المتطابقات المثلثية وتناظر دائرة الوحدة

اشتقاق الخصائص والبراهين باستخدام التناظر

كيف يمكنك استخدام دائرة الوحدة لإيجاد خصائص والمتطابقات المثلثية لدالتي الجيب وجيب التمام؟

تحتوي الدائرة على عدد لا نهائي من التناظرات. نحن مهتمون هنا على وجه التحديد بالتناظرات بالنسبة إلى محور السينات، ومحور الصادات، ونقطة الأصل، والمستقيم \( y = x \). يتيح لنا استخدام هذه التناظرات الهندسية استنتاج وكتابة العديد من المتطابقات الأساسية في حساب المثلثات بصرياً.

المتطابقات الناتجة عن التناظر حول نقطة الأصل ومحوري السينات والصادات

تظهر أدناه أربع زوايا \( \theta \)، و \( \pi - \theta \)، و \( \pi + \theta \)، و \( 2\pi - \theta \) على دائرة الوحدة. توافق كل زاوية نقطة (\( A, B, C \)، أو \( D \)) على الدائرة.

التناظر في دائرة الوحدة يظهر مستطيلاً مكوناً من 4 نقاط

الزوايا الأربع لها نفس زاوية الإسناد التي تساوي \( \theta \). نظراً لتناظر دائرة الوحدة، تشكل النقاط الأربع مستطيلاً \( ABCD \). بمعرفة الإحداثيات \( (a, b) \) للنقطة \( A \)، يمكننا إيجاد إحداثيات النقاط الأخرى من خلال الانعكاس:

المتطابقات المستنتجة

من النقطتين A و B (التناظر حول محور الصادات):

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]
\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]

من النقطتين A و C (التناظر حول نقطة الأصل):

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]
\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

من النقطتين A و D (التناظر حول محور السينات):

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]
\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \]

الزوايا السالبة (تناظر محور السينات)

تظهر أدناه زاويتان \( \theta \) و \( -\theta \)، توافقان النقطتين \( A \) و \( D \).

التناظر في دائرة الوحدة يظهر الزوايا الموجبة والسالبة

النقاط \( A \) و \( D \) انعكاسات لبعضهما البعض عبر محور السينات. كما لوحظ سابقاً، إحداثيارهما هما \( A(a,b) \) و \( D(a,-b) \). ينتج عن ذلك متطابقات الدوال "الزوجية/الفردية":

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]
\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]

المتطابقات الناتجة عن التناظر حول المستقيم \( y = x \)

النقاط \( A \) و \( B \) المعروضة أدناه هي انعكاسات لبعضها البعض عبر المستقيم القُطري \( y = x \). بسبب هذا التناظر، الزوايا المقابلة هي \( \theta \) و \( \dfrac{\pi}{2} - \theta \).

التناظر في دائرة الوحدة بالنسبة للمستقيم y = x

يؤدي الانعكاس عبر \( y = x \) إلى تبديل الإحداثيين x و y. إذا كانت \( A \) هي \( (a, b) \)، فإن \( B \) هي \( (b, a) \).

متطابقات المتممة (Cofunction Identities)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \]
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \]

التحقق الجبري للمتطابقات

يمكننا إثبات جميع التناظرات البصرية التي اكتشفناها للتو جبرياً باستخدام صيغ مجموع وفرق الزوايا القياسية:

1. التحقق من: \( \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \)
\[ \cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta \]

باستخدام \( \cos\pi = -1 \) و \( \sin\pi = 0 \):

\[ = (-1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]
2. التحقق من: \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \)
\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta \]

باستخدام \( \sin\pi = 0 \) و \( \cos\pi = -1 \):

\[ = (0)\cos\theta - (-1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]
3. التحقق من: \( \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \)
\[ \cos(\pi + \theta) = \cos\pi \cos\theta - \sin\pi \sin\theta \]
\[ = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]
4. التحقق من: \( \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \)
\[ \sin(\pi + \theta) = \sin\pi \cos\theta + \cos\pi \sin\theta \]
\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]
5. التحقق من: \( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \)
\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos\theta + \sin 2\pi \sin\theta \]

باستخدام \( \cos 2\pi = 1 \) و \( \sin 2\pi = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]
6. التحقق من: \( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \)
\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos\theta - \cos 2\pi \sin\theta \]
\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]
7. التحقق من: \( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

أعد الكتابة على صورة \( \cos(0 - \theta) \):

\[ \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos\theta + \sin 0 \sin\theta \]

باستخدام \( \cos 0 = 1 \) و \( \sin 0 = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]
8. التحقق من: \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

أعد الكتابة على صورة \( \sin(0 - \theta) \):

\[ \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos\theta - \cos 0 \sin\theta \]
\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]
9. التحقق من: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \)
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

باستخدام \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) و \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \):

\[ = (0)\cos\theta + (1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]
10. التحقق من: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \)
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]
\[ = (1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

مسائل تحدي

طبق فهمك للتناظر، والمتطابقات، وصيغ مجموع الزوايا لحل مسائل التحدي التالية.

التحدي 1 (تناظر الظل): باستخدام تناظرات الجيب وجيب التمام المستنتجة أعلاه، أثبت أن دالة الظل لها دورة تساوي \( \pi \). بمعنى آخر، أثبت أن \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \).

عرض البرهان

الخطوة 1: استخدم متطابقة القسمة لإعادة كتابة الظل بدلالة الجيب وجيب التمام.

\[ \tan(\pi + \theta) = \dfrac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} \]

الخطوة 2: عوض بتناظرات انعكاس نقطة الأصل (الربع الثالث).

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]
\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

الخطوة 3: بسط الكسر.

\[ \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\tan\theta} \]

التحدي 2 (تطبيق التناظرات): احسب القيمة الدقيقة للتعبير التالي بدون آلة حاسبة:

\[ \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \]

عرض الحل

الخطوة 1: بسط حد الجيب.
أوجد زاوية مشتركة لـ \( \dfrac{13\pi}{4} \) بطرح \( 2\pi \) (\( \dfrac{8\pi}{4} \)).
\( \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \).
هذه الزاوية تقع في الربع الثالث، ومرتبطة بـ \( \dfrac{\pi}{4} \). إذن، \( \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

الخطوة 2: بسط حد جيب التمام.
استخدم متطابقة الدالة الزوجية: \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).
\( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \).
هذه الزاوية تقع في الربع الثاني، ومرتبطة بـ \( \dfrac{\pi}{6} \). إذن، \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

الخطوة 3: اضرب القيمتين.

\[ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]

التحدي 3 (متطابقات المتممة المتقدمة): استخدم صيغ مجموع وفرق الزوايا للتحقق من متطابقة الانعكاس عبر محور الصادات السالب (الحد الفاصل بين الربع الثالث والرابع):

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta \]

عرض البرهان

الخطوة 1: انشر باستخدام صيغة فرق جيب التمام: \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \).

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \cos\theta + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \sin\theta \]

الخطوة 2: احسب القيم المثلثية عند \( \dfrac{3\pi}{2} \) (270 درجة).

نحن نعلم أنه في أسفل دائرة الوحدة، الإحداثيان هما \( (0, -1) \). إذن، \( \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \) و \( \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1 \).

الخطوة 3: عوض وبسط.

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

مواضيع حساب مثلثات ذات صلة

المزيد من موارد الرياضيات