مسائل رياضيات مع الحلول للصف العاشر

مسائل كلامية رياضية صعبة وممتعة للصف العاشر مع حلول وإجابات مفصلة. تشمل الموضوعات الدوال التربيعية، وأنظمة المعادلات، والأسس، ومعادلات الدوائر، والتعبيرات الكسرية، والهندسة، والمثلثات، وحساب المثلثات، ومسائل السرعة، والمزيد.

السؤال 1

قذفت كرة إلى أعلى من سطح مبنى ارتفاعه 20 متراً. ارتفاعها h بالأمتار بعد t ثانية يُعطى بالعلاقة:

$$h(t) = -5t^2 + 15t + 20$$

أ) كم تستغرق الكرة لتصل إلى أقصى ارتفاع لها؟

ب) ما هو أقصى ارتفاع تصله الكرة؟

ج) متى تصطدم الكرة بالأرض؟

عرض الحل

أ) أقصى ارتفاع يحدث عند رأس القطع المكافئ:

$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1.5\ \text{seconds}$$

ب) عوض بـ \(t = 1.5\) في المعادلة للحصول على أقصى ارتفاع:

$$h(1.5) = -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 20 = -11.25 + 22.5 + 20 = 31.25\ \text{meters}$$

ج) ضع \(h(t) = 0\):

$$-5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$$
حلل:
$$(t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{or}\ t = -1$$
الوقت لا يمكن أن يكون سالباً، ومن ثم تصطدم الكرة بالأرض بعد 4 ثوانٍ من قذفها.

السؤال 2

لديك 30 قطعة معدنية من فئة الدايم (10 سنتات) والأرباع دولار. إجمالي قيمتها \(\$5.10\).

أ) كون نظاماً من المعادلات لتمثيل الموقف.

ب) حل النظام لتجد عدد الدايمات والأرباع لديك.

عرض الحل

أ) ليكن d هو عدد الدايمات و q هو عدد الأرباع.
إجمالي عدد القطع هو 30:

$$d + q = 30 \quad \text{(1)}$$
الدايم يساوي 10 سنتات والربع يساوي 25 سنتاً، إذن:
$$0.10d + 0.25q = 5.10 \quad \text{(2)}$$

ب) من المعادلة (1): \(d = 30 - q\)
عوض في المعادلة (2):

$$0.10(30 - q) + 0.25q = 5.10$$
انشر وبسّط:
$$3 - 0.10q + 0.25q = 5.10$$ $$0.15q = 2.10$$ $$q = 14$$
إذن d = 16.
لديك 16 دايماً و 14 ربعاً.

السؤال 3

دائرة مركزها عند النقطة \((3,-2)\) وتمر عبر النقطة \((6,2)\).

أ) أوجد نصف قطر الدائرة.

ب) اكتب معادلة الدائرة بالصورة القياسية: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) حيث \((a,b)\) هو مركز الدائرة.

عرض الحل

أ) نصف القطر هو المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة، ومن ثم نستخدم صيغة المسافة لإيجاد نصف القطر r باستخدام المركز \((3,-2)\) والنقطة \((6,2)\):

$$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

ب) معادلة الدائرة تعطى بالشكل:

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

السؤال 4

بسّط:

$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$

عرض الحل

حلل جميع التعبيرات:

$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$

الآن عوض في التعبير المعطى:

$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$

اختصر العوامل المشتركة \((x - 3)\) و \((x + 3)\) للحصول على:

$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2}$$

عندما نختصر العوامل المشتركة، كما فعلنا أعلاه، فإننا نقسم على عوامل مشتركة. لا يمكننا القسمة على الصفر، لذلك يجب أن نفرض شروطاً بأن العوامل المشتركة المختصرة لا يمكن أن تكون صفراً:

$$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ $$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$

يتبسط التعبير المعطى إلى:

$$\frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{where } x \neq 3,\ -3$$

السؤال 5

حل المعادلة:

$$\sqrt{2x + 3} = x - 1$$

عرض الحل

ربع الطرفين:

$$(\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2$$ $$2x + 3 = x^2 - 2x + 1$$

أعد الترتيب:

$$0 = x^2 - 4x - 2$$

استخدم الصيغة التربيعية:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$$ $$= \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$

تحقق من الحلول الدخيلة:

جرب \(x = 2 + \sqrt{6} \approx 4.45\):
الطرف الأيسر = \(\sqrt{2(4.45) + 3} = \sqrt{11.9} \approx 3.45\)
الطرف الأيمن = \(4.45 - 1 = 3.45\) (صحيح)

جرب \(x = 2 - \sqrt{6} \approx -0.45\):
الطرف الأيسر = \(\sqrt{2(-0.45) + 3} = \sqrt{-0.9 + 3} = \sqrt{2.1} \approx 1.45\)
الطرف الأيمن = \(-0.45 - 1 = -1.45\) (غير صحيح)

الحل \(x = 2 + \sqrt{6}\) يحقق طرفي المعادلة المعطاة بينما \(x = 2 - \sqrt{6}\) لا يحققها وبالتالي يعتبر حلاً دخيلاً.

حل المعادلة المعطاة هو:

$$x = 2 + \sqrt{6}$$

السؤال 6

النقاط المعطاة: A(2, 3)، B(6, 7)، C(10, 5)، D(6, 1)

أثبت أن الشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

عرض الحل

أوجد ميل AB و CD:

$$m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1$$

أوجد ميل BC و AD:

$$m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0.5$$ $$m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

بما أن كلا الزوجين من الأضلاع المتقابلة متوازيان، فإن ABCD متوازي أضلاع.

السؤال 7

حل لـ x:

$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 625$$

عرض الحل

أولاً، اكتب 625 على صورة قوة للعدد 5:

$$625 = 5^4$$

استخدم قواعد الأسس للكتابة:

$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1}$$

أعد كتابة المعادلة:

$$5^{2x - 1} = 5^4$$

مما يعطي المعادلة الجبرية:

$$2x - 1 = 4$$

حل لـ x:

$$x = \frac{5}{2}$$

السؤال 8

في المثلث ABC، الضلع a = 7 سم، والضلع b = 10 سم، والزاوية C = 120^\circ.
أوجد طول الضلع c.

عرض الحل

استخدم قانون جيب التمام:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ $$c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ)$$ $$c^2 = 49 + 100 - 140(-0.5)$$ $$c^2 = 149 + 70 = 219$$ $$c = \sqrt{219} \approx 14.8 \ \text{cm}$$

السؤال 9

الدالة f(x) = a(x - 2)^2 + 3 تمر عبر النقطة (4, 15).
أوجد المعامل a وحدد إحداثيات الرأس؟

عرض الحل

عوض بـ x = 4، f(x) = 15 في المعادلة:

$$15 = a(4 - 2)^2 + 3$$

حل لـ a:

$$15 = a(2)^2 + 3$$ $$a = 3$$

الدالة f(x) هي دالة تربيعية تعطى بالشكل:

$$f(x) = 3(x - 2)^2 + 3$$

من صورة الرأس a(x - h)^2 + k، الرأس هو (h, k) = (2, 3).

السؤال 11

من نقطة تبعد 50 متراً، زاوية الارتفاع إلى قمة برج هي 32^\circ.

أ) ما هو ارتفاع البرج؟

ب) إذا كانت طائرة بدون طيار (درون) على ارتفاع 30 متراً فوق البرج، فما هي زاوية الارتفاع الجديدة من نفس النقطة إلى الطائرة؟

عرض الحل

أ) ليكن h هو ارتفاع البرج. استخدم صيغة الظل في مثلث قائم الزاوية:

$$\tan(32^\circ) = \frac{h}{50}$$
حل لـ h:
$$h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0.6249 = 31.2\ \text{m}$$

ب) ارتفاع الدرون: 31.2 + 30 = 61.2
لتكن \(\theta\) زاوية الارتفاع للدرون:

$$\tan(\theta) = \frac{61.2}{50}$$ $$\theta = \tan^{-1}(1.224) \approx 50.8^\circ$$

السؤال 12

يستغرق قارب 3 ساعات لقطع نهر من النقطة A إلى النقطة B، و5 ساعات للعودة صعوداً من B إلى A. كم يستغرق نفس القارب لقطع المسافة من A إلى B في مياه ساكنة (بدون تيار)؟

عرض الحل

ليكن:
S هو سرعة القارب في المياه الساكنة (كم/س)،
r هو سرعة تيار النهر (كم/س)،
d هي المسافة بين النقطتين A و B (كم).

من المعطيات: مع التيار (نزولاً):

$$d = 3(S + r)$$
ضد التيار (صعوداً):
$$d = 5(S - r)$$

مساواة التعبيرين لـ d:

$$3(S + r) = 5(S - r)$$

انشر الطرفين:

$$3S + 3r = 5S - 5r$$

اجمع الحدود التي تحتوي على r في طرف وتلك التي تحتوي على S في الطرف الآخر:

$$8r = 2S$$

حل لـ r:

$$r = \frac{S}{4}$$

الآن عوض بـ \(r = \frac{S}{4}\) في معادلة النزول مع التيار:

$$d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4}$$

الآن، في المياه الساكنة (بدون تيار)، السرعة هي فقط S. الوقت المستغرق للسفر من A إلى B في المياه الساكنة:

$$\text{Time} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ hours}$$

إذن، الوقت الذي يستغرقه القارب للذهاب من A إلى B في المياه الساكنة هو 3 \text{ hours and } 45 \text{ minutes}.

السؤال 13

عند أي قيمة لـ x ستكون للدالة f(x) = -3(x - 10)(x - 4) قيمة عظمى؟ أوجد القيمة العظمى.

عرض الحل

انشر الدالة:

$$f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120$$

هذه دالة تربيعية من الشكل f(x) = ax^2 + bx + c حيث a = -3, \, b = 42.

تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند الرأس الذي يكون إحداثيه السيني معطى بـ:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7$$

لإيجاد القيمة العظمى، عوض بـ x = 7 في الدالة:

$$f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27$$

للدالة قيمة عظمى عند x = 7 وقيمتها العظمى هي f(7) = 27.

السؤال 14

متوسط درجات الامتحانات لفصل دراسي هو 70. متوسط درجات الطلاب الذين حصلوا على أقل من 60 هو 50، ومتوسط درجات الطلاب الذين حصلوا على 60 أو أكثر هو 75. إذا كان إجمالي عدد الطلاب في الفصل هو 20، فكم عدد الطلاب الذين حصلوا على أقل من 60؟

عرض الحل

ليكن n هو عدد الطلاب الذين حصلوا على أقل من 60 و N هو عدد الطلاب الذين حصلوا على 60 أو أكثر.

متوسط الطلاب الذين حصلوا على أقل من 60 هو:

$$\frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50n$$

متوسط الطلاب الذين حصلوا على 60 أو أكثر هو:

$$\frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75N$$

متوسط الفصل الإجمالي هو 70:

$$\frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70$$

عوض:

$$\frac{50n + 75N}{20} = 70$$

اضرب جميع الحدود في 20 وبسّط:

$$50n + 75N = 1400 \quad \text{(1)}$$

لدينا أيضاً:

$$n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n$$

عوض بـ N في المعادلة (1):

$$50n + 75(20 - n) = 1400$$

انشر وبسّط:

$$-25n + 1500 = 1400$$

حل لـ n:

$$-25n = -100 \Rightarrow n = 4$$

n = 4 طلاب حصلوا على أقل من 60.

السؤال 15

مساحة شبه المنحرف تساوي 270 وحدة مربعة. أوجد محيطه وقرب إجابتك إلى أقرب عدد صحيح.

شبه منحرف
عرض الحل

ليكن h هو ارتفاع شبه المنحرف.

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (\text{base}_1 + \text{base}_2) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270$$

حل لـ h:

$$\frac{1}{2} \cdot h \cdot 27 = 270 \Rightarrow h = 20$$

طبق مبرهنة فيثاغورس على المثلث القائم على اليسار (الوتر L):

$$20^2 + 3^2 = L^2 \Rightarrow L = \sqrt{409}$$

طبق مبرهنة فيثاغورس على المثلث القائم على اليمين (الوتر R):

$$20^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow R = \sqrt{416}$$

محيط شبه المنحرف هو:

$$\text{Perimeter} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \approx 68 \text{ units}$$

السؤال 16

مساحة حقل مستطيل الشكل تساوي 300 متر مربع. ومحيطه يساوي 70 متراً. أوجد طول وعرض هذا المستطيل.

عرض الحل

ليكن الطول L متراً والعرض W متراً بحيث يكون L > W.

استخدم المساحة لكتابة:

$$L \times W = 300$$

استخدم المحيط لكتابة:

$$2L + 2W = 70$$

اقسم جميع الحدود على 2:

$$L + W = 35$$

حل لـ L:

$$L = 35 - W$$

عوض في معادلة المساحة:

$$(35 - W) \cdot W = 300$$

انشر وأعد الترتيب إلى الصورة التربيعية القياسية:

$$35W - W^2 = 300$$ $$W^2 - 35W + 300 = 0$$

حل باستخدام الصيغة التربيعية:

$$W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)}$$ $$W = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$$

$$W = 20 \text{ or } W = 15$$

عندما W = 15، يكون L = 35 - 15 = 20.
عندما W = 20، يكون L = 35 - 20 = 15.

بما أن L > W، إذن أبعاد المستطيل هي L = 20 و W = 15.

السؤال 17

محرك كهربائي يقوم بـ 3,000 دورة في الدقيقة. كم عدد الدرجات التي يدورها في ثانية واحدة؟

عرض الحل

المحرك له سرعة 3000 دورة في الدقيقة.
الدورة الواحدة هي 360^\circ
الدقيقة الواحدة هي 60 ثانية

استخدم التحليل البعدي:

$$\frac{3000 \, \text{rev}}{1 \, \text{min}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{rev}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{sec}}$$

اختصر الوحدات للحصول على الدرجات في الثانية:

$$= \frac{3000 \times 360}{60} = \frac{1,080,000}{60} = 18,000^\circ \, \text{per second}$$

السؤال 18

حصل وكيل عقارات على عمولة بنسبة 6\% من سعر بيع منزل. إذا كانت عمولته \(\$8,880\)، فما هو سعر بيع المنزل؟

عرض الحل

ليكن x سعر بيع المنزل.

$$6\% \text{ of } x = 8,880$$ $$0.06x = 8,880$$

حل لـ x:

$$x = \frac{8,880}{0.06}$$ $$x = 148,000$$

سعر بيع المنزل كان \(\$148,000\).

السؤال 19

إذا دار إطار سيارة بمعدل 400 دورة في الدقيقة عندما كانت السيارة تسير بسرعة 72 كم/س، فما هو محيط C الإطار؟

عرض الحل

لدينا:
السرعة الدورانية: 400 \, \text{rev/min}
السرعة الخطية: 72 \, \text{km/h} = 72,000 \, \text{m/h}

أولاً، حول الدورات في الدقيقة إلى دورات في الساعة:

$$400 \, \dfrac{\text{rev}}{\text{min}} \times 60 \, \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 24,000 \, \dfrac{\text{rev}}{\text{h}}$$

ليكن C محيط الإطار بالأمتار. إجمالي المسافة المقطوعة في الساعة يساوي عدد الدورات في الساعة مضروباً في المحيط:

$$24,000 \cdot C = 72,000$$

حل لـ C:

$$C = \frac{72,000}{24,000} = 3 \, \text{meters}$$

السؤال 20

في متجر، تكلفة 4 قمصان، و 4 سراويل، و 2 قبعات هي \(\$560\). وتكلفة 9 قمصان، و 9 سراويل، و 6 قبعات هي \(\$1,290\). ما هي التكلفة الإجمالية لـ 1 قميص، و 1 سروال، و 1 قبعة؟

عرض الحل

ليكن x تكلفة القميص الواحد، و y تكلفة السروال الواحد، و z تكلفة القبعة الواحدة. لدينا:
(1) 4x + 4y + 2z = 560
(2) 9x + 9y + 6z = 1290

اقسم المعادلة (2) على 3:
(3) 3x + 3y + 2z = 430

الآن اطرح المعادلة (1) من المعادلة (3):

$$(3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560$$ $$-x - y = -130 \Rightarrow x + y = 130 \quad \text{(4)}$$

عوض بالمعادلة (4) في المعادلة (3):

$$3(x + y) + 2z = 430$$ $$3(130) + 2z = 430$$ $$390 + 2z = 430$$ $$2z = 40 \Rightarrow z = 20$$

الآن عوض للخلف لإيجاد التكلفة الإجمالية لـ 1 قميص، وسروال واحد، وقبعة واحدة:

$$x + y + z = 130 + 20 = 150$$

التكلفة الإجمالية هي \(\$150\).

السؤال 21

أربعة أطفال لديهم ألعاب صغيرة. الطفل الأول لديه \(\frac{1}{10}\) من الألعاب، والطفل الثاني لديه ألعاب أكثر من الأول بـ 12 لعبة، والطفل الثالث لديه لعبة واحدة أكثر من الطفل الأول، والطفل الرابع لديه ضعف عدد ألعاب الطفل الثالث. كم عدد الألعاب الإجمالي؟

عرض الحل

ليكن x يمثل إجمالي عدد الألعاب.
الطفل الأول لديه \(\frac{x}{10}\) لعبة.
الطفل الثاني لديه \(\frac{x}{10} + 12\) لعبة.
الطفل الثالث لديه \(\frac{x}{10} + 1\) لعبة.
الطفل الرابع لديه \(2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right)\) لعبة.

نكون المعادلة لإجمالي عدد الألعاب:

$$\frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x$$

انشر:

$$\frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2x}{10} + 2 = x$$

اجمع الحدود المتشابهة:

$$\frac{5x}{10} + 15 = x$$ $$\frac{x}{2} + 15 = x$$

اطرح \(\frac{x}{2}\) من الطرفين:

$$15 = \frac{x}{2}$$

حل لـ x:

$$x = 30$$

إذن، إجمالي عدد الألعاب هو 30.

السؤال 22

قيم التعبير:

$$\left( 1 - \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{1}{11} \right) \left( 1 - \frac{1}{12} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{100} \right)$$

عرض الحل

أولاً، نكتب كل حد في الجداء على شكل كسر:

$$\left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right)$$

الآن، لاحظ نمط الاختصار التلسكوبي. بسط كل كسر يختصر مقام الكسر السابق، ولا يترك سوى البسط الأول والمقام الأخير:

$$\frac{9}{100}$$

المزيد من المراجع والروابط