مسائل رياضيات الصف الحادي عشر مع الحلول

الخطوة 1: تحديد القيود. لا يمكن أن تكون المقامان صفراً، لذا \( x \ne 2 \) و \( x \ne -4 \).

الخطوة 2: الضرب التبادلي. للتخلص من الكسور، اضرب بسط كل طرف في مقام الطرف الآخر:

الخطوة 3: فك الطرفين. استخدم طريقة FOIL:

الخطوة 4: تجميع الحدود لتشكيل معادلة تربيعية قياسية. اطرح \( x^2 + 6x + 8 \) من الطرفين:

الخطوة 5: التحليل إلى عوامل والحصول على الحل. أخرج العامل المشترك \( 2x \):

مساواة كل عامل بالصفر يعطي \( x = 0 \) و \( x = 8 \). وكلاهما صالحان لأن أياً منهما لا يساوي قيمنا المقيدة.

الحلول النهائية: { 0 , 8 }.

الخطوة 1: استخدام نظرية الجذور النسبية. الجذور النسبية المحتملة هي نسبة عوامل الحد الثابت (10) إلى عوامل المعامل الرئيسي (1).

عوامل الحد الثابت (\(p\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\)
عوامل المعامل الرئيسي (\(q\)): \(\pm 1\)

قائمة الجذور المحتملة (\(\dfrac{p}{q}\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\).

لنجرب \( x = 1 \):
\( P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0 \).
بما أن \( P(1) = 0 \)، فإن \( (x - 1) \) عامل لكثيرة الحدود.

الخطوة 2: إجراء قسمة كثيرات الحدود. اقسم \( P(x) \) على \( (x - 1) \) باستخدام القسمة التركيبية أو الطويلة:

الخطوة 3: تحليل المقدار التربيعي الناتج. ابحث عن عددين حاصل ضربهما -10 ومجموعهما -3. وهما -5 و 2:

الخطوة 4: دمج جميع العوامل.
التحليل: \( (x - 1)(x - 5)(x + 2) \).

الخطوة 1: عزل الحد الأسي. اقسم الطرفين على 6:

الخطوة 2: التعبير عن الطرفين بنفس الأساس. تذكر أن 27 هو قوة للعدد 3:

الخطوة 3: مساواة الأسس. بما أن الأساسين متساويان، يجب أن تتساوي الأسس.
x = 3.

الخطوة 1: تذكر صيغة المتتالية الحسابية.

الخطوة 2: إيجاد الأساس المشترك (\( d \)). عوض بالقيم المعروفة للحد الخامس عشر:

الخطوة 3: حساب الحد الثلاثين. استخدم الصيغة مرة أخرى مع \( n = 30 \) و \( d = -3 \):

.

الخطوة 1: ترجمة المسألة اللفظية إلى معادلة.

الخطوة 2: التخلص من الكسور. اضرب المعادلة بأكملها في المقام المشترك، \( 15N \):

الخطوة 3: تبسيط المعادلة وجعلها مساوية لصفر. انقل جميع الحدود إلى طرف واحد:

بالقسمة على 3 للتبسيط:

الخطوة 4: تحليل المقدار التربيعي.

الخطوة 5: الحل. ينتج عن ذلك \( N = 1/5 \) و \( N = 5 \). وبما أن السؤال يطلب عدداً صحيحاً، فإننا نستبعد الكسر.
الحل: N = 5.

الخطوة 1: الضرب التبادلي لإزالة الكسور.

الخطوة 2: التعبير عن جميع الأعداد بأسس أولية. نعلم أن \( 128 = 2^7 \)، و \( 4 = 2^2 \)، و \( 125 = 5^3 \).

الخطوة 3: تطبيق قواعد الأسس. دمج الحدود ذات الأساس 2 والأساس 5:

الخطوة 4: إيجاد قيمة m و n. بما أن 2 و 5 عددان أوليان مختلفان، فإن الطريقة الوحيدة لكي تساوي قوة العدد 2 قوة العدد 5 هي أن يقيم كلاهما إلى 1 (أي \( 2^0 = 5^0 \)). لذلك، يجب أن يساوي كلا الأسين صفراً:

الخطوة 1: تحديد قيود المجال. اللوغاريتمات معرفة فقط للقيم الموجبة، لذا \( x > 0 \) و \( x - 2 > 0 \). بالدمج بينهما، يجب أن يحقق الحل الشرط \( x > 2 \).

الخطوة 2: دمج اللوغاريتمات. استخدم قاعدة الضرب للوغاريتمات (\( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \)):

الخطوة 3: التحويل إلى الصورة الأسية. حسب تعريف اللوغاريتم:

الخطوة 4: حل المعادلة التربيعية.

يعطي هذا حلين محتملين \( x = 4 \) و \( x = -2 \). وبالتحقق من قيد المجال (\( x > 2 \))، نجد أن \( -2 \) حل دخيل.
الحل النهائي: x = 4.

الخطوة 1: ملاحظة الجمع المتكرر. إضافة ثلاثة حدود متطابقة تعادل ضرب هذا الحد في 3:

الخطوة 2: تطبيق قواعد الأسس. العدد 3 يمكن كتابته على صورة \( 3^1 \). عند ضرب حدود لها نفس الأساس، نجمع الأسس:

الشكل المبسط: \( 3^{n + 4002} \)

الخطوة 1: استبدال \( f(x) \) بـ \( y \).

الخطوة 2: تبديل \( x \) و \( y \). هذه هي الخطوة الأساسية لإيجاد الدالة العكسية:

الخطوة 3: عزل المتغير \( y \) الجديد. اضرب الطرفين في \( y + 3 \):

انقل جميع الحدود التي تحتوي على \( y \) إلى طرف واحد، وباقي الحدود إلى الطرف الآخر:

أخرج \( y \) كعامل مشترك:

اقسم على \( x - 2 \):

الدالة العكسية: \( f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \).

الخطوة 1: مساواة المعادلتين ببعضهما. بما أن كلتا المعادلتين مساويتان لـ \( y \):

الخطوة 2: التبسيط إلى الصورة التربيعية القياسية. انقل جميع الحدود إلى الطرف الأيسر:

الخطوة 3: الحل باستخدام القانون العام. (\( a=1, b=-6, c=4 \))

تبسيط الجذر (\( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)):

الخطوة 4: إيجاد قيم y المقابلة. عوض بقيم x في المعادلة الخطية الأبسط \( y = 2x - 1 \):
إذا كان \( x = 3 + \sqrt{5} \): \( y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \).
إذا كان \( x = 3 - \sqrt{5} \): \( y = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \).

الحلول: \( (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \) و \( (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \).

الخطوة 1: كتابة صورة الرأس للقطع المكافئ.

عوض بالرأس \( (h, k) = (2, -1) \):

الخطوة 2: إيجاد معامل التمدد الرأسي (\( a \)). عوض بالنقطة المعلومة \( (x, y) = (4, 7) \) في المعادلة:

الخطوة 3: كتابة المعادلة النهائية.
\( y = 2(x - 2)^2 - 1 \).

الخطوة 1: تكوين معادلات المحيط والمساحة. ليكن \( x \) العرض (جانبان عموديان على الجدار) و \( y \) الطول (الجانب الموازي للجدار).
السياج الكلي: \( 2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x \).
المساحة: \( A = x \cdot y \).

الخطوة 2: التعبير عن المساحة كدالة لـ \( x \). عوض بـ \( y \) في معادلة المساحة:

الخطوة 3: إيجاد القيمة العظمى. هذا قطع مكافئ مفتوح لأسفل (\( a = -2 \)). تحدث القيمة العظمى عند الرأس، حيث \( x = \dfrac{-b}{2a} \):

الخطوة 4: إيجاد الأبعاد والمساحة المتبقية.
إذا كان \( x = 25 \)، فإن \( y = 100 - 2(25) = 50 \).
الأبعاد: 25 متراً في 50 متراً.
أقصى مساحة: \( 25 \cdot 50 = \) 1250 متراً مربعاً.

الخطوة 1: تحليل البسط والمقام.
البسط: \( x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \)
المقام (فرق بين مربعات): \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)

الخطوة 2: تحديد الثقوب (التجاويف). يلغى العامل \( (x - 3) \)، مما يعني وجود ثقب عند \( x = 3 \).
لإيجاد الإحداثي الصادي للثقب، عوض بـ \( x = 3 \) في الدالة المبسطة \( \dfrac{x - 1}{x + 3} \):
\( y = \dfrac{3 - 1}{3 + 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
الثقب عند (3, 1/3).

الخطوة 3: تحديد خطوط التقارب الرأسية (VA). اجعل ما تبقى من المقام مساوياً لصفر:
\( x + 3 = 0 \Rightarrow \) خط تقارب رأسي عند x = -3.

الخطوة 4: تحديد خطوط التقارب الأفقية (HA). بما أن درجة البسط (2) تساوي درجة المقام (2)، فإن خط التقارب الأفقي هو نسبة معامليهما الرئيسيين:
\( y = \dfrac{1x^2}{1x^2} \Rightarrow \) خط تقارب أفقي عند y = 1.

الخطوة 1: إيجاد ميل المستقيم الثاني (\( m_2 \)).

الخطوة 2: تحديد الميل المطلوب للمستقيم الأول (\( m_1 \)). المستقيمان المتعامدان لهما ميلان مقلوبان ومعكوسا الإشارة (\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)).

الخطوة 3: تكوين معادلة الميل للمستقيم الأول لإيجاد \( k \).

الخطوة 4: الضرب التبادلي والحل.
\( 15 = 2(-5 - k) \)
\( 15 = -10 - 2k \)
\( 25 = -2k \Rightarrow \) k = -12.5.

الخطوة 1: التعويض بمعادلة القطع المكافئ في معادلة الدائرة. من القطع المكافئ، يمكننا عزل \( x^2 \):
\( x^2 = y + 4 \)

عوض بـ \( (y+4) \) بدلاً من \( x^2 \) في معادلة الدائرة:

الخطوة 2: حل المعادلة التربيعية الناتجة.

استخدم القانون العام:

الخطوة 3: إيجاد قيم x المقابلة. عوض بقيم y هذه في \( x^2 = y + 4 \):

ملاحظة: \( 7 - \sqrt{85} \) تعطي عدداً سالباً، وبما أن \( x^2 \) يجب أن يكون موجباً، فإننا نرفض حالة الناقص داخل الجذر.
نقاط التقاطع:
\( \left( \sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \) و \( \left( -\sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \).

الخطوة 1: إيجاد نصف قطر الدائرة الأولى بإتمام المربع.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -1 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \).
مربع نصف القطر هو \( r_1^2 = 4 \)، إذن \( r_1 = 2 \).

الخطوة 2: إيجاد نصف قطر الدائرة الثانية.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 11 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 \).
مربع نصف القطر هو \( r_2^2 = 16 \)، إذن \( r_2 = 4 \).

الخطوة 3: طرح مساحة الدائرة الصغرى من الكبرى.
المساحة = \( \pi(r_2)^2 - \pi(r_1)^2 \)
المساحة = \( 16\pi - 4\pi = \mathbf{12\pi} \).

الخطوة 1: عزل y في معادلة المستقيم والتعويض.
\( y = r - x \).
عوض في الدائرة:

الخطوة 2: استخدام شرط المميز للمماس. يكون المستقيم مماساً لدائرة إذا تقاطعا في نقطة واحدة فقط، مما يعني أن المميز (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) لهذه المعادلة التربيعية يجب أن يساوي صفراً.
هنا، \( a = 2 \)، \( b = -2r \)، \( c = r^2 - 4 \).

النتيجة: \( r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \).

الخطوة 1: تكوين مثلثين قائمي الزاوية. ليكن \( h = 80\text{m} \) ارتفاع الجرف. زوايا الانخفاض تساوي زوايا الارتفاع من القاربين إلى قمة الجرف.

الخطوة 2: إيجاد المسافة إلى القارب الأقرب (\( d_1 \)).
باستخدام الظل (المقابل/المجاور):
\( \tan(28^\circ) = \dfrac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 = \dfrac{80}{\tan(28^\circ)} \approx 150.44\text{m} \)

الخطوة 3: إيجاد المسافة إلى القارب الأبعد (\( d_2 \)).
\( \tan(18^\circ) = \dfrac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 = \dfrac{80}{\tan(18^\circ)} \approx 246.30\text{m} \)

الخطوة 4: إيجاد الفارق.

الخطوة 1: استخدام متطابقة فيثاغورس. عوض بـ \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) لجعل المعادلة بدلالة الجيب تماماً:

الخطوة 2: إعادة الترتيب إلى معادلة تربيعية قياسية. انقل جميع الحدود إلى الطرف الأيمن للحفاظ على الحد المربع موجباً:

الخطوة 3: تحليل المقدار التربيعي. تعامل مع \( \sin x \) كمتغير \( u \) (\( 2u^2 - 3u + 1 = 0 \)):

الخطوة 4: حل المعادلة بالنسبة لـ x.
الحالة 1: \( 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \). زاوية الإسناد هي 30°. الجيب موجب في الربعين الأول والثاني، لذا \( x = 30^\circ \) و \( x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).
الحالة 2: \( \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \). تحدث عند \( x = 90^\circ \).

الحلول: 30°, 90°, 150°.