جذور الأعداد الحقيقية والجذور - أسئلة مع الحلول

تُعْرَض أدناه أسئلة الصف العاشر حول جذور الأعداد وتعبيرات الجذور. راجع التعريفات والخصائص، وحاول حل أسئلة التدريب، وانقر لعرض الحلول خطوة بخطوة.

التعريف

$x \text{ is the } n^\text{th} \text{ root of a number } y \text{ is equivalent to } x^n = y.$

(القول بأن $x$ هو الجذر النوني للعدد $y$ يكافئ أن $x^n = y$)

أمثلة

  1. بما أن 3^2 = 9، فإن 3 هو الجذر التربيعي (n = 2) للعدد 9.
  2. بما أن (-3)^2 = 9، فإن -3 هو أيضاً جذر تربيعي للعدد 9.
  3. بما أن (-2)^3 = -8، فإن -2 هو الجذر التكعيبي (n = 3) للعدد -8.
  4. بما أن 3^4 = 81 و (-3)^4 = 81، فإن الجذور الرابعة للعدد 81 هي 3 و -3.

خصائص جذور الأعداد الحقيقية

1) عندما يكون n زوجياً و y موجباً، يوجد جذران نونيان للعدد y.

مثال: بما أن 10^4 = 10000 و (-10)^4 = 10000، فإن الجذور الرابعة للعدد 10000 هي 10 و -10.

2) عندما يكون n زوجياً و y < 0، فلا توجد جذور نونية حقيقية للعدد y.

أمثلة:

3) عندما يكون n فردياً، يوجد دائماً جذر نوني واحد للعدد y.

أمثلة:

الجذر الرئيسي

عندما يكون n زوجياً، يُعرّف الجذر الرئيسي بأنه الجذر الموجب. وعندما يكون n فردياً، يوجد جذر واحد فقط، وهو الجذر الرئيسي.

أمثلة

رموز الجذور

الرمز \(\sqrt{\hphantom{9}}\) يسمى الجذر ويستخدم للدلالة على الجذر الرئيسي للعدد كالتالي:

$$ \sqrt[n]{y} $$

حيث يسمى n دليل الجذر ويسمى y المجذور.

أمثلة

$$ \sqrt[6]{64} = 2 $$

$$ \sqrt[3]{-27} = -3 $$

ملاحظة: نظراً لاستخدامه واسع النطاق، يُكتب الجذر التربيعي (n=2) للعدد y على شكل \(\sqrt{y}\) دون الإشارة إلى الدليل.

أسئلة تدريبية مع الحلول

السؤال 1

ما هي الجذر (الجذور) الرابعة للعدد 16؟

عرض الحل

2 و -2 لأن 2^4 = 16 و (-2)^4 = 16.

السؤال 2

ما هو (هي) الجذر (الجذور) السابعة للعدد -1؟

عرض الحل

-1 لأن (-1)^7 = -1.

السؤال 3

ما هو العدد الذي جذره الخامس يساوي -3؟

عرض الحل

العدد هو (-3)^5 = -243.

السؤال 4

إذا كان الجذر السادس للعدد y يساوي -5، فإن y = \underline{\hspace{2cm}}

عرض الحل

y = (-5)^6 = 15625.

السؤال 5

ما هو (هي) الجذر (الجذور) العشرون للعدد -1؟

عرض الحل

إذا كان x هو الجذر العشرين لـ -1، فإن x^{20} = -1. لا يوجد عدد حقيقي مرفوع لأس زوجي يعطي عدداً سالباً. الجذر العشرون لـ -1 ليس عدداً حقيقياً.

السؤال 6

ما هو الجذر الرابع الرئيسي للعدد 81؟

عرض الحل

81 = 3^4 و 81 = (-3)^4. إذن للعدد 81 جذران رابعان، لكن الرئيسي هو الموجب، 3.

السؤال 7

احسب: \(\sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل

ليس عدداً حقيقياً.

السؤال 8

احسب: \(\sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} $$

ليس عدداً حقيقياً.

السؤال 9

احسب: \(\sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[3]{-1} = -1 $$

السؤال 10

احسب: \(\sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 $$

السؤال 11

احسب: \(\sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 $$

السؤال 12

احسب: \(\sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 $$

السؤال 13

احسب: \(\sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 $$

السؤال 14

احسب: \(\sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[7]{5^7} = 5 $$

السؤال 15

احسب: \(\sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} $$

يمكن تبسيط ذلك باستخدام الأسس الكسرية:

$$ = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 $$

السؤال 16

احسب: \(\sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل
$$ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$

السؤال 17

احسب: \(\sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}}\)

عرض الحل

حول العدد الكسري إلى كسر غير حقيقي:

$$ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2.5 $$

السؤال 18

استخدم الآلة الحاسبة لتقريب ما يلي إلى 3 منازل عشرية:

  1. \(\sqrt[3]{4}\)
  2. \(\sqrt{1.3}\)
  3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}}\)
  4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}}\)
عرض الحل
  1. \(\sqrt[3]{4} \approx 1.587\)
  2. \(\sqrt{1.3} \approx 1.140\)
  3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}} = \sqrt{0.4} \approx 0.632\)
  4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{3}} \approx 1.326\)

المراجع والروابط