أسئلة اختبار تمريني في رياضيات الصف الحادي عشر

a) بسط كل حد على حدة:
$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$
$\dfrac{16}{\sqrt{32}} = \dfrac{16}{4\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
الجمع: $(5\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = \mathbf{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.

b) $5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$ و $2\sqrt{27} = 6\sqrt{3}$.
$10\sqrt{3}(-6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}(-12\sqrt{3}) = -120(3) = \mathbf{-360}$.

مشاهدة حل الفيديو

انطق المقام بالضرب في المرافق $(2 + \sqrt{5})$:
\[ \dfrac{(1+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{4-5} = \dfrac{2 + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 5}{-1} = \dfrac{7+3\sqrt{5}}{-1} = -7-3\sqrt{5} \]
بسيط $4\sqrt{20} = 8\sqrt{5}$.
النتيجة النهائية: $-7 - 3\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = \mathbf{-7 + 5\sqrt{5}}$.

مشاهدة حل الفيديو

وزع الجزء الأول: $x^3 - 2x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 6 = x^3 - 5x^2 + 8x - 6$.
فك الجزء الثاني: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
الطرح: $(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) - (x^2 + 6x + 9) = \mathbf{x^3 - 6x^2 + 2x - 15}$.

مشاهدة حل الفيديو

بما أن $b > 0$، فإن $\sqrt{9b^2} = 3b$.
المعادلة: $3b = 6b\sqrt{x}$.
القسمة على $6b$: $\dfrac{3b}{6b} = \sqrt{x} \implies \dfrac{1}{2} = \sqrt{x}$.
تربيع الطرفين: $\mathbf{x = 1/4}$.

مشاهدة حل الفيديو

a) المقام المشترك هو $2(x-1)(x+2)$.
البسط: $2x(2)(x+2) - 1(2)(x-1) - 6 = 4x^2 + 8x - 2x + 2 - 6 = 4x^2 + 6x - 4 = 2(2x-1)(x+2)$.
التبيسط: $\mathbf{\dfrac{2x-1}{x-1}}$.

b) حلل جميع الحدود واضرب في المقلوب:
\[ \dfrac{2(x+2)(x-1)}{(x+3)(x+5)} \cdot \dfrac{(x+7)(x+3)}{2(x+1)(x+2)} = \mathbf{\dfrac{(x-1)(x+7)}{(x+5)(x+1)}} \]

مشاهدة 5a | مشاهدة 5b

بسيط الجزء الأول: $\dfrac{9x^4y^4}{16x^4y^8} = \dfrac{9}{16y^4}$.
بسيط الجزء الثاني: $\dfrac{27x^3y^3}{36x^{-2}y^4} = \dfrac{3x^5}{4y}$.
القسمة: $\dfrac{9}{16y^4} \cdot \dfrac{4y}{3x^5} = \mathbf{\dfrac{3}{4x^5y^3}}$.

مشاهدة حل الفيديو

أعد الكتابة على الصورة $x^2 + 2x - 2 < 0$.
حل المعادلة $x^2 + 2x - 2 = 0$ باستخدام العاملي القانون العام لإيجاد النقاط الحرجة: $x = -1 \pm \sqrt{3}$.
بما أن القطع المكافئ يفتح للأعلى ($a > 0$)، يكون التعبير سالباً بين الجذور: $\mathbf{(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})}$.

مشاهدة حل الفيديو

a) الرأس: $x = -b/2a = -2/-2 = 1$. $f(1) = 3$. الرأس هو $\mathbf{(1, 3)}$.
b) نقاط التقاطع: تقاطع صادي عند $f(0) = 2$. نقاط تقاطع سينية عند $\mathbf{1 \pm \sqrt{3}}$.
c) التماثل: $x = 1$.
d) المجال: جميع الأعداد الحقيقية. المدى: $(-\infty, 3]$.

استخدم صيغة الرأس: $y = a(x-2)^2 + 2$.
عوض بنقطة التقاطع الصادية $(0, -2)$: $-2 = a(0-2)^2 + 2 \implies -4 = 4a \implies a = -1$.
فك الأقواس: $f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 2 = \mathbf{-x^2 + 4x - 2}$.
نقاط التقاطع السينية الدقيقة ($y=0$): $\mathbf{x = 2 \pm \sqrt{2}}$.

باستخدام $(1, 1)$: $1 = a^{1-b}$. لأي $a > 0$، هذا يعني أن $1-b = 0$، إذن $\mathbf{b = 1}$.
باستخدام $(2, 3)$: $3 = a^{2-1} \implies a^1 = 3$، إذن $\mathbf{a = 3}$.
المعادلة: $\mathbf{g(x) = 3^{x-1}}$.

اضرب في المقام المشترك $(x-2)(x+1)$:
$(2x+1)(x+1) = -1(x-2)(x+1) - 1(x-2)$
$2x^2 + 3x + 1 = -(x^2 - x - 2) - x + 2$
$2x^2 + 3x + 1 = -x^2 + 4 \implies 3x^2 + 3x - 3 = 0$.
القسمة على 3: $x^2 + x - 1 = 0$. الحل: $\mathbf{x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$.

a) $\cos(45+30) = \cos(45)\cos(30) - \sin(45)\sin(30) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.
b) $\sec(15) = 1/\cos(45-30) = 1/(\cos45\cos30 + \sin45\sin30) = \mathbf{\dfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$.

a) $\tan(-330^{\circ}) = \tan(30^{\circ}) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$.
b) $\csc(480^{\circ}) = \csc(120^{\circ}) = 1/\sin(60^{\circ}) = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}$.

الطرف الأيمن: $\tan x \cdot \dfrac{1}{\tan x} + \dfrac{1}{\cos x} \cdot \sin x$
$= 1 + \dfrac{\sin x}{\cos x}$
$= 1 + \tan x$. تم الوصول إلى الطرف الأيسر.

a) $\theta = \arctan(0.2) \approx 11.3^{\circ}$. وأيضاً حل في الربع الثالث: $11.3 + 180 = \mathbf{191.3^{\circ}}$.
b) $\theta + 30 = 60^{\circ}$ أو $300^{\circ} \implies \theta = \mathbf{30^{\circ}, 270^{\circ}}$.

a) أقصى عمق: $7.2 + 5.8 = \mathbf{13.0 \text{ m}}$. يحدث عندما تكون $\cos = 1$: $t - 6.5 = 0 \implies \mathbf{t=6.5}$.
b) أدنى عمق: $-7.2 + 5.8 = \mathbf{-1.4 \text{ m}}$. يحدث عندما تكون $\cos = -1$: $30(t-6.5) = 180 \implies t = 12.5$.

الدالة الأصلية $2^x$. انعكاس حول المحور السيني ($-2^x$)، إزاحة لليمين بمقدار 2، إزاحة لأسفل بمقدار 3. خط تقارب عند $y = -3$.

السعة: 3. خط المنتصف: $y=3$. انعكاس حول خط المنتصف. إزاحة الطور: $30^{\circ}$ لليمين.

ضرب المعاملات: $2^{1/5} \cdot (16)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot (2^4)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot 2^{4/5} = 2^1 = 2$.
ضرب المتغيرات: $x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^1 = x$.
النتيجة النهائية: $\mathbf{2x}$.

التعبير عن $8 ^x \; 4^x$ بالأساس 2: $8 ^x \; 4^x = 2^{3x} \cdot 2^{2x} = 2^{5x} \implies \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x} = 2^{-5x}$.
مساواة الأسس: $-5x = -7x + 0.5 \implies 2x = 0.5 \implies \mathbf{x = 0.25}$.

الصيغة القياسية: $2x^2 - x + (m-1) = 0$.
وجود حلين حقيقيين يتطلب أن يكون $D = b^2 - 4ac > 0$.
$(-1)^2 - 4(2)(m-1) > 0 \implies 1 - 8m + 8 > 0 \implies 9 > 8m \implies \mathbf{m < 9/8}$.

حل المستقيم بالنسبة لـ $y$: $2y = 4x - 4 \implies y = 2x - 2$.
التعويض: $(x-2)^2 + (2x-2+1)^2 = 5 \implies (x-2)^2 + (2x-1)^2 = 5$.
فك الأقواس: $5x^2 - 8x + 5 = 5 \implies 5x^2 - 8x = 0$.
$x(5x-8)=0 \implies x=0, x=1.6$. النقاط: $\mathbf{(0, -2)}$ و $\mathbf{(1.6, 1.2)}$.

الأساس $r = 54/-18 = -3$. الحد الأول $a = -18/(-3)^2 = -2$.
$a_7 = -2(-3)^6 = \mathbf{-1458}$.
$S_{10} = \dfrac{-2(1 - (-3)^{10})}{1 - (-3)} = \dfrac{-2(-59048)}{4} = \mathbf{29524}$.

استخدم الصيغة $PV = A(1 + r/n)^{-nt}$.
$PV = 20000(1 + 0.03)^{-20} = \mathbf{\$11,073.52}$.