أسئلة اختبار ممارسة رياضيات الصف العاشر

حل أ: انشر الأطراف اليسرى: \( -2x+4-y-3=3 \rightarrow -2x-y=2 \) (المعادلة الأولى) و \( 2x+6-3y+6=10 \rightarrow 2x-3y=-2 \) (المعادلة الثانية). اجمع المعادلتين (I) و (II) للتخلص من \( x \): \( (-2x-y) + (2x-3y) = 2 + (-2) \rightarrow -4y = 0 \rightarrow y = 0 \). عوض بـ \( y=0 \) في (I): \( -2x-0=2 \rightarrow x = -1 \). الإجابة النهائية: (-1, 0).

حل ب: اضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 5: \( x-1+3y=15 \rightarrow x+3y=16 \) (I) و \( 10(x+3)-y=35 \rightarrow 10x-y=5 \) (II). اضرب (II) في 3: \( 30x-3y=15 \). اجمع مع (I): \( 31x=31 \rightarrow x=1 \). عوض: \( 1+3y=16 \rightarrow 3y=15 \rightarrow y=5 \). الإجابة النهائية: (1, 5).

حل ج: أوجد \( y \) من (II): \( 2y = 4x-6 \rightarrow y = 2x-3 \). عوض في (I): \( (x-1)^2 + (2x-3) = -1 \rightarrow x^2-2x+1+2x-3 = -1 \rightarrow x^2-1=0 \). إذن \( x = 1 \) أو \( x = -1 \). عندما \( x=1, y=-1 \). وعندما \( x=-1, y=-5 \). الإجابة النهائية: (1, -1) و (-1, -5).

حل أ: أولاً، انشر الجداءات: \( (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \) و \( (x-2)^2 = x^2-4x+4 \). طبق الإشارة السالبة: \( -(x^2+x-2) = -x^2-x+2 \). اجمع الحدود: \( (-x^2-x+2) + (x^2-4x+4) = -5x+6 \). الإجابة النهائية: -5x+6.

حل ب: انشر الجداء التكعيبي: \( x(x^2+3x-3) - 2(x^2+3x-3) = x^3+3x^2-3x - 2x^2-6x+6 = x^3+x^2-9x+6 \). انشر فرق المربعين: \( (x-1)(x+1) = x^2-1 \). اجمع الحدود: \( (x^3+x^2-9x+6) - (x^2-1) = x^3+x^2-9x+6-x^2+1 = x^3-9x+7 \). الإجابة النهائية: x³-9x+7.

حل أ: حدد العامل المشترك الأكبر: 3 و x^2. الشكل المحلل: 3x²(x + 2).

حل ب: أخرج العامل المشترك الثنائي \( (x-3) \): \( (x-3)[(x^2+3x+2) - (x+1)] = (x-3)(x^2+2x+1) \). بالتعرف على مربع ثلاثي الحدود الكامل a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2، نحصل على: (x - 3)(x + 1)².

حل ج: استخدم صيغة فرق المربعين a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). هنا a=9x و b=4y. الإجابة النهائية: (9x - 4y)(9x + 4y).

حل د: أخرج -1: \( -(6x^2-7x+2) \). باستخدام طريقة AC حيث a \cdot c = 12 و b = -7، العددان هما -3 و -4. التحليل يعطي: -(2x - 1)(3x - 2).

حل أ: أخرج -2 من حدود x: \( -2(x^2+x)+4 \). أضف واطرح \( (1/2)^2 = 1/4 \) بالداخل: \( -2[(x+1/2)^2 - 1/4] + 4 = -2(x+1/2)^2 + 1/2 + 4 \). صيغة الرأس: \( f(x) = -2(x+0.5)^2 + 4.5 \). الرأس: (-0.5, 4.5).

حل ب: مقطع المحور الصادي: \( f(0) = \mathbf{4} \). لمقاطع المحور السيني، حل المعادلة \( -2x^2-2x+4=0 \rightarrow -2(x^2+x-2)=0 \rightarrow -2(x+2)(x-1)=0 \). نقاط التقاطع: x = 1, x = -2.

حل ج: محور التماثل هو المستقيم العمودي المار عبر الرأس x = h. الإجابة النهائية: x = -0.5.

الجدول أ: اختبر النسبة y/x: 1.8/0.3 = 6, 4.2/0.7 = 6. هذا تناسب طردي بالصيغة y = 6x. من أجل x=0.2, y = 6(0.2) = \mathbf{1.2}.

الجدول ب: اختبر الجداء xy: 0.1 \cdot 2 = 0.2, 0.5 \cdot 0.4 = 0.2. هذا تناسب عكسي بالصيغة xy = 0.2. من أجل x=20, y = 0.2/20 = \mathbf{0.01}.

الجدول ج: النسب والجداءات ليست ثابتة. لذلك، لا يمكن إنشاء قاعدة تناسب محددة لإيجاد القيمة المفقودة.

طبق مبرهنة فيثاغورس: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( (2x+1)^2 + 12^2 = (4x-1)^2 \)
\( (4x^2 + 4x + 1) + 144 = 16x^2 - 8x + 1 \)
\( 12x^2 - 12x - 144 = 0 \). بالقسمة على 12: \( x^2 - x - 12 = 0 \).
التحليل يعطي \( (x-4)(x+3) = 0 \). بما أن الطول يجب أن يكون موجباً، فإن x = 4.
الأضلاع: \( \overline{AB}=2(4)+1=9 \)، \( \overline{BC}=12 \)، \( \overline{AC}=4(4)-1=15 \).
الزوايا: \( \angle C = \tan^{-1}(9/12) \approx \mathbf{36.87^\circ} \). \( \angle A = 90 - 36.87 = \mathbf{53.13^\circ} \).

استخدام المتطابقة الفيثاغورسية: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
عوض القيمة المعطاة: \( (0.6)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( 0.36 + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 0.64 \).
بما أن \( \alpha \) حادة، نأخذ الجذور الموجبة: \( \cos \alpha = 0.8 \).
باستخدام المتطابقة \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):
\( \tan \alpha = \frac{0.6}{0.8} = \mathbf{0.75} \).

بما أن \( BE \parallel CD \)، فإن المثلثين ABE و ACD متشابهان (\( \triangle ABE \sim \triangle ACD \)) حسب تشابه الزوايا.
إيجاد x: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \rightarrow \frac{10}{10+2} = \frac{6}{x} \rightarrow 10x = 72 \rightarrow \mathbf{x = 7.2} \).
إيجاد y: \( \frac{AE}{AD} = \frac{EB}{DC} \rightarrow \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7.2} \).
\( 6(11+y) = 79.2 \rightarrow 66 + 6y = 79.2 \rightarrow 6y = 13.2 \rightarrow \mathbf{y = 2.2} \).

طبق قانون الجيوب: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \).
\( \frac{10}{\sin A} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow \sin A = \frac{10 \cdot \sin 49^\circ}{14} \approx 0.539 \).
\( A = \sin^{-1}(0.539) \approx \mathbf{32.62^\circ} \).
أوجد الزاوية B: \( B = 180^\circ - (49^\circ + 32.62^\circ) = \mathbf{98.38^\circ} \).
أوجد الضلع \( b \): \( \frac{b}{\sin 98.38^\circ} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow b = \frac{14 \cdot \sin 98.38^\circ}{\sin 49^\circ} \approx \mathbf{18.35 \text{ cm}} \).

1. المقطع الصادي عند \( (0, 3) \). عوض في المعادلة: \( A(0) + B(3) = 1 \rightarrow 3B = 1 \rightarrow \mathbf{B = 1/3} \).
2. المستقيم يمر عبر \( (1, 5) \). عوض بـ \( x=1, y=5, B=1/3 \):
\( A(1) + (1/3)(5) = 1 \rightarrow A + 5/3 = 1 \).
\( A = 1 - 5/3 = \mathbf{-2/3} \).

ليكن \( x \) = حجم محلول 20% و \( y \) = حجم محلول 55%.
المعادلة 1 (الحجم الإجمالي): \( x + y = 5 \)
المعادلة 2 (محتوى الحمض): \( 0.20x + 0.55y = 0.45(5) \rightarrow 0.20x + 0.55y = 2.25 \).
اضرب المعادلة 1 في 0.20: \( 0.20x + 0.20y = 1.0 \).
اطرح من المعادلة 2: \( 0.35y = 1.25 \rightarrow \mathbf{y \approx 3.58 \text{ L}} \).
عوض للخلف: \( x = 5 - 3.58 = \mathbf{1.42 \text{ L}} \).

ليكن \( x \) = المسافة بسرعة 80 كم/س و \( y \) = المسافة بسرعة 120 كم/س.
باستخدام الصيغة \( \text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}} \):
المعادلة 1 (المسافة الإجمالية): \( x + y = 1000 \)
المعادلة 2 (الوقت الإجمالي): \( \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \).
اضرب المعادلة 2 في 240 (المضاعف المشترك الأصغر): \( 3x + 2y = 2400 \).
من المعادلة 1، \( y = 1000 - x \). عوض في المعادلة 2 المبسطة:
\( 3x + 2(1000 - x) = 2400 \rightarrow 3x + 2000 - 2x = 2400 \).
x = 400 km بسرعة 80 كم/س، و y = 600 km بسرعة 120 كم/س.

ليكن \( C = (-1, b) \). لكي يكون AC وتراً، يجب أن تكون الزاوية القائمة عند الرأس B. حسب فيثاغورس: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
صيغة المسافة المربعة: \( d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \).
\( AB^2 = (2 - (-3))^2 + (3 - 4)^2 = 25 + 1 = 26 \).
\( BC^2 = (-3 - (-1))^2 + (4 - b)^2 = 4 + (4 - b)^2 \).
\( AC^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - b)^2 = 9 + (3 - b)^2 \).
أنشئ المعادلة: \( 9 + (3 - b)^2 = 26 + 4 + (4 - b)^2 \).
\( 9 + 9 - 6b + b^2 = 30 + 16 - 8b + b^2 \).
\( 18 - 6b = 46 - 8b \rightarrow 2b = 28 \rightarrow \mathbf{b = 14} \). الإحداثي النهائي: (-1, 14).

1. إيجاد الميزانية الإجمالية (\(B\)):
بما أن 5% من الميزانية هو 200، نكتب المعادلة:
\( 0.05 \cdot B = 200 \)
\( B = \frac{200}{0.05} \)
\( B = \$4,000 \)

2. تحديد المجموع المشترك للسكن (\(h\)) والطعام (\(f\)):
تشكل هذه الفئات 70% من الميزانية:
\( h + f = 0.70 \cdot 4000 \)
\( h + f = \$2,800 \) — (المعادلة الأولى)

3. ربط السكن بالطعام:
السكن يزيد بـ 500 عن الطعام:
\( h = f + 500 \) — (المعادلة الثانية)

4. حل نظام المعادلات:
عوض المعادلة الثانية في الأولى:
\( (f + 500) + f = 2800 \)
\( 2f + 500 = 2800 \)
\( 2f = 2300 \)
\( f = \$1,150 \)

5. إيجاد تكلفة السكن:
\( h = 1150 + 500 \)
\( h = \$1,650 \)

الإجابة النهائية: تنفق ليندا 1,650 دولار على السكن و 1,150 دولار على الطعام.

صيغة مساحة الطائرة الورقية: \( \text{Area} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} \).
في المثلث القائم DMC، \( \angle MDC = 45^\circ \)، لذا فهو متطابق الساقين. \( \overline{DM} = \overline{MC} \).
\( \overline{DM}^2 + \overline{MC}^2 = 10^2 \rightarrow 2\overline{DM}^2 = 100 \rightarrow \overline{DM} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
القطر الأول (\( \overline{BD} \)) = \( 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \).
القطر الثاني (\( \overline{AC} \)) = \( \overline{AM} + \overline{MC} \). \( \overline{AM} = 5\sqrt{2} \cdot \tan(65^\circ) \approx 15.15 \).
\( \overline{AC} = 15.15 + 7.07 = 22.22 \).
المساحة: \( \frac{22.22 \cdot 14.14}{2} \approx \mathbf{157.23 \text{ cm}^2} \).

1. ليكن زاوية القاطع على الخط \( n \) هي \( \alpha = 33^\circ \). بما أن \( m \parallel n \)، فإن الزاوية المتناظرة \( \beta \) على الخط \( m \) تساوي أيضاً \( 33^\circ \).
2. داخل المثلث المتكون من التقاطعات، يجب أن يكون مجموع الزوايا \( 180^\circ \). الزوايا المعلومة هي \( 89^\circ \) و \( 34^\circ \). الزاوية الثالثة \( \theta = 180 - (89 + 34) = \mathbf{57^\circ} \).
3. الزاوية الكلية بين الخط \( m \) والخط \( r \) هي مجموع الزاويتين المتجاورتين \( \beta \) و \( \theta \):
\( \text{Total Angle} = 33^\circ + 57^\circ = \mathbf{90^\circ} \).
بما أن الزاوية \( 90^\circ \)، فالخطان \( m \) و \( r \) متعامدان.

حجم الهرم: \( V = \frac{1}{3} \cdot \text{Base Area} \cdot h \).
ليكن ضلع القاعدة المربعة \( s \). القطر \( d = s\sqrt{2} \rightarrow 10 = s\sqrt{2} \rightarrow s^2 = 50 \) (مساحة القاعدة).
عوض بالقيم: \( 1500 = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot h \).
\( 4500 = 50h \rightarrow \mathbf{h = 90 \text{ cm}} \).