مسائل الهندسة مع الحلول والإجابات

استكشف الحلول المفصلة لـ مسائل الهندسة للصف الحادي عشر. تغطي هذه الأمثلة الهندسة الإحداثية، نظريات الدوائر، وحسابات المساحة/الحجم للأشكال المعقدة.

السؤال 1: تقاطع دائرة ومستقيم

أوجد جميع نقاط تقاطع الدائرة \( x^2 + 2x + y^2 + 4y = -1 \) والمستقيم \( x - y = 1 \).

عرض الحل

حل المعادلة الخطية بالنسبة لـ \( x \): \( x = 1 + y \).

التعويض في معادلة الدائرة:

\[ (1 + y)^2 + 2(1 + y) + y^2 + 4y = -1 \]

فك الأقواس والتبسيط إلى الصيغة التربيعية القياسية:

\[ 2y^2 + 8y + 4 = 0 \]

حل المعادلة لـ \( y \) ينتج \( y = -2 \pm \sqrt{2} \). باستخدام \( x = 1 + y \)، تكون نقاط التقاطع هي:

\[ (-1 + \sqrt{2},\ -2 + \sqrt{2}) \quad , \quad (-1 - \sqrt{2},\ -2 - \sqrt{2}) \]

السؤال 2: مثلث محصور بين مستقيمات

أوجد مساحة المثلث المحصور بين المحور السيني والمستقيمين \( y = x \) و \( y = -2x + 3 \).

عرض الحل
رسم بياني لتقاطع المثلث

حل النظام \( y = x \) و \( y = -2x + 3 \) يعطي نقطة التقاطع (الرأس) عند \( (1, 1) \). الارتفاع هو \( h = 1 \).

تقع القاعدة على المحور السيني من \( x = 0 \) إلى نقطة التقاطع للمستقيم \( y = -2x + 3 \)، وهي \( x = 1.5 \).

\[ \text{المساحة} = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 1 = 0.75 \text{ أو } \frac{3}{4} \]

السؤال 3: الضلع المجهول في مثلث

أوجد طول الضلع الثالث لمثلث إذا كانت مساحته 18 وطول ضلعيه الآخرين 5 و 10.

عرض الحل

باستخدام قانون الجيب للمساحة:

\[ 18 = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \times \sin(A) \Rightarrow \sin(A) = \frac{18}{25} \]

الآن طبق قانون جيب التمام للضلع \( x \):

\[ x^2 = 5^2 + 10^2 - 2(5)(10)\cos(A) \]

بما أن \( \cos(A) = \sqrt{1 - (18/25)^2} \approx 0.692 \):

\[ x = \sqrt{125 - 100(0.692)} \approx 7.46 \]

السؤال 4: الأوتار المتقاطعة

في دائرة، يتقاطع الوتران AC و BD في النقطة O. إذا كانت مساحة (BOC) = 15، و AO = 10، و OB = 5، فأوجد مساحة المثلث AOD.

الأوتار المتقاطعة
عرض الحل

حسب نظرية الأوتار المتقاطعة، \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \). هذا يعطي النسبة:

\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} = \frac{10}{5} = 2 \]

المثلثان يشتركان في زوايا متقابلة بالرأس. نسبة مساحتيهما تساوي حاصل ضرب نسب أضلاعهما:

\[ \text{مساحة}_{\triangle AOD} = \text{مساحة}_{\triangle BOC} \times 2 \times 2 = 15 \times 4 = 60 \]
توضيح الأوتار المتقاطعة

السؤال 5: دائرتا متحدة المركز وطول الوتر

دائرتان متحدتا المركز نصف قطراهما 10 و 6. ما هو طول الوتر AB للدائرة الكبرى الذي يمس الدائرة الصغرى؟

دوائر متحدة المركز
عرض الحل

رسم نصف قطر إلى نقطة التماس يشكل مثلثاً قائماً مع الوتر.

مثلث قائم في دوائر متحدة المركز

باستخدام مبرهنة فيثاغورس لنصف الوتر \( x \):

\[ 6^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow x = \sqrt{100 - 36} = 8 \]

الطول الكلي \( AB = 2x = 16 \).

السؤال 6: هندسة المربع

النقطة A تقع داخل المربع BCDE (طول الضلع = 20). إذا كان AB = 9 و AE = 13، فأوجد طول AC.

نقطة داخل مربع
عرض الحل

استخدم قانون جيب التمام في المثلث \(\triangle ABE\):

\[ 13^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(T) \]

استخدم قانون جيب التمام في المثلث \(\triangle ACB\):

\[ x^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(90^\circ - T) \]
المثلث ACB مع الزاوية T

لاحظ أن \( \cos(90^\circ - T) = \sin(T) \). حل المعادلة الأولى يعطي \( \cos(T) = \frac{13}{15} \).

باستخدام المتطابقة \( \sin(T) = \sqrt{1 - (13/15)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{15} \):

\[ AC = \sqrt{481 - 48\sqrt{14}} \approx 17.4 \]

السؤال 7: جسم مركب (الحجم والكتلة)

جسم معدني يجمع بين نصف كرة فوق أسطوانة. نصف القطر \( r = 5 \text{ cm} \)، وارتفاع الأسطوانة \( h = 12 \text{ cm} \). الكثافة تساوي \( 7.8 \text{ g/cm}^3 \).

عرض الحل

أ) الحجم الكلي:

\[ V_{\text{cyl}} = \pi(5)^2(12) = 300\pi \]
\[ V_{\text{hemi}} = \frac{2}{3}\pi(5)^3 = \frac{250}{3}\pi \]
\[ V_{\text{total}} = \frac{1150}{3}\pi \text{ cm}^3 \]

ب) الكتلة:

\[ \text{الكتلة} = 7.8 \times \text{الحجم} \approx 9396.66 \text{ g} \]

السؤال 8: محيط ومساحة الحديقة

حديقة على شكل مستطيل أبعاده \( 12 \times 8 \text{ m} \) مع نصف دائرة ملحقة بأحد ضلعيها بطول 8 متر.

عرض الحل

أ) المساحة الكلية:

\[ A_{\text{rect}} = 12 \times 8 = 96, \quad A_{\text{semi}} = \frac{1}{2}\pi(4)^2 = 8\pi \]
\[ A_{\text{total}} = 96 + 8\pi \approx 121.13 \text{ m}^2 \]

ب) المحيط: نحن نستبعد الحد الداخلي.

\[ P = 12 + 8 + 12 (\text{أضلاع المستطيل}) + \pi(4) (\text{القوس}) \approx 44.57 \text{ m} \]

المزيد من المراجع الهندسية

استكشف المزيد حول الأوتار المتقاطعة، ومعادلة الدائرة، ورياضيات المرحلة الثانوية.