كيفية حل المعادلات المثلثية

أمثلة خطوة بخطوة باستخدام دائرة الوحدة والمتطابقات

يتطلب حل المعادلات المثلثية عزل الدالة المثلثية، وإيجاد زاوية الإسناد، واستخدام دائرة الوحدة لتحديد الزوايا في الأرباع الصحيحة. عندما تكون المعادلات أكثر تعقيداً، تُستخدم المتطابقات المثلثية لتبسيطها أولاً. لنستكشف أمثلة تتراوح من الصور الخطية البسيطة إلى المعادلات التربيعية الصعبة.

المثال 1: معادلة خطية مع القاطع (Secant)

أوجد جميع حلول المعادلة المثلثية:

\[ \sqrt{3} \sec(\theta) + 2 = 0 \]

عرض حل المثال 1

باستخدام متطابقة المقلوب \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \)، يمكننا إعادة كتابة المعادلة لعزل جيب التمام:

\[ \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

أوجد زاوية الإسناد \( \theta_r \) بأخذ القيمة المطلقة: \( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \]

بما أن \( \cos(\theta) \) سالبة، يجب أن تقع الزوايا الفعلية في الربع الثاني أو الثالث.

الربع الثاني: \( \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \)

الربع الثالث: \( \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \)

الحلول العامة: أضف \( 2n\pi \) لمراعاة الطبيعة الدورية لجيب التمام (حيث n عدد صحيح).

\[ \theta = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{و} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \]

المثال 2: معادلة الجيب الأساسية

حل المعادلة المثلثية:

\[ 2 \sin(\theta) = -1 \]

عرض حل المثال 2

اعزل دالة الجيب بقسمة الطرفين على 2:

\[ \sin(\theta) = -\dfrac{1}{2} \]

زاوية الإسناد التي يكون فيها الجيب مساوياً لـ \( 1/2 \) هي \( \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \). ونظراً لأن قيمة الجيب سالبة، يجب أن تكون الزوايا في الربعيْن الثالث والرابع.

الربع الثالث: \( \theta_1 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \)

الربع الرابع: \( \theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \)

الحلول العامة:

\[ \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{و} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]

المثال 3: الزوايا المتعددة

حل المعادلة التالية التي تتضمن إزاحة طور وزاوية متعددة:

\[ \sqrt{2} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \]

عرض حل المثال 3

أولاً، استبدل التعبير الداخلي بمتغير مؤقت. ليكن \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \). اعزل جيب التمام:

\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]

زاوية الإسناد هي \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \). جيب التمام سالب في الربعين الثاني والثالث. أوجد الحلول لـ \(\theta\):

\[ \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]

الآن، عوض بـ \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \) بدلاً من \(\theta\) وحل المعادلة بالنسبة لـ \(x\).

المعادلة الأولى:

\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{2\pi}{4} + 2n\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \]
\[ x_1 = \mathbf{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]

المعادلة الثانية:

\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi \]
\[ x_2 = \mathbf{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]

المثال 4: الصورة التربيعية

حل المعادلة المثلثية التربيعية:

\[ - 2 \sin^2 x - \cos x = - 1 \]

عرض حل المثال 4

عندما تحتوي المعادلة على كل من جيب تربيع وجيب تمام، استخدم متطابقة فيثاغورس \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) لتحويل كل شيء إلى جيب تمام.

\[ -2(1 - \cos^2 x) - \cos x = -1 \]
\[ -2 + 2\cos^2 x - \cos x = -1 \]

انقل كل شيء إلى طرف واحد لتكوين معادلة تربيعية قياسية (\(ax^2+bx+c=0\)):

\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]

حلل المقدار التربيعي إلى عوامل (مع معاملة \(\cos x\) كمتغير \(u\)):

\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]

حل كل عامل بشكل مستقل:

الحالة 1: \( 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \)

\[ x = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi} \quad \text{و} \quad x = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi} \]

الحالة 2: \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)

جيب التمام يساوي 1 عند زاوية 0 راديان.

\[ x = 0 + 2n\pi \Rightarrow \mathbf{x = 2n\pi} \]

مسائل تحدي

التحدي 1 (متطابقة الزاوية المضاعفة): حل بالنسبة لـ \(x\):

\[ \sin(2x) + \cos(x) = 0 \]

عرض الحل

الخطوة 1: طبق متطابقة الزاوية المضاعفة للجيب: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]

الخطوة 2: أخرج العامل المشترك، \( \cos(x) \).

\[ \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \]

الخطوة 3: ساوا كل عامل بالصفر وحل.

العامل 1: \( \cos(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi} \)

العامل 2: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\dfrac{1}{2} \)

\[ \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]

التحدي 2 (متطابقة فيثاغورس): حل بالنسبة لـ \(x\):

\[ \tan^2(x) - \sec(x) = 1 \]

عرض الحل

الخطوة 1: استخدم المتطابقة \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \) لتصبح المعادلة بدلالة القاطع تماماً.

\[ (\sec^2(x) - 1) - \sec(x) = 1 \]

الخطوة 2: أعد ترتيبها لتصبح معادلة تربيعية مساوية للصفر.

\[ \sec^2(x) - \sec(x) - 2 = 0 \]

الخطوة 3: حلل المعادلة التربيعية.

\[ (\sec(x) - 2)(\sec(x) + 1) = 0 \]

الخطوة 4: حل بالنسبة لجيب التمام باستخدام متطابقات المقلوب.

العامل 1: \( \sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 2n\pi} \)

العامل 2: \( \sec(x) = -1 \Rightarrow \cos(x) = -1 \Rightarrow \mathbf{x = \pi + 2n\pi} \)

التحدي 3 (الحلول الدخيلة): حل بالنسبة لـ \(x\) على الفترة \( [0, 2\pi) \):

\[ \sin(x) - \cos(x) = 1 \]

عرض الحل

الخطوة 1: ربع طرفي المعادلة. تحذير: التربع قد يُدخل حلولاً دخيلة، لذا يجب التحقق من الإجابات النهائية.

\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 1^2 \]
\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]

الخطوة 2: استخدم المتطابقتين \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) و \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \).

\[ 1 - \sin(2x) = 1 \]
\[ \sin(2x) = 0 \]

الخطوة 3: حل بالنسبة لـ \( 2x \). الجيب يساوي صفراً عند مضاعفات \( \pi \) الصحيحة.

\[ 2x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n\pi}{2} \]

على الفترة \( [0, 2\pi) \)، الزوايا المحتملة هي \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \).

الخطوة 4: تحقق من الحلول الدخيلة في المعادلة الأصلية \( \sin(x) - \cos(x) = 1 \).

  • عند \( x = 0 \): \( 0 - 1 = -1 \neq 1 \) (مرفوض)
  • عند \( x = \pi/2 \): \( 1 - 0 = 1 \) (مقبول)
  • عند \( x = \pi \): \( 0 - (-1) = 1 \) (مقبول)
  • عند \( x = 3\pi/2 \): \( -1 - 0 = -1 \neq 1 \) (مرفوض)

الإجابة: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}} \) و \( \mathbf{x = \pi} \)

مواضيع حساب مثلثات ذات صلة

المزيد من موارد الرياضيات