الزوايا الخاصة في دائرة الوحدة

إيجاد القيم المثلثية الدقيقة باستخدام التناظر

كيف توجد القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام بدون آلة حاسبة؟ من خلال حفظ الربع الأول من دائرة الوحدة وتطبيق تناظر الهندسة الأساسي، يمكنك بسهولة تحديد القيم المثلثية لأي زاوية مرتبطة.

فهم تناظر دائرة الوحدة

أي خط يمر عبر مركز الدائرة هو خط تناظر. نعتبر دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل \( (0,0) \). نحن مهتمون بثلاثة أنواع محددة من التناظر:

توضح دائرة الوحدة أدناه جيب التمام (الإحداثي السيني) والجيب (الإحداثي الصادي) للزوايا الخاصة بالراديان والدرجات: \( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ), \text{و } \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \).

دائرة الوحدة توضح الزوايا الخاصة في الربع الأول
الشكل 1. دائرة الوحدة وزوايا الربع الأول الخاصة

الزوايا المرتبطة بـ \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

اعتبر الزوايا: \( \dfrac{2\pi}{3} \)، و \( \dfrac{4\pi}{3} \)، و \( \dfrac{5\pi}{3} \). كلها لها زاوية إسناد تساوي \( \dfrac{\pi}{3} \).

القيم الأساسية: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

1. التناظر بالنسبة لمحور الصادات (الربع الثاني)
\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]

في الربع الثاني، x سالبة و y موجبة.

\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
2. التناظر بالنسبة لنقطة الأصل (الربع الثالث)
\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]

في الربع الثالث، كل من x و y سالبتان.

\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
3. التناظر بالنسبة لمحور السينات (الربع الرابع)
\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

في الربع الرابع، x موجبة و y سالبة.

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

الزوايا المرتبطة بـ \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

اعتبر الزوايا: \( \dfrac{5\pi}{6} \)، و \( \dfrac{7\pi}{6} \)، و \( \dfrac{11\pi}{6} \). كلها لها زاوية إسناد تساوي \( \dfrac{\pi}{6} \).

القيم الأساسية: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)

1. التناظر بالنسبة لمحور الصادات (الربع الثاني)
\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]
2. التناظر بالنسبة لنقطة الأصل (الربع الثالث)
\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
3. التناظر بالنسبة لمحور السينات (الربع الرابع)
\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

الزوايا المرتبطة بـ \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

اعتبر الزوايا: \( \dfrac{3\pi}{4} \)، و \( \dfrac{5\pi}{4} \)، و \( \dfrac{7\pi}{4} \). كلها لها زاوية إسناد تساوي \( \dfrac{\pi}{4} \).

القيم الأساسية: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

1. التناظر بالنسبة لمحور الصادات (الربع الثاني)
\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
2. التناظر بالنسبة لنقطة الأصل (الربع الثالث)
\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
3. التناظر بالنسبة لمحور السينات (الربع الرابع)
\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

مسائل تحدي

طبق معرفتك بدائرة الوحدة، وزوايا الإسناد، والزوايا المشتركة لحل المسائل التالية بدون آلة حاسبة.

السؤال 1 (الزوايا السالبة): أوجد القيمة الدقيقة لـ \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) و \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \).

عرض الحل

الخطوة 1: الزاوية السالبة تعني الدوران في اتجاه عقارب الساعة. لإيجاد زاوية موجبة مشتركة في الضلع النهائي، أضف \( 2\pi \).

\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]

الخطوة 2: الزاوية \( \dfrac{5\pi}{4} \) تقع في الربع الثالث. كل من الجيب وجيب التمام سالبان.

الإجابة: \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) و \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)

السؤال 2 (الزوايا الأكبر من \(2\pi\)): أوجد قيمتي الجيب وجيب التمام الدقيقتين لـ \( \dfrac{16\pi}{3} \).

عرض الحل

الخطوة 1: أوجد زاوية مشتركة بين \( 0 \) و \( 2\pi \) بطرح الدورات الكاملة بشكل متكرر (\( 2\pi \) أو \( \dfrac{6\pi}{3} \)).

\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]
\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

الخطوة 2: الزاوية \( \dfrac{4\pi}{3} \) تقع في الربع الثالث مع زاوية إسناد تساوي \( \dfrac{\pi}{3} \).

الإجابة: \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) و \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

السؤال 3 (الدوال المقلوبة): أوجد القيمة الدقيقة لـ \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) و \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \).

عرض الحل

الخطوة 1: حدد قيمتي الجيب وجيب التمام الأساسيتين. الزاوية \( \dfrac{11\pi}{6} \) تقع في الربع الرابع.

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{و} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

الخطوة 2: استخدم متطابقات المقلوب: \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) و \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \).

\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]
\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]

مواضيع حساب مثلثات ذات صلة

المزيد من موارد الرياضيات