أمثلة محلولة خطوة بخطوة
المثال 1: مجموعة من الأزواج المرتبة
أوجد معكوس الدالة \( f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\} \).
عرض الحل
لإيجاد معكوس مجموعة من النقاط، قم ببساطة بتبديل إحداثيي السيني (x) والصادي (y):
مجال الدالة المعكوسة \( f^{-1} \): \(\{0, 1, 3, 4\}\)
مدى الدالة المعكوسة \( f^{-1} \): \(\{-2, 0, 2, 3\}\)
المثال 2: الدالة الخطية
أوجد معكوس الدالة \( f(x) = 2x + 2 \).
عرض الحل
- استبدل \( f(x) \) بـ \( y \): \( y = 2x + 2 \)
- ابدل بين \( x \) و \( y \): \( x = 2y + 2 \)
- حل المعادلة بالنسبة لـ \( y \):
\( x - 2 = 2y \)
\( y = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
النتيجة: \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
المثال 3: دالة الجذر التكعيبي
أوجد معكوس الدالة \( g(x) = \sqrt[3]{x - 1} \).
عرض الحل
- ابدل المتغيرات: \( x = \sqrt[3]{y - 1} \)
- كعب الطرفين: \( x^3 = y - 1 \)
- حل المعادلة بالنسبة لـ \( y \): \( y = x^3 + 1 \)
النتيجة: \( g^{-1}(x) = x^3 + 1 \)
المثال 4: الدالة اللوغاريتمية
أوجد معكوس الدالة \( h(x) = \ln(x - 1) \).
عرض الحل
- ابدل المتغيرات: \( x = \ln(y - 1) \)
- حول إلى الصيغة الأسية: \( e^x = y - 1 \)
- حل المعادلة بالنسبة لـ \( y \): \( y = e^x + 1 \)
النتيجة: \( h^{-1}(x) = e^x + 1 \)
المثال 5: دالة الجذر التربيعي
أوجد معكوس الدالة \( m(x) = \sqrt{x + 2} \).
عرض الحل
- ابدل المتغيرات: \( x = \sqrt{y + 2} \)
- ربع الطرفين: \( x^2 = y + 2 \)
- حل المعادلة بالنسبة لـ \( y \): \( y = x^2 - 2 \)
ملاحظة هامة: بما أن مدى الدالة الأصلية هو \( y \ge 0 \)، يجب تقييد مجال الدالة المعكوسة.
النتيجة: \( m^{-1}(x) = x^2 - 2 \text{ لكل } x \ge 0 \)
المثال 6: الدالة النسبية
أوجد معكوس الدالة \( t(x) = \dfrac{1}{x-1} \).
عرض الحل
- ابدل المتغيرات: \( x = \dfrac{1}{y-1} \)
- اضرب الطرفين في \((y-1)\): \( x(y-1) = 1 \)
- انشر واجعل \( y \) في طرف وحدها:
\( xy - x = 1 \)
\( xy = 1 + x \)
\( y = \dfrac{x+1}{x} \)
النتيجة: \( t^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x} \)
