تعبيرات الجذور - أسئلة مع الحلول للصف العاشر

تُعْرَض أدناه أسئلة الصف العاشر حول كيفية استخدام الصيغ المهمة لتبيسط تعبيرات الجذور الجبرية. راجع الصيغ والأمثلة، وحاول حل أسئلة التدريب، وانقر لعرض الحلول خطوة بخطوة.

الصيغ والأمثلة المهمة

الصيغة أ

إذا كان n و m عدداً صحيحين موجبين وكان \(\sqrt[n]{y}\) عدداً حقيقياً، فإن:

$$ \left( \sqrt[n]{y} \right)^m = \sqrt[n]{y^m} $$

أمثلة:

  1. بما أن \(\sqrt{5}\) عدد حقيقي:
    $$(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5$$
  2. بما أن \(\sqrt[3]{-7}\) عدد حقيقي:
    $$(\sqrt[3]{-7})^6 = \sqrt[3]{(-7)^6} = \sqrt[3]{(-1)^6 \cdot 7^6} = \sqrt[3]{(7^2)^3} = 7^2 = 49$$

الصيغة ب

إذا كان n عدداً صحيحاً موجباً زوجياً، فإن:

$$ \sqrt[n]{y^n} = |y| $$

أمثلة:

  1. \(\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4\)
  2. \(\sqrt[4]{\left( -3 \right)^4} = |-3| = 3\)
  3. \(\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|\)
  4. \(\sqrt[4]{x^4} = |x|\)
  5. \(\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2\)

الصيغة ج

إذا كان n عدداً صحيحاً موجباً فردياً، فإن:

$$ \sqrt[n]{y^n} = y $$

أمثلة:

  1. \(\sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1\)
  2. \(\sqrt[5]{(-2)^5} = -2\)
  3. \(\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3\)
  4. \(\sqrt[5]{x^5} = x\)
  5. \(\sqrt[3]{-x^6} = \sqrt[3]{(-x^2)^3} = -x^2\)

أسئلة تدريبية مع الإجابات

أعد كتابة التعبيرات التالية، إن أمكن، بدون جذور (بسطها):

السؤال 1

بسط: \(\left( \sqrt[3]{x} \right)^3\)

عرض الحل

دليل الجذر 3 فردي ومساوي لأس المجذور.

$$ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x $$

السؤال 2

بسط: \(\left( \sqrt{x} \right)^2\)

عرض الحل

بما أن \(\sqrt{x}\) عدد حقيقي، فيجب أن يكون x موجباً أو صفراً، وبالتالي |x| = x.

$$ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x $$

السؤال 3

بسط: \(-\left( \sqrt{x} \right)^4 \)

عرض الحل
$$ -\left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 $$

السؤال 4

بسط: \(\sqrt{-x^2 - 1}\)

عرض الحل

بما أن \(-x^2 - 1\) هو دائماً عدد سالباً، فإن \(\sqrt{-x^2 - 1}\) ليس عدداً حقيقياً.

السؤال 5

بسط: \(\sqrt[8]{x^8}\)

عرض الحل

الدليل 8 زوجي ومساوي لأس المجذور.

$$ \sqrt[8]{x^8} = |x| $$

السؤال 6

بسط: \(\sqrt{x^6}\)

عرض الحل
$$ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| $$

السؤال 7

بسط: \(\sqrt{x \cdot |x|}\)

عرض الحل

إذا كان x < 0، فإن |x| = -x وتكون \(\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2}\) والتي ليست عدداً حقيقياً.

إذا كان x \geq 0، فإن |x| = x وتكون \(\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x\).

السؤال 8

بسط: \(\sqrt[10]{x^{10}}\)

عرض الحل

دليل الجذر 10 زوجي ومساوي لأس المجذور.

$$ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| $$

السؤال 9

بسط: \(\sqrt[3]{(x - 2)^3}\)

عرض الحل

دليل الجذر 3 فردي ومساوي لأس المجذور.

$$ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 $$

السؤال 10

بسط: \(\sqrt{\dfrac{x^2}{9}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt{\dfrac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\dfrac{x}{3}\right)^2} = \left|\dfrac{x}{3}\right| = \dfrac{|x|}{3} $$

السؤال 11

بسط: \(\sqrt[5]{\dfrac{x^5}{32}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[5]{\dfrac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\dfrac{x}{2}\right)^5} = \dfrac{x}{2} $$

السؤال 12

بسط: \(\sqrt{(-x + 3)^2}\)

عرض الحل

للجذر دليل زوجي وأس مجذور زوجي.

$$ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 | $$

السؤال 13

بسط: \(\sqrt{x^2 + 4x + 4}\)

عرض الحل

للجذر دليل زوجي وأس مجذور زوجي.

$$ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2| $$

المراجع والروابط