \pm\sqrt{1 - \sin^2 t} \):

\[ y = \pm 2\sin t \sqrt{1 - \sin^2 t} + 2 \]

عوض بـ \( \sin t = x - 1 \):

\[ y = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} + 2 \implies y - 2 = \pm 2(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^2} \]

تربيع الطرفين والتبسيط ينتج عنه معادلة ديكارتية واحدة:

\[ (y - 2)^2 = 4(x - 1)^2(2x - x^2) \]

ملاحظة: يوضح هذا بساطة المعادلات الوسيطية في تمثيل المنحنيات المعقدة التي يصعب وصفها بالإحداثيات الديكارتية.

الأسئلة

أوجد معادلة بالإحداثيات الديكارتية لوصف المنحنى لكل مجموعة من المعادلات الوسيطية أدناه وارسم المنحنيات الناتجة.

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= t^3 - 1 \\ y(t) &= \dfrac{1}{t - 1} \qquad \text{for} \; t \in [-1, 1.5] \end{aligned} \right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\sin t - 3 \\ y(t) &= 2\cos t + 4 \qquad \text{for} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2\cos(2t) \\ y(t) &= \sin t - 1 \qquad \text{for} \; t \in [0, 2\pi] \end{aligned} \right. \]

حلول التمارين أعلاه

حل السؤال 1

عرض حل السؤال 1

حل المعادلة \( x = t^3 - 1 \) من أجل \( t \):

\[ t = \sqrt[3]{x + 1} \]

عوض بـ \( t \) في \( y \):

\[ \boxed{y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 1} - 1}} \]

حل السؤال 2

عرض حل السؤال 2

أعد كتابة المعادلتين على شكل:

\[ \sin t = \dfrac{x + 3}{2}, \quad \cos t = \dfrac{y - 4}{2} \]

عوض في المتطابقة \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \):

\[ \left(\dfrac{x + 3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y - 4}{2}\right)^2 = 1 \]

بسط للحصول على معادلة الدائرة القياسية:

\[ \boxed{(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2} \]

ملاحظة: هذه دائرة مركزها \( (-3, 4) \) ونصف قطرها \( 2 \).

حل السؤال 3

عرض حل السؤال 3

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t \):

\[ x = 2(1 - 2\sin^2 t) \]

من \( y = \sin t - 1 \)، نحصل على \( \sin t = y + 1 \). عوض بهذه في معادلة \( x \):

\[ \boxed{x = 2 - 4(y + 1)^2} \]

ملاحظة: يمثل هذا قطعاً مكافئاً محوره أفقياً ورأسه عند النقطة \( (2, -1) \).

Plot of Curves Given by Parametric Equations — الشكل 3. رسم المنحنيات لجميع المعادلات الوسيطية المذكورة أعلاه