متسلسلات فورييه للدوال الدورية

درس تفاعلي في التفاضل والتكامل، حساب المعاملات، وتطبيق مرئي

تُعطى دروس حول متسلسلات فورييه. في الجزء الأول، يتم استخدام مثال لتوضيح كيفية حساب معاملات فورييه، وفي الجزء الثاني، يمكنك استخدام تطبيق تفاعلي لاستكشاف متسلسلات فورييه لنفس الدالة.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

متسلسلات فورييه والمعاملات

يمكن استخدام متسلسلات فورييه لتمثيل الدوال الدورية كتركيبة خطية لدوال الجيب وجتا. إذا كانت \( f(t) \) دالة دورية ذات فترة \( T \)، فعند شروط معينة، تُعطى متسلسلة فورييه الخاصة بها كالتالي:

\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right)\right] \]

حيث \( n = 1, 2, 3, \ldots \) و \( T \) هي فترة الدالة \( f(t) \). يُسمى \( a_n \) و \( b_n \) معاملات فورييه وتُعطى كالتالي:

\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt \] \[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]

المثال 1

أوجد متسلسلة فورييه للدالة الدورية \( f(t) \) المعرفة بـ:

\[ f(t) = \begin{cases} 1, & \text{for } 0 \leq t < T/2 \\ -1, & \text{for } T/2 \leq t < T \end{cases} \]
Graph of the periodic function f(t)
الشكل 1. رسم دالة الموجة المربعة الدورية \( f(t) \)
عرض حل المثال 1

المعامل \( a_0 \) يُعطى كالتالي:

\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} (1) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \, dt \]

المعامل \( a_n \) يُعطى كالتالي:

\[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]

المعامل \( b_n \) يُعطى كالتالي:

\[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]

حساب التكاملات يعطي:

\[ a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad \text{and } b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) \]

لاحظ أن \( \cos(n\pi) = (-1)^n \)، مما يعني أن \( b_n = 0 \) كلما كانت \( n \) زوجية.

إذن، متسلسلة فورييه للدالة \( f(t) \) هي:

\[ f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]

تطبيق تفاعلي حول متسلسلات فورييه

لأغراض الحساب العددي، لا يمكننا تضمين عدد لا نهائي من الحدود. لذلك نعرف دالة المجموع الجزئي \( f_N(t) \) بعدد محدود من الحدود \( N \):

\[ f_N(t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]

يمكن استخدام التطبيق أدناه لاستكشاف متسلسلة فورييه للدالة \( f(t) \) التي تم حلها في المثال 1. قم بزيادة \( N \) لترى كيف يتقارب رسم \( f_N(t) \) (باللون الأزرق) نحو رسم \( f(t) \) (باللون الأحمر).

القيم الافتراضية هي \( N = 5 \) و \( T = 4 \). قم بتغيير \( N \) و \( T \) وانقر فوق الزر لتحديث الرسم البياني.

\( N \) = \( T \) =

مرر مؤشر الفأرة فوق الرسم البياني أو النقطة المرسومة لقراءة الإحداثيات.

المراجع والروابط