مسائل حساب المثلثات للصف العاشر مع الحلول خطوة بخطوة

$$ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8.1 \; \text{ (2 significant digits)} $$

$$ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{ (2 significant digits) } $$

تُعطى المساحة بواسطة:

$$ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 $$

حل المعادلة لإيجاد قيمة $x$:

$$ x = 20, \quad 2x = 40 $$

استخدم نظرية فيثاغورس:

$$ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 $$

حل المعادلة لإيجاد قيمة $H$:

$$ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} $$

$BH$ عمودي على $AC$ مما يعني أن المثلثين $\triangle ABH$ و $\triangle HBC$ هما مثلثان قائما الزاوية. لذلك:

$$ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

$$ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

قم بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث $\triangle HBC$:

$$ 11^2 + HC^2 = x^2 $$

عوض عن $HC$ وحل لإيجاد $x$:

$$ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} $$

$$ x \approx 12.3 \quad \text{(rounded to 3 significant digits)} $$

بما أن الزاوية $\angle A$ قائمة، فإن كلا المثلثين $\triangle ABC$ و $\triangle ABD$ قائما الزاوية، وبالتالي يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس:

$$ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 $$

حل المعادلة لإيجاد $AD$ و $AC$:

$$ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} $$

وأيضاً، $x = AC - AD$:

$$ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} $$

$$ x \approx 2.69 \quad \text{(rounded to 3 significant digits)} $$

استخدم المثلث قائم الزاوية $\triangle ABC$ لكتابة:

$$ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} $$

استخدم نظرية فيثاغورس في المثلث قائم الزاوية $\triangle BCD$ لكتابة:

$$ 9^2 + BC^2 = BD^2 $$

حل المعادلة لإيجاد $BD$ وعوض بقيمة $BC$:

$$ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} $$

$$ BD \approx 13.4 \quad \text{(rounded to 3 significant digits)} $$

المثلث قائم الزاوية وإحدى زواياه هي $45^\circ$. الزاوية الثالثة هي أيضاً $45^\circ$، وبالتالي فإن المثلث قائم الزاوية ومتطابق الضلعين.

ليكن $x$ هو طول أحد ضلعي القائمة، و $H$ هو الوتر.

$$ \text{Area} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$

استخدم نظرية فيثاغورس:

$$ x^2 + x^2 = H^2 $$

$$ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} $$

ليكن $a$ هو طول الضلع المقابل للزاوية $A$، و $b$ هو طول الضلع المجاور للزاوية $A$، و $h$ هو طول الوتر.

$$ \tan(A) = \frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $$

يمكننا كتابة: $a = 3k$ و $b = 4k$، حيث $k$ هو معامل التناسب.

دعونا نوجد $h$. باستخدام نظرية فيثاغورس، نكتب:

$$ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$

$$ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k $$

$$ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} $$

ليكن $b$ هو طول الضلع المقابل للزاوية $B$، و $c$ هو طول الضلع المقابل للزاوية $C$، و $h$ هو الوتر.

$$ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} $$

$$ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c $$

بما أن طولي الضلعين متساويان، فإن المثلث متطابق الضلعين، والزاويتان $B$ و $C$ متساويتان، وقياس كل منهما $45^\circ$.

يوضح المخطط أدناه مستطيلاً بأقطاره ونصف إحدى الزوايا المسماة بـ $x$.

$$ \tan(x) = \frac{5}{2.5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) $$

الزاوية الأكبر التي يشكلها القطريان هي $2x$:

$$ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(3 significant digits)} $$

$$ \text{Smaller angle made by diagonals: } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ $$

ليكن $x$ هو طول الضلع AC. استخدم قانون جيب التمام:

$$ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) $$

حل المعادلة التربيعية لإيجاد $x$:

$$ x = 14.0 \quad \text{and} \quad x = -5.7 $$

بما أن $x$ لا يمكن أن يكون سالباً، فإن الحل هو:

$$ x = 14.0 \quad \text{(rounded to one decimal place)} $$

$$ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \quad \Rightarrow \quad H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) $$

$$ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \text{Height of second building} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ meters} $$

ليكن $h$ هو الارتفاع الابتدائي للمنطاد فوق النقطة $P$. بعد الارتفاع، يصبح الارتفاع الجديد $h + 50$ متراً.

المسافة الأفقية من السيارة إلى $P$ هي $d$ (والتي تظل ثابتة).

زاوية الانخفاض من المنطاد إلى السيارة تساوي زاوية الارتفاع من السيارة إلى المنطاد (بالتبادل الداخلي).

إذن، بالنسبة للموقع الابتدائي:

$$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(since } \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} $$

وبالتالي،

$$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} $$

بعد الارتفاع 50 متراً، يصبح الارتفاع الجديد $h + 50$، وزاوية الانخفاض $35^\circ$:

$$ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} $$

إذن،

$$ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} $$

الآن نعوض بالمعادلة (1) في المعادلة (2):

$$ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) $$

أعد ترتيب المعادلة لحل $d$:

$$ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} $$

$$ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$

$$ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} $$

استخدم القيم العددية: $\tan(35^\circ) \approx 0.7002$ و $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735$ للحصول على:

$$ d = \frac{50}{0.7002 - 0.57735} = \frac{50}{0.12285} \approx 406.97 $$

لذلك، تبعد السيارة حوالي $407$ متراً عن النقطة $P$.

ليكن $h$ هو ارتفاع المبنى. في البداية، عندما كانت زاوية الارتفاع $70^\circ$، كان طول الظل $s$.

عندما تقل زاوية الارتفاع إلى $60^\circ$، يصبح طول الظل $s + 10$.

للحالة الأولى (زاوية $70^\circ$):

$$ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} $$

إذن،

$$ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} $$

للحالة الجديدة (زاوية $60^\circ$):

$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} $$

إذن،

$$ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} $$

الآن، اطرح المعادلة (1) من المعادلة (2):

$$ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} $$

$$ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) $$

إذن،

$$ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } $$

بسط التعبير:

$$ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } $$

احسب القيمة العددية:

$$ h \approx 46.86474 $$

لذلك، يبلغ ارتفاع المبنى حوالي $46.9$ متراً.