أوجد أبعاد مستطيل طوله يزيد بـ 3 أمتار عن عرضه ومحيطه يساوي مساحته عدداً.

بفرض أن الطول (L) = العرض (W) + 3، المحيط هو 4W + 6 والمساحة هي W^2 + 3W. بمساواة الاثنين ببعضهما نحصل على W^2 - W - 6 = 0. التحليل يعطي (W - 3)(W + 2) = 0. إذن العرض 3 أمتار والطول 6 أمتار.

أوجد محيط قرص دائري مساحته 100 باي سنتيمتر مربع.

صيغة المساحة هي pi * r^2. بوضع 100 pi = pi * r^2 نجد أن نصف القطر يساوي 10. المحيط هو 2 * pi * r، والذي يساوي 20 pi.

نصف دائرة مساحتها 1250 باي سنتيمتر مربع محاطة داخل مستطيل. أوجد مساحة المستطيل.

مساحة نصف الدائرة هي (1/2) * pi * r^2 = 1250 pi، إذن r = 50. طول المستطيل هو القطر (100) وعرضه هو نصف القطر (50). المساحة هي 100 * 50 = 5000 سنتيمتر مربع.

مسائل الهندسة مع الإجابات والحلول

المسألة 1

كل ضلع من أضلاع هرم مربّع الشكل موضح أدناه قياسه 10 بوصات. والارتفاع الجانبي، H، لهذا الهرم قياسه 12 بوصة.

ما هي مساحة قاعدة الهرم بالبوصة المربعة؟
ما هي المساحة السطحية الإجمالية للهرم بالبوصة المربعة؟
ما هو ارتفاع الهرم، h، بالبوصة؟
باستخدام الارتفاع الذي حددته في الجزء (ج)، ما هو حجم الهرم بالبوصة المكعبة؟

عرض الحل

أ) مساحة المربع: 10 \times 10 = 100 بوصة مربعة.

ب) المساحة الكلية = القاعدة + 4 مثلثات:

$$100 + 4 \left( \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \right) = 340 \text{ square inches.}$$

ج) باستخدام مبرهنة فيثاغورس مع الارتفاع الجانبي ونصف القاعدة:

$$h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \text{ inches.}$$

د) الحجم:

$$\text{Volume} = \frac{1}{3} \times 100 \times \sqrt{119} \approx 363.6 \text{ cubic inches.}$$

المسألة 2

متوازي الأضلاع الموضح في الشكل أدناه محيطه 44 سم ومساحته 64 سم². أوجد الزاوية T بالدرجات.

عرض الحل

اكتب معادلة المحيط:

$$44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4)$$

حل المعادلة لإيجاد x:

$$x = 2$$

طول القاعدة هو 5(2) + 4 = 14. والضلع المائل هو 3(2) + 2 = 8.

أوجد ارتفاع متوازي الأضلاع باستخدام المساحة:

$$\text{height} = \frac{\text{area}}{\text{base}} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \text{ cm}$$

استخدم حساب المثلثات لإيجاد الزاوية T:

$$\sin(T) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{32/7}{8} = \frac{32}{56} = \frac{4}{7}$$

$$T = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right) \approx 34.8^\circ$$

المسألة 3

أوجد مساحة الشكل الرباعي الموضح في الشكل. (ملاحظة: الشكل مرسوم بدون مقياس رسمي)

عرض الحل

المثلث $\triangle ABD$ هو مثلث قائم الزاوية؛ وبالتالي حسب مبرهنة فيثاغورس:

$$BD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$$

بالنسبة للمثلث $\triangle BCD$، اختبر ما إذا كان مثلثاً قُائم الزاوية بفحص مجموع مربعي ضلعيه الأقصر:

$$BC^2 + CD^2 = 21^2 + 3^2 = 441 + 9 = 450$$

بما أن $BC^2 + CD^2 = BD^2$، فإن المثلث $\triangle BCD$ هو أيضاً مثلث قائم الزاوية.

المساحة الكلية للشكل الرباعي هي مجموع مساحتي المثلثين القائمين:

$$\text{Area} = \left(\frac{1}{2} \times 15 \times 15\right) + \left(\frac{1}{2} \times 21 \times 3\right) = 112.5 + 31.5 = 144$$

المسألة 4

في الشكل أدناه، مساحة المثلث OAB تساوي 72 وحدة مربعة ومساحة المثلث ODC تساوي 288 وحدة مربعة. أوجد x كطول للقطعة المستقيمة BC و y كطول للقطعة المستقيمة AD.

عرض الحل

باستخدام صيغة الجيب لمساحة المثلث، احسب مساحة $\triangle OAB$:

$$\text{Area of } \triangle OAB = 72 = \frac{1}{2} \sin(\angle AOB) \cdot OA \cdot OB$$

بما أن $OA = 18$ و $OB = 16$، أوجد قيمة $\sin(\angle AOB)$:

$$\sin(\angle AOB) = \frac{2 \cdot 72}{18 \cdot 16} = \frac{1}{2}$$

بما أن $\angle DOC$ و $\angle AOB$ زاويتان متقابلتان بالرأس، فإن $\sin(\angle DOC) = \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}$.

الآن احسب مساحة $\triangle ODC$:

$$\text{Area of } \triangle ODC = 288 = \frac{1}{2} \sin(\angle DOC) \cdot OD \cdot OC$$
$$288 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \cdot (18 + y)(16 + x)$$
$$1152 = (18 + y)(16 + x)$$

تقع النقط على دائرة. وحسب مبرهنة القاطعين المتقاطعين:

$$OA \cdot OD = OB \cdot OC$$
$$18(18 + y) = 16(16 + x)$$

لدينا الآن نظام معادلات:
1) $(18 + y)(16 + x) = 1152$
2) $18(18 + y) = 16(16 + x) \Rightarrow (18 + y) = \frac{8}{9}(16 + x)$

عوض المعادلة 2 في المعادلة 1:

$$\left(\frac{8}{9}(16 + x)\right)(16 + x) = 1152$$
$$(16 + x)^2 = 1152 \times \frac{9}{8} = 1296$$
$$16 + x = 36 \Rightarrow x = 20$$

عوض بـ $x = 20$ في المعادلة 2:

$$18 + y = \frac{8}{9}(16 + 20) = \frac{8}{9}(36) = 32$$
$$y = 14$$

المسألة 5

أوجد أبعاد المستطيل الذي يزيد طوله عن عرضه بمقدار 3 أمتار ومحيطه يساوي مساحته عدداً.

عرض الحل

ليكن L هو الطول و W هو العرض للمستطيل. المعطى: L = W + 3

المحيط: 2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6

المساحة: LW = (W + 3)W = W^2 + 3W

بما أن المساحة والمحيط متساويان في القيمة:

$$W^2 + 3W = 4W + 6$$

حل المعادلة التربيعية:

$$W^2 - W - 6 = 0$$
$$(W - 3)(W + 2) = 0$$

لا يمكن أن يكون العرض سالباً، إذن W = 3. عوض لإيجاد الطول:

$$L = 3 + 3 = 6$$

الإجابة: العرض = 3 أمتار، الطول = 6 أمتار.

المسألة 6

أوجد محيط قرص دائري مساحته 100 \pi سنتيمتر مربع.

عرض الحل

ليكن r نصف قطر القرص. المساحة هي 100\pi؛ وعليه،

$$100\pi = \pi r^2$$

حل لـ r:

$$r = 10$$

المحيط هو:

$$C = 2\pi r = 20\pi \text{ cm}$$

المسألة 7

نصف دائرة مساحتها 1250 \pi سنتيمتر مربع محاطة داخل مستطيل. قطر نصف الدائرة ينطبق على طول المستطيل. أوجد مساحة المستطيل.

عرض الحل

ليكن r نصف قطر نصف الدائرة. المساحة هي:

$$1250\pi = \frac{1}{2} \pi r^2$$

الحل لـ r:

$$2500 = r^2 \Rightarrow r = 50$$

طول المستطيل هو 2r = 100 (بما أن نصف الدائرة محاطة).
عرض المستطيل هو r = 50 (بما أن نصف الدائرة محاطة).

مساحة المستطيل هي:

$$\text{Area} = 100 \times 50 = 5000 \text{ cm}^2$$

مسائل الهندسة مع الإجابات والحلول - الصف العاشر

المسألة 1

المسألة 2

المسألة 3

المسألة 4

المسألة 5

المسألة 6

المسألة 7

الروابط والمراجع