استكشف أسئلة الجبر للصف الحادي عشر التي تغطي الدوال، وكثيرات الحدود، ومعادلات الدائرة والقطع المكافئ، وتبسيط التعبيرات. يتضمن كل موضوع حلولاً خطوة بخطوة مصممة لمساعدة الطلاب على فهم وإتقان المفاهيم الجبرية الأساسية. مثالية للمراجعة، والتدريب، وبناء الثقة في حل المسائل.
أكمل المربع في الدالة التربيعية $f$ المعطاة كالتالي:
$$ f(x) = 2x^2 - 6x + 4 $$
أخرج العامل 2 من أول حدين:
$$ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 $$
أضف واطرح $\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2$ داخل الأقواس:
$$ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 $$
اكتب $x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ كمربع كامل $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$:
$$ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 $$
اجمع $-\dfrac{9}{2} + 4$:
$$ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} $$
أوجد نقطة (نقاط) تقاطع القطع المكافئ الذي معادلته $y = x^2 - 5x + 4$ والمستقيم الذي معادلته $y = 2x - 2$.
يمكن إيجاد إحداثيات نقاط تقاطع القطع المكافئ والمستقيم بحل نظام المعادلات:
$$ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$
عوض عن $y$ بـ $2x - 2$ في المعادلة الأولى:
$$ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 $$
اكتب المعادلة التربيعية بالصيغة القياسية (طرف واحد يساوي صفراً):
$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$
حل المعادلة التربيعية:
$$ x = 1 \quad , \quad x = 6 $$
أوجد إحداثيات $y$:
من أجل $x = 1$، $y = 2(1) - 2 = 0$
من أجل $x = 6$، $y = 2(6) - 2 = 10$
نقاط التقاطع:
$$ (1, 0) \quad , \quad (6, 10) $$
أوجد الثابت $k$ بحيث يكون: $$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$ لجميع القيم الحقيقية لـ $x$.
المعادلة المعطاة:
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$
بفك الطرف الأيمن:
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$
تتساوى كثيرتا حدود إذا كانت معاملاتهما المتناظرة متساوية، وبالتالي:
$$ -(k + 7) = 6 $$
حل لإيجاد $k$:
$$ k = -13 $$
أوجد المركز ونصف القطر للدائرة التي معادلتها: $$ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0 $$
ضع حدود $x$ معاً وحدود $y$ معاً:
$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 $$
أكمل المربع في $x^2 - 2x$ كالتالي:
$$ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 $$
أكمل المربع في $y^2 + 4y$ كالتالي:
$$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$
أعد كتابة المعادلة المعطاة كالتالي:
$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 $$
اكتب معادلة الدائرة بالصيغة القياسية $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$:
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 $$
حدد المركز $(h,k)$ ونصف القطر $r$:
$$ x - h = x - 1 \quad \Rightarrow \quad h = 1 $$
$$ y - k = y + 2 \quad \Rightarrow \quad k = -2 $$
$$ r^2 = 4^2 \quad \Rightarrow \quad r = 4 $$
وبالتالي:
المركز هو: $(1, -2)$، نصف القطر = $4$
أوجد الثابت $k$ بحيث يكون للمعادلة التربيعية $$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$ حلان حقيقيان.
المعادلة التربيعية المعطاة:
$$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$
احسب المميز:
$$ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k $$
يكون للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان عندما يكون المميز موجباً تماماً:
$$ 25 + 8k > 0 $$
حل لإيجاد $k$:
$$ k > -\frac{25}{8} $$
أوجد الثابت $k$ بحيث لا يكون لنظام المعادلتين: $$ 2x + ky = 2 \quad \text{و} \quad 5x - 3y = 7 $$ أي حلول.
وفقاً لقاعدة كرامر، إذا كانت قيمة المحدد $D$ لمصفوفة المعاملات تساوي صفراً وكان أحد المحددين $D_x$ أو $D_y$ لا يساوي صفراً، فلن يكون للنظام حلول.
مصفوفة المعاملات $A$ هي:
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} $$
محددها $D$ هو:
$$ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k $$
بوضع $D = 0$:
$$ -6 - 5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{6}{5} $$
نُعرّف المحدد $D_x$ باستبدال العمود الأول من $A$ بمصفوفة الثوابت $\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}$:
$$ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k $$
بتعويض $k = -\frac{6}{5}$:
$$ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 $$
بما أن محدد المعاملات $D = 0$ لكن $D_x \neq 0$، فإن النظام غير متسق وليس له حلول عندما:
$$ k = -\frac{6}{5} $$
حلل التعبير: $$ 6x^2 - 13x + 5 $$
في التعبير التربيعي $ax^2 + bx + c$، نحدد $a = 6$ و $b = -13$ و $c = 5$. اضرب $a$ في $c$:
$$ 6 \times 5 = 30 $$
نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما 30 ومجموعهما -13. العددان -10 و -3 يحققان هذه الشروط:
$$ -10 \times -3 = 30 $$
$$ -10 + (-3) = -13 $$
نستخدم هذين العددين لتقسيم $-13x$ إلى $-10x - 3x$:
$$ 6x^2 - 10x - 3x + 5 $$
اجمع الحدود وأخرج العوامل المشتركة:
$$ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) $$
بما أن $(3x - 5)$ عامل مشترك، يُحلل التعبير كالتالي:
$$ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) $$
بسط $i^{231}$ حيث $i$ هي الوحدة التخيلية المعرفة كـ $i = \sqrt{-1}$.
لاحظ أن $i^4 = 1$. ولاحظ أيضاً أن $231 = 4 \times 57 + 3$. وبالتالي:
$$ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \cdot i^3 = (i^4)^{57} \cdot i^3 $$
بما أن $i^4 = 1$، نحصل على:
$$ = 1^{57} \cdot (-i) = -i $$
ما هو الباقي عندما يُقسم $f(x) = (x - 2)^{54}$ على $x - 1$؟
وفقاً لنظرية الباقي، يُعطى الباقي $r$ لقسمة $f(x)$ على $x - c$ بواسطة $f(c)$. هنا، $c = 1$.
$$ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 $$
أوجد $b$ و $c$ بحيث يكون للقطع المكافئ الذي معادلته $y = 4x^2 - bx - c$ رأس إحداثياته $(2 , 4)$.
صيغة الإحداثي السيني للرأس $h$ هي $-\frac{b}{2a}$:
$$ h = \frac{- (-b)}{2(4)} = \frac{b}{8} = 2 $$
حل لإيجاد $b$:
$$ b = 16 $$
نقطة الرأس تمثل حلاً لمعادلة القطع المكافئ، لذا عوض بـ $x=2$ و $y=4$:
$$ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 $$
$$ 16 - 32 - c = 4 \quad \Rightarrow \quad -16 - c = 4 $$
حل لإيجاد $c$:
$$ c = -20 $$
وبالتالي $b = 16$ و $c = -20$.
أوجد جميع أصفار كثيرة الحدود $P(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ علماً بأن $x = 2$ هو صفر لـ $P(x)$.
بما أن $x = 2$ هو جذر، فإن $(x - 2)$ هو أحد عوامل $P(x)$. اقسم $P(x)$ على $(x - 2)$ لإيجاد خارج القسمة التربيعي $Q(x)$:
$$ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24}{x - 2} = x^2 - x - 12 $$
لدينا الآن:
$$ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) $$
حلل المعادلة التربيعية:
$$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$
التحليل النهائي:
$$ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) $$
ساوِ كل عامل بالصفر لسرد جميع الجذور:
$$ x = 2 \quad , \quad x = 4 \quad , \quad x = -3 $$
إذا كان $x$ عدداً صحيحاً، فما هي أكبر قيمة لـ $x$ تحقق المتباينة $5 \lt 2x + 2 \lt 9$؟
حل المتباينة المركبة بطرح 2 من جميع الأطراف:
$$ 3 \lt 2x \lt 7 $$
اقسم على 2:
$$ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} $$
بما أن $\frac{7}{2} = 3.5$، فإن أكبر قيمة صحيحة لـ $x$ تحقق المتباينة المعطاة هي $3$ (أكبر عدد صحيح أصغر تماماً من $3.5$).
المجموعتان $A$ و $B$ معطاة كالتالي $A = \{2 , 3 , 6 , 8, 10\}$ و $B = \{3 , 5 , 7 , 9\}$.
أ) أوجد تقاطع المجموعتين $A$ و $B$.
ب) أوجد اتحاد المجموعتين $A$ و $B$.
أ) العنصر الوحيد المشترك بين $A$ و $B$ هو 3، وبالتالي التقاطع هو:
$$ A \cap B = \{3\} $$
ب) جميع عناصر $A$ و $B$ موجودة في الاتحاد. يتم سرد العناصر المشتركة مرة واحدة فقط:
$$ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $$
بسط: $\left| -x^2 + 4x - 4 \right|$
أعد كتابة التعبير بإخراج الإشارة السالبة كعامل مشترك:
$$ = | - (x^2 - 4x + 4) | $$
أكمل المربع:
$$ = | -(x - 2)^2 | $$
استخدم الخاصية $|-A| = |A|$. بما أن $(x-2)^2$ دائماً غير سالب لأي عدد حقيقي $x$، يمكننا إزالة رموز القيمة المطلقة تماماً:
$$ = (x - 2)^2 $$
أوجد الثابت $k$ بحيث يكون المستقيم الذي معادلته $y = kx$ مماساً للدائرة التي معادلتها $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$.
يكون المستقيم والدائرة متماسين إذا كان لهما نقطة تقاطع واحدة فقط. عوض عن $y = kx$ في معادلة الدائرة:
$$ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 $$
فُك الأقواس:
$$ x^2 - 6x + 9 + k^2x^2 - 10kx + 25 = 4 $$
اجمع الحدود لكتابة المعادلة التربيعية بالصيغة القياسية $(Ax^2 + Bx + C = 0)$:
$$ (1 + k^2)x^2 - (6 + 10k)x + 30 = 0 $$
لكي يكون المستقيم مماساً، يجب أن يكون لهذه المعادلة التربيعية حل واحد فقط، مما يعني أن مميزها $\Delta$ يجب أن يساوي صفراً:
$$ \Delta = B^2 - 4AC = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 $$
فُك معادلة المميز:
$$ (36 + 120k + 100k^2) - 120 - 120k^2 = 0 $$
$$ -20k^2 + 120k - 84 = 0 $$
اقسم المعادلة بأكملها على $-4$ لتسهيل الحل:
$$ 5k^2 - 30k + 21 = 0 $$
حل هذه المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام لإيجاد $k$:
$$ k = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(5)(21)}}{2(5)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 420}}{10} = \frac{30 \pm \sqrt{480}}{10} $$
بسط الجذر ($\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$):
$$ k = \frac{30 \pm 4\sqrt{30}}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{30}}{5} $$
الإجابات النهائية:
$$ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} $$
أو$$ k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} $$