كيف تبسط التعابير النسبية؟ تُستخدم قواعد الجمع، والطرح، والضرب، وقسمة التعابير النسبية لتبسيط الكسور الجبرية المعقدة. تُعرض أمثلة الصف الحادي عشر أدناه جنباً إلى جنب مع حلول تفصيلية خطوة بخطوة.
نصيحة: يمكنك استخدام حاسبة تبسيط التعابير النسبية عبر الإنترنت للتحقق من نتائجك النهائية.
إذا واجهتك صعوبات، راجع دروس الجمع والطرح و الضرب والقسمة قبل البدء.
| الجمع والطرح (يتطلب مقاماً مشتركاً) |
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \] |
| الضرب | \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \] |
| القسمة (الضرب في المقلوب) |
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \] |
بسط:
نبدأ بتبسيط البسط \( \dfrac{2}{3} + 5 \). نحول إلى مقام مشترك.
نغير 4 إلى كسر \( \dfrac{4}{1} \) ونبسط بقسمة الكسور (الضرب في المقلوب).
نضرب الكسور.
نحول إلى مقام مشترك ونجمع.
بسط:
نبسط البسط أولاً بالتحويل إلى أصغر مقام مشترك \( (x - 2)(x + 1) \).
نطبق قاعدة القسمة بالضرب في مقلوب المقام.
نبسط باختصار العوامل المشتركة.
نشر ونبسط البسط.
بسط:
نحول حدود البسط إلى نفس المقام.
ننشر ونبسط الأعلى.
نضرب في المقلوب.
نخرج الثوابت عوامل مشتركة لإيجاد اختصارات شائعة.
نختصر \( (3x+2) \) ونضرب.
نحول إلى مقام مشترك ونجمع.
بسط:
نبدأ من أعمق كسر ونتحرك للأعلى. نحول الحدود في \( x + \dfrac{1}{x+1} \) إلى نفس المقام.
لاحظ أن \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} \) هو المقلوب \( \dfrac{B}{A} \).
نحول حدود المقام المتبقية إلى مقام مشترك.
نبسط ونجمع.
نأخذ المقلوب الأخير.
بسط التعابير التالية. انقر فوق "عرض الحل" للتحقق من إجاباتك.
المسألة: \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
الإجابة: \( \dfrac{353}{60} \)
المسألة: \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
الإجابة: \( 4(x-1) \)
المسألة: \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
الإجابة: \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)} \)
المسألة: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
الإجابة: \( \dfrac{ (x+2)(x-5)}{3(x+1)} \)
المسألة: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
الإجابة: \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
المسألة: \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)
الإجابة: \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)
التحدي 1: بسط كسراً مركباً يتطلب تحليل كثيرات الحدود.
الخطوة 1: طبق قاعدة القسمة (الضرب في المقلوب).
الخطوة 2: حلل البسوط والمقامات. لاحظ الفرق بين مربعيْن وثلاثية المربع الكامل.
الخطوة 3: اختصر العوامل المشتركة \( (x+3) \) و \( (x-2) \).
الإجابة: \( \mathbf{\dfrac{x-3}{x-2}} \)
التحدي 2: جمع وطرح التعابير النسبية ذات المقام التربيعي.
الخطوة 1: حلل جميع المقامات لإيجاد المقام المشترك الأصغر (LCD). هنا، \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \).
المقام المشترك الأصغر هو \( (x-1)(x+1) \).
الخطوة 2: أعد كتابة كل كسر بالمقام المشترك الأصغر.
الخطوة 3: ادمج فوق مقام واحد. احرص على توزيع الإشارة السالبة بعناية!
الخطوة 4: انشر وجمع الحدود المتشابهة في البسط.
الخطوة 5: حلل البسط لمعرفة ما إذا كان أي شيء آخر يختصر.
الإجابة: \( \mathbf{\dfrac{4}{x+1}} \)
التحدي 3: بسط كسراً مستمراً متعدد المستويات.
الخطوة 1: بسط المقام الداخلي الأعمق \( 2 - \dfrac{1}{2 - x} \).
الخطوة 2: عوض بهذا مجدداً في المعادلة الرئيسية. تذكر أن \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{B}{A} \).
الخطوة 3: أوجد مقاماً مشتركاً لجمع الحدود الأخيرة.
الخطوة 4: اجمع الحدود المتشابهة.
الإجابة: \( \mathbf{\dfrac{4 - 3x}{3 - 2x}} \)