أوجد أطوال جميع أضلاع المثلث القائم أدناه إذا كانت مساحته 400 وحدة مربعة.
BH عمودي على AC. أوجد x طول BC.
ABC مثلث قائم الزاوية عند A. أوجد x طول DC.
في الشكل أدناه AB و CD متعامدان على BC وحجم الزاوية ACB هو°31 . أوجد طول القطعة BD.
مساحة مثلث قائم تساؤي 50. إحدى زواياه °45 . أوجد أطوال أضلاع المثلث ووتره.
ABC مثلث قائم الزاوية و tan (A) = 3/4. أوجد sin (A) و cos (A).
في مثلث قائم الزاوية ABC بزاوية A تساوي 90° ، أوجد الزاوية B و C بحيث تكون sin (B) = cos (B).
مستطيل أبعاده 10 سم في 5 سم. حدد قياسات الزوايا عند نقطة تقاطع الأقطار.
طولا الضلع AB والجانب BC لمثلث مدرج ABC هما 12 سم و 8 سم على التوالي. حجم الزاوية C هو ° 59. أوجد طول الضلع AC.
من أعلى مبنى بارتفاع 200 متر ، تكون زاوية الانخفاض إلى أسفل المبنى الثاني 20 درجة. من نفس النقطة ، تكون زاوية الارتفاع إلى قمة المبنى الثاني 10 درجات. احسب ارتفاع المبنى الثاني.
تركب كارلا عموديًا في منطاد هوائ ، مباشرة فوق نقطة P على الأرض. ترى كارلا سيارة متوقفة على الأرض بزاوية انخفاض 30 درجة. يرتفع البالون 50 مترا. الآن زاوية انخفاض السيارة هي 35 درجة. كم تبعد السيارة عن النقطة P؟
إذا زاد ظل مبنى بمقدار 10 أمتار عندما تنخفض زاوية ارتفاع أشعة الشمس من °70 درجة ؛ إلى °60 درجة ، ما هو ارتفاع المبنى؟
Area = (1/2)(2x)(x) = 400
\(\dfrac {1} {2} (2x) (x) = 400 \) = المساحة
بسّط
\( \dfrac {1} {2} (2x) (x) = x^2 \)
ومن ثم نحصل على المعادلة: \( x^2 = 400\)
حل ل \( x \):
\( x = 20 \) \( 2x = 40 \)
استخدم نظرية فيثاغورا:
\( (2x) ^ 2 + (x) ^ 2 = H ^ 2 \)
عوّض \(x \) و \(2x \) بقيمهما في المعادلة أعلاه
\( (40)^2 + (20)^2 = H ^ 2 \)
بسط
\( 2000 = H ^ 2 \)
حل من أجل H
\( H = 20 \sqrt 5 \)
BH عمودي على AC يعني أن المثلثين ABH و HBC مثلثات قائمة. لذلك
استخدم تعريف الدوال المثلثية للكتابة
\( \tan(39°) = \dfrac{11}{AH} \)
والتي يمكن كتابتها أيضًا
\( AH = \dfrac{11}{\tan(39°)} \)
باستخدام الضلع AC في المثلث ، يمكننا الكتابة
\( HC = 19 - AH = 19 - 11 / \tan(39°) \)
( Pythagorean theorem ) تعطي نظرية فيثاغورس المطب قة على المثلث القائم HBC:
\( 11^2 + HC^2 = x^2 \)
استبدل HC:
\( 11^2 + (19 - 11 / \tan(39°))^2 = x^2 \)
حل ل \( x \)
\( x = \sqrt {11^2 + (19 - 11 / \tan(39°))^2} \)
\( \approx 12.3 \) (مقربًا إلى منزلة عشرية واحدة)
بما أن الزاوية A قائمة ، فإن كلا من المثلثين ABC و ABD قائمين ، وبالتالي يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس (Pythagorean theorem) على كلا المثلثين.
ABD: \( 14^2 = 10^2 + AD^2 \)
والذي يعطي : \(AD = \sqrt {14 ^ 2 - 10 ^ 2} \)
ABC: \( 16^2 = 10^2 + AC^2 \)
والذي يعطي : \(AC = \sqrt {16 ^ 2 - 10 ^ 2} \)
أيضا \(x = AC - AD \)
استبدل AC و AD في أعلاه للحصول على \(x \)
(مقربًا إلى رقمين عشريين) \(x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} \approx 2.70 \)
استخدم المثلث القائم ABC لكتابة: \(\tan (31^{\circ}) = 6 / BC \) ،
حل : \(BC = 6 / \tan (31^{\circ}) \)
استخدم نظرية فيثا غورس (Pythagorean theorem) في المثلث القائم BCD لكتابة:
\( 9^2 + BC^2 = BD^2\)
حل من أجل BD أعلاه واستبدل BC:
(مقربًا إلى منزلتين عشريتين) \( BD = \sqrt{9^2 + ( 6 / \tan(31^{\circ}) )^2 } \approx 13.44 \)
المثلث قائم وحجم إحدى زواياه \(45 ^ {\circ} \). قياس الزاوية الثالثة \(90 ^ {\circ} - 45 ^ {\circ} = 45 ^ {\circ} \) وبالتالي فإن المثلث قائم ومتساوي الساقين. لنفترض \(x \) أن يكون طول أحد الأضلاع و \(H \) يكون طول الوتر.
\( = (1/2) x^2 = 50 \) المساحة
أعد كتابة المعادلة أعلاه كـ
\( x^2 = 100 \)
حل من أجل \(x \): \(x = 10 \)
نستخدم الآن Pythagora لإيجاد H:
\( x^2 + x^2 = H^2 \)
استبدل \(x \)
\( 10^2 + 10^2 = H^2 \)
حل من أجل H: \(H = 10 \sqrt {2} \)
لنفترض \( a \) أن يكون طول الضلع المقابل للزاوية أ ، \( b \) طول الضلع المجاور للزاوية أ و \( h \) هو طول الوتر.
\(\tan (A) = a/b = 3/4 \)
يمكننا أن نقول: \( a = 3 \) و \( b = 4\). دعونا نجد \( h \).
(Pythagora) استخدم نظرية فيثاغورس
\( h^2 = 3^2 + 5^2 \)
حل من أجل \( h \): \( h = 5\)
\( \sin(A) = a / h = 3 / 5 \) \( \cos(A) = b / h = 4 / 5 \)
لنفترض أن b هو طول الضلع المقابل للزاوية B و c طول الضلع المقابل للزاوية C و h طول الوتر.
استخدم تعريف الجيب وجيب التمام لكتابة:
\( sin(B) = b/h \) \( cos(B) = c/h \)
\( \sin (B) = \cos (B) \) يعني \( b / h = c / h \) الذي يعطي \( c = b \)
الضلعان متساويان في الطول يعني أن المثلث متساوي الساقين وأن الزاويتين B و C متساويتان في الحجم \( 45^{\circ}\).
يوضح الرسم البياني أدناه المستطيل بالأقطار ونصف إحدى الزوايا بالحجم \( x \).
استخدم تعريف \(\tan \) للكتابة
\( \tan(x) = 5/2.5 = 2 \)
استخدم \(\arctan \) وهو معكوس \(\tan \) للكتابة
\( x = \arctan(2) \)
(مقربة لأقرب وحدة) \(2x = 2 \arctan (2) = 127^{\circ} \) : زاوية أكبر مصنوعة بأقطار
تساوي الزاوية الأصغر التي تصنعها الأقطار: \(180 - 2x = 53 ^ {\circ} \).
لنفترض \ (x \) أن يكون طول الضلع AC. استخدم قانون جيب التمام لكتابة:
\( 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^{\circ}) \)
اكتب المعادلة أعلاه في الشكل القياسي
\( x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^{\circ})- 80 = 0 \)
حل المعادلة التربيعية لـ x \(x = 14.0 \) و \(x = - 5.7 \) (مقربًا إلى منزلة عشرية واحدة)
\(x \) لا يمكن أن يكون سالبًا وبالتالي يكون الحل \(x = 14.0 \) (مقربًا إلى منزلة عشرية واحدة).
يوضح الرسم البياني أدناه المبنيين وزواياالئنخفاض والارتفاع.
استخدم تعريف \ (\ tan \) للكتابة
\( \tan(20^{\circ}) = 200 / L \)
الذي يعطي
\( L = 200 / \tan(20^{\circ}) \)
استخدم تعريف \ (\ tan \) للكتابة
\( \tan(10^{\circ}) = H2 / L \)
الذي يعطي
\( H2 = L × \tan(10^{\circ}) \)
استبدل L بـ \( 200 / \ tan (20^{\ circ}) \) للحصول عليها
\( H2 = 200 \times \tan(10^{\circ}) / \tan(20^{\circ}) \)
\( = H2 + 200 = 200 + 200 \times \tan (10 ^ {\circ}) / \tan (20^{\circ}) \approx 297\) ارتفاع المبنى الثاني
