المفهوم الأساسي
الدالة $y = \sqrt{x}$ موجودة فقط عندما يكون $x \ge 0$. كما هو موضح في الرسم البياني أدناه، لا توجد قيم حقيقية للدالة عندما يكون $x$ سالباً.
دليل خطوة بخطوة، تفسيرات رسومية، وأمثلة محلولة
مجال دالة الجذر التربيعي $f(x) = \sqrt{g(x)}$ هو مجموعة كل القيم الحقيقية لـ $x$ التي يكون عندها التعبير $g(x)$ غير سالب ($g(x) \ge 0$). يضمن هذا أن يظل الناتج عدداً حقيقياً.
الدالة $y = \sqrt{x}$ موجودة فقط عندما يكون $x \ge 0$. كما هو موضح في الرسم البياني أدناه، لا توجد قيم حقيقية للدالة عندما يكون $x$ سالباً.
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \]
تأخذ الدالة قيماً حقيقية إذا كانت الكمية تحت الجذر تحقق الشرط:
حل المتباينة يعطي:
التحقق الرسومي: الرسم البياني "موجود" فقط لقيم $x$ الأكبر من أو تساوي 2.
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \]
شرط القيم الحقيقية هو:
نظراً لأن تعبير القيمة المطلقة يكون دائماً أكبر من أو يساوي الصفر لجميع الأعداد الحقيقية، فإن الشرط يتحقق لأي قيمة لـ $x$.
المجال: جميع الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$، أو $(-\infty, \infty)$.
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} \]
بما أن القسمة على صفر غير مسموح بها، يجب أن يكون المجذور موجباً تماماً:
الحل يعطي:
التحقق الرسومي: يبدأ الرسم البياني مباشرة بعد $x = -3$ ويمتد إلى اليمين.
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \]
يجب استيفاء شرطين في نفس الوقت:
المجال هو تقاطع هذه المجموعات:
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{x - 2}} \]
الشرط: \[ \dfrac{x + 4}{x - 2} \ge 0 \]
النقاط الحرجة هي $x = -4$ و $x = 2$. باختبار الفترات:
المجال: $(-\infty, -4] \cup (2, \infty)$. (ملاحظة: تم استبعاد $x=2$ لوجوده في المقام).
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \sqrt{-x^2 - 4} \]
الشرط: \[ -x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \le 0 \]
بما أن $x^2 + 4$ يكون دائماً على الأقل 4 لأي عدد حقيقي $x$، فإنه لا يمكن أبداً أن يكون أقل من أو يساوي 0.
المجال: مجموعة خالية (لا توجد حلول حقيقية).
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{\sqrt{x - 2}} \]
الشروط:
التقاطع: $2 < x \le 6$. باستخدام رمز الفترات: $(2, 6]$.
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \]
الشرط: \[ x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
تتحقق هذه المتباينة عندما يكون $x$ خارج الجذرين -2 و 2.
المجال: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
أوجد مجال الدالة: \[ f(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
الشرط: \[ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \ge 0 \]
تتحقق هذه المتباينة عندما يكون $x$ بين الجذرين -2 و 2.
المجال: $[-2, 2]$.
