إنطاق المقامات - أسئلة مع الحلول

تُعْرَض أدناه أسئلة الصف العاشر حول كيفية إنطاق تعبيرات الجذور. راجع الصيغ والأمثلة، وحاول حل أسئلة التدريب، وانقر لعرض الحلول خطوة بخطوة.

إنطاق مقامات تعبيرات الجذور يعني التعبير عن المقام بدون جذور.

متطابقات مفيدة للإنطاق

يمكن استخدام المتطابقات التالية لإنطاق مقامات التعبيرات الكسرية:

  1. \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x\)
  2. \(\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x})^2 = (\sqrt[3]{x})^3 = x\)
  3. \((\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y\)
  4. \((x - \sqrt{y}) (x + \sqrt{y}) = x^2 - (\sqrt{y})^2 = x^2 - y\)

أمثلة مع الحلول

راجع الأمثلة التالية لترى كيف يتم تطبيق عملية الإنطاق:

المثال 1

انطق المقام: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

عرض الحل

بسبب وجود \(\sqrt{2}\) في المقام، اضرب البسط والمقام في \(\sqrt{2}\) وبسط:

$$ \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$

المثال 2

انطق المقام: \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\)

عرض الحل

بسبب وجود \(\sqrt[3]{x}\) في المقام، اضرب البسط والمقام في \(\left( \sqrt[3]{x} \right)^2\) وبسط:

$$ \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x} $$

المثال 3

انطق المقام: \(\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)

عرض الحل

بسبب التعبير \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\) في المقام، اضرب البسط والمقام في مرافقه، وهو \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\)، لتحصل على:

$$ \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $$ $$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $$ $$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} $$ $$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $$

المثال 4

انطق المقام: \(\dfrac{5x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}\)

عرض الحل

بسبب التعبير \(\sqrt[3]{x^2}\) في المقام، اضرب البسط والمقام في \(\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2\) لتحصل على:

$$ \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2} $$ $$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^3} $$
بسط واختصر الحدود:
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{x^2} = 5\sqrt[3]{x^4} = 5x\sqrt[3]{x} $$

المثال 5

انطق المقام: \(\dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}\)

عرض الحل

بسبب التعبير y + \sqrt{x^2 + y^2} في المقام، اضرب البسط والمقام في مرافقه، y - \sqrt{x^2 + y^2}، لتحصل على:

$$ \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$ $$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{(y)^2 - (\sqrt{x^2 + y^2})^2} $$ $$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$ $$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} $$ $$ = -y + \sqrt{x^2 + y^2} $$

أسئلة تدريبية مع الإجابات

انطق مقامات التعبيرات التالية وبسطها إن أمكن:

السؤال 1

بسط: \(\dfrac{10}{\sqrt{5}}\)

عرض الحل

اضرب البسط والمقام في \(\sqrt{5}\):

$$ \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} $$

السؤال 2

بسط: \(2\sqrt{2}\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

عرض الحل

ركز على جزء الكسر. اضرب بسطه ومقامه في المرافق، \(\sqrt{2} - \sqrt{3}\):

$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \right) $$
بسط الكسر:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} $$ $$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3}}{2-3} $$ $$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}}{-1} $$
وزع الإشارة السالبة:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} $$ $$ = 5 $$

السؤال 3

بسط: \(\dfrac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}}\)

عرض الحل

اضرب البسط والمقام في \(\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2\):

$$ \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} = \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} \cdot \frac{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2} $$
بسط:
$$ = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^3} = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{x^4} = 7 \sqrt[3]{x^8} = 7x^2 \sqrt[3]{x^2} $$

السؤال 4

بسط: \(\dfrac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}\)

عرض الحل

اضرب البسط والمقام في المرافق، y - \sqrt{x^2 + y^2}:

$$ \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
بسط المقام:
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$ $$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} = y - \sqrt{x^2 + y^2} $$

المراجع والروابط