حدد رأس الدالة التربيعية g(x) = 4(x - 1)^2 - 1.

الرأس يقع عند (1, -1).

ما هي خصائص الدالة التربيعية في صيغة الرأس؟

الدالة في صيغة الرأس f(x) = a(x-h)^2 + k لها رأس عند (h, k) ومحور تماثل عند x = h. تفتح لأعلى إذا كانت a > 0 ولأسفل إذا كانت a < 0.

رسم الدوال التربيعية: صيغة الرأس، الصيغة القياسية وأمثلة

الدوال التربيعية هي دوال كثيرات حدود من الدرجة الثانية. رسومها البيانية عبارة عن قطع مكافئ. سنستكشف الدالة الأساسية \( f(x) = x^2 \)، وصيغة الرأس المُحوّلة \( f(x) = a(x - h)^2 + k \)، والصيغة القياسية \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

1. القطع المكافئ الأساسي: \( f(x) = x^2 \)

قبل رسم التحولات، نحلل الدالة الأم. نستخدم جدول القيم لتمثيل النقاط الرئيسية.

\( x \)	\( f(x) = x^2 \)
-3	9
-2	4
-1	1
0	0 (الرأس)
1	1
2	4
3	9

رسم بياني للدالة التربيعية الأساسية f(x) = x^2

2. خصائص صيغة الرأس: \( g(x) = a(x - h)^2 + k \)

تتيح لنا صيغة الرأس التعرف الفوري على مركز واتجاه القطع المكافئ:

الرأس: يقع عند النقطة \( (h, k) \).
محور التماثل: المستقيم الرأسي \( x = h \).
اتجاه الفتح:
- إذا كانت \( a > 0 \): يفتح لأعلى (الرأس يمثل قيمة صغرى).
- إذا كانت \( a < 0 \): يفتح لأسفل (الرأس يمثل قيمة عظمى).
المدى:
- \( y \ge k \) إذا كانت \( a > 0 \).
- \( y \le k \) إذا كانت \( a < 0 \).

المثال 2: رسم الدالة \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \)

عرض الحل خطوة بخطوة

1. تحديد المعاملات: \( a=4, h=1, k=-1 \). الرأس هو (1, -1).

2. نقاط التقاطع:
التقاطع الصادي: \( g(0) = 4(0-1)^2 - 1 = 3 \). النقطة: (0, 3).
التقاطعات السينية: حل المعادلة \( 4(x-1)^2 - 1 = 0 \). النقطتان: (0.5, 0) و (1.5, 0).

رسم بياني للدالة التربيعية g(x) = 4(x-1)^2 - 1

3. الرسم باستخدام الصيغة القياسية: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

لرسم الصيغة القياسية، نحسب إحداثيات الرأس \( (h, k) \) أولاً:

\[ h = -\frac{b}{2a} \quad \text{و} \quad k = f(h) \]

المثال 5: رسم الدالة \( p(x) = -2x^2 + 3x + 1 \)

أوجد الرأس، نقاط التقاطع، وارسم الرسم البياني.

عرض الحل

1. الرأس:
\( h = -3 / (2 \cdot -2) = 0.75 \)
\( k = p(0.75) = -2(0.75)^2 + 3(0.75) + 1 = 2.125 \). الرأس: (0.75, 2.13).

2. الرسم البياني: بما أن \( a = -2 \)، فإن القطع المكافئ يفتح لأسفل.

رسم الدوال التربيعية

1. القطع المكافئ الأساسي: \( f(x) = x^2 \)

2. خصائص صيغة الرأس: \( g(x) = a(x - h)^2 + k \)

المثال 2: رسم الدالة \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \)

3. الرسم باستخدام الصيغة القياسية: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

المثال 5: رسم الدالة \( p(x) = -2x^2 + 3x + 1 \)

مواصلة التمرين