تبسيط الأسس والجذور

مسائل تمرينية، بما في ذلك المسائل الصعبة، مع حلول خطوة بخطوة

لتبسيط الأسس والجذور، يجب تطبيق قوانين الأسس وخصائص الجذور. راجع قواعد الجذور والأسس قبل البدء. حاول حل هذه التعابير العددية بدون آلة حاسبة.

تبسيط التعابير العددية مع الأسس

السؤال 1: احسب التعابير التالية:

  1. \( 3^2 \)
  2. \( -3^4 \)
  3. \( (-3)^4 \)
  4. \( \left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} \)
عرض الحلول
  1. \( 3^2 = 9 \)
  2. \( -3^4 = -(3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81 \)
  3. \( (-3)^4 = -3 \times -3 \times -3 \times -3 = 81 \)
  4. \( \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} = -\dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{-4 + 27}{108} = \dfrac{23}{108} \)

التعابير العددية مع الجذور والأسس الكسرية

السؤال 2: احسب ما يلي:

  1. \( \sqrt[3]{-8} \)
  2. \( 8^{2/3} \)
  3. \( 16^{-3/4} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} \)
عرض الحلول
  1. \( \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \)
  2. \( 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
  3. \( 16^{-3/4} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2 \)

تبسيط التعابير الجبرية مع الأسس

السؤال 3: بسط التعابير التالية:

  1. \( (x^2)^{-2} \)
  2. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} \)
  3. \( (-2x^2 y^{-3})^3 \)
  4. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} \)
عرض الحلول
  1. \( (x^2)^{-2} = x^{-4} = \dfrac{1}{x^4} \)
  2. \( \dfrac{9x^2 \cdot (-8x^3)}{4x^2} = \dfrac{-72x^5}{4x^2} = -18x^3 \)
  3. \( (-2)^3 (x^2)^3 (y^{-3})^3 = -8x^6 y^{-9} = \dfrac{-8x^6}{y^9} \)
  4. \( \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}}{(y^{-6})^{2/3}} = \dfrac{4x^2}{y^{-4}} = 4x^2 y^4 \)

تبسيط التعابير الجبرية مع الجذور

السؤال 4: بسط ما يلي:

  1. \( \sqrt[4]{16x^4} \)
  2. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} \)
عرض الحلول
  1. \( \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 2|x| \)
  2. \( 2x^{6/3}y^{3/3} = 2x^2y \)
  3. \( \sqrt[5]{\dfrac{64x^9 y^7}{2x^4 y^2}} = \sqrt[5]{32x^5 y^5} = 2xy \)

مسائل تحدي

السؤال 5: بسط التعابير المتقدمة التالية. افترض أن جميع المتغيرات تمثل أعداداً حقيقية موجبة.

  1. \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} \)
  2. \( \left( \dfrac{81 x^{-4} y^8}{16 x^8 y^{-4}} \right)^{-3/4} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[3]{a^2b} \cdot \sqrt{ab^3} }{ \sqrt[6]{a^5b^7} } \)
عرض الحلول

  1. الخطوة 1: حول الجذور الداخلية إلى أسس كسرية.
    \( \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{1/2}}} = \sqrt{x \sqrt{x^{3/2}}} \)

    الخطوة 2: تابع التحويل للخارج بضرب الأسس.
    \( \sqrt{x \cdot (x^{3/2})^{1/2}} = \sqrt{x \cdot x^{3/4}} = \sqrt{x^{7/4}} \)

    الخطوة 3: التحويل الأخير.
    \( (x^{7/4})^{1/2} = \mathbf{x^{7/8}} \)

  2. الخطوة 1: بسط الكسر داخل القوسين أولاً. اطرح أسس المقام من أسس البسط.
    \( \dfrac{81}{16} x^{-4-8} y^{8-(-4)} = \dfrac{81}{16} x^{-12} y^{12} \)

    الخطوة 2: طبق الإشارة السالبة من الأس الكسري، والتي تقلب الكسر.
    \( \left( \dfrac{16 x^{12}}{81 y^{12}} \right)^{3/4} \)

    الخطوة 3: طبق القوة \(3/4\) على كل حد (مع ملاحظة أن \(16 = 2^4\) و \(81 = 3^4\)).
    \( \dfrac{(2^4)^{3/4} (x^{12})^{3/4}}{(3^4)^{3/4} (y^{12})^{3/4}} = \mathbf{\dfrac{8 x^9}{27 y^9}} \)

  3. الخطوة 1: حول جميع الجذور إلى أسس كسرية.
    البسط: \( (a^2b)^{1/3} \cdot (ab^3)^{1/2} = a^{2/3}b^{1/3} \cdot a^{1/2}b^{3/2} \)
    المقام: \( (a^5b^7)^{1/6} = a^{5/6}b^{7/6} \)

    الخطوة 2: اجمع الحدود في البسط بإضافة أسسها.
    \( a^{2/3 + 1/2} b^{1/3 + 3/2} = a^{7/6} b^{11/6} \)

    الخطوة 3: اقسم بطرح أسس المقام.
    \( a^{7/6 - 5/6} b^{11/6 - 7/6} = a^{2/6} b^{4/6} \)

    الخطوة 4: بسط الكسور وأعد الكتابة على صورة جذر.
    \( a^{1/3} b^{2/3} = \mathbf{\sqrt[3]{ab^2}} \)

مواضيع ذات صلة

المزيد من موارد الرياضيات