مسائل وأسئلة الجبر مع الحلول - الصف الثاني عشر

نحن نعيد كتابة التعبيرات المعطاة لنفس الأس حتى نتمكن من مقارنة قواعدها بسهولة. للقيام بذلك، نستخدم قاعدة قوة القوة: \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \).

دعنا نععيد كتابة جميع التعبيرات بحيث يكون لها أس خارجي يساوي 100:

الآن بعد أن أصبحت الأسس متطابقة، نقوم بترتيبها من الأكبر إلى الأصغر ببساطة عن طريق مقارنة الأعداد الأساسية (81، 64، 25، 16، 8):

وفقاً لنظرية الجذور النسبية، فإن الأصفار النسبية الممكنة لكثير الحدود \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \) تُعطى بواسطة:

حدد المعامل الرئيسي والحد الثابت من كثير الحدود المعطى:

المعامل الرئيسي هو \( 1 \)، وعواملها هي: \( \pm 1 \)

الحد الثابت هو \( 6 \)، وعواملها هي: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)

لذلك، قسمة عوامل الحد الثابت على عوامل المعامل الرئيسي يعطي الأصفار النسبية الممكنة:

باختبار الأصفار النسبية، باستخدام التعويض المباشر والحسابات لمعرفة أي منها يساوي 0:

بما أن هذه القيم تحقق \( P(x) = 0 \)، فهي أصفار \( P(x) \). يحتوي كثير الحدود \( P(x) \) على الأصفار النسبية التالية:

وبالتالي، يمكن تحليل كثير الحدود تماماً باستخدام هذه الجذور بالشكل \( (x - \text{الجذر}) \):

نحن نحلل تقاطعات محور السينات (الأصفار) على الرسم البياني لتحديد العوامل وتعدداتها. إذا كان الرسم البياني يمس المحور ويدور، فهذا يعني أن له تعددًا زوجيًا. إذا مر بشكل مستقيم، فهذا يعني أن له تعددًا فرديًا.

• من الرسم البياني، عند \( x = -3 \)، يمس المنحنى محور السينات ويدور. هذا يعني أن \( x = -3 \) هو صفر بتعدد 2. هذا يعطينا العامل \( (x + 3)^2 \).
• عند \( x = 0 \)، يعبر المنحنى مباشرة عبر المحور. هذا يعني أن \( x = 0 \) هو صفر بتعدد 1. هذا يعطينا العامل \( x \).
• عند \( x = 2 \)، يمس المنحنى محور السينات ويدور مرة أخرى. هذا يعني أن \( x = 2 \) هو صفر بتعدد 2. هذا يعطينا العامل \( (x - 2)^2 \).

بجمع التعددات (\( 2 + 1 + 2 \))، يكون لكثير الحدود أقل درجة ممكنة تساوي 5.

بعد ذلك، نحدد إشارة المعامل الرئيسي من خلال النظر إلى سلوك النهاية. الرسم البياني يتناقص على اليمين ويزداد على اليسار. يجب أن يكون لكثير الحدود ذي الدرجة الفردية مع هذا السلوك معامل رئيسي سالب.

قيل لنا إن القيمة المطلقة للمعامل الرئيسي هي 1، لذلك يجب أن يكون المعامل الرئيسي مساوياً لـ \( -1 \) تماماً.

بجمع المعامل الرئيسي والعوامل، يُعطى \( P(x) \) بواسطة:

وفقاً لنظرية الجذور المرافقة المركبة، بما أن معاملات كثير الحدود \( P(x) \) هي أعداد حقيقية، فإن أي جذور مركبة يجب أن تظهر في أزواج مترافقة. هكذا، إذا كان \( 2 - i \) صفراً، فإن \( 2 + i \) هو أيضاً صفر لـ \( P(x) \).

بعد ذلك، نجد العامل التربيعي المقابل لهذين الجذرين المركبين بضربهما معاً:

فك هذا التعبير يصبح أسهل إذا قمنا بإعادة تجميعه لتشكيل فرق بين مربعين:

تذكر أن مربع الوحدة التخيلية يساوي \( -1 \) (أي \( i^2 = -1 \)). عوض بهذا في المعادلة:

الآن قم بفك المربع الكامل:

بما أن \( P(x) \) يقبل القسمة على هذا العامل التربيعي \( x^2 - 4x + 5 \)، فإننا نقوم بقسمة مطولة لكثيرات الحدود لإيجاد العوامل المتبقية:

بالقسمة، نحصل على باقي يساوي 0 وخارج قسمة يساوي \( x^2 - 2 \). يمكن تحليل خارج القسمة هذا بشكل إضافي كفرق بين مربعين:

مساواة هذه العوامل بالصفر تعطينا الجذور المتبقية. وبالتالي، فإن المجموعة الكاملة لأصفار \( P(x) \) هي:

نحن نستخدم صيغة الرأس للدالة التربيعية، مما يجعل من السهل إدخال إحداثيات الرأس مباشرة:

عوض بإحداثيات الرأس المعطاة \( (h, k) = (-2,1) \) في المعادلة:

الآن، استخدم النقطة المعطاة \( (0, -3) \) لحل المعامل المجهول \( a \). عوض بـ \( x = 0 \) و \( f(0) = -3 \):

بسط الحد المربع:

اطرح 1 من الطرفين وحل من أجل \( a \):

بالتعويض بـ \( a = -1 \) مرة أخرى في صيغة الرأس نحصل على معادلتنا الكاملة:

لإيجاد قيم \( a \)، و \( b \)، و \( c \)، يجب علينا فك هذه المعادلة إلى الصورة القياسية \( ax^2 + bx + c \):

وزع الإشارة السالبة:

اجمع الحدود الثابتة:

بمقارنة هذا مع الصورة التربيعية القياسية \( f(x) = ax^2 + bx + c \)، نجد:

الطريقة الأولى: التعويض الجبري

الصورة القياسية للدالة التربيعية هي:

بما أن \( f(1) = 3 \)، نعوض بـ \( x = 1 \) لإنشاء معادلتنا الأولى:

بما أن \( f(5) = 3 \)، نعوض بـ \( x = 5 \) لإنشاء معادلتنا الثانية:

طرح المعادلة (ب) من المعادلة (ج) يتيح لنا حذف المتغير \( c \):

بالقسمة على 4 للتبسيط: \( 6a + b = 0 \)، مما يعني أن \( b = -6a \).

الإحداثي السيني لرأس أي قطع مكافئ يُعطى بواسطة الصيغة \( \dfrac{-b}{2a} \). بالتعويض بـ \( -6a \) مكان \( b \):

---

لاحظ أنه يمكن حل هذه المسألة بشكل أسرع بكثير باستخدام الهندسة على النحو التالي:

بما أن \( f(x) \) دالة تربيعية بحيث \( f(1) = 3 \) و \( f(5) = 3 \)، فإن النقطتين \( (1, 3) \) و \( (5, 3) \) تقعان على القطع المكافئ. نظراً لامتلاكهما نفس الإحداثي الصادي (3) تماماً، فهما يمثلان نقطتين متماثلتين أفقياً على الرسم البياني.

بما أن الدالة تربيعية، فإن الإحداثي السيني للرأس يقع تماماً في منتصف أي نقطتين متماثلتين. لذلك، فهو يساوي الإحداثي السيني لمنتصف هاتين النقطتين.

احسب الإحداثي السيني لمنتصف المسافة:

الإحداثي السيني \( x \) لرأس الرسم البياني للدالة \( f(x) \) هو 3.

الخط التقاربي المائل (أو المنحني) لدالة كسرية هو خارج القسمة الناتج عن القسمة المطولة لكثير الحدود للبسط على المقام.

دعنا نقوم بالقسمة المطولة لـ \( a x^4 + b x^3 + 3 \) على \( x^3 - 2 \):

1. اقسم الحد الرئيسي \( ax^4 \) على \( x^3 \)، وهو ما يعطي \( ax \). هذا هو الحد الأول لخارج القسمة.

2. اضرب \( ax \) في المقام بأكمله \( (x^3 - 2) \)، وهو ما ينتج \( ax^4 - 2ax \).

3. اطرح هذا من البسط: \( (ax^4 + bx^3 + 3) - (ax^4 - 2ax) = bx^3 + 2ax + 3 \).

4. الآن، اقسم الحد الرئيسي الجديد \( bx^3 \) على \( x^3 \)، وهو ما يعطي \( b \). هذا هو الحد الثاني لخارج القسمة.

باستخدام القسمة المطولة، نحصل على التعبير الكامل:

خارج القسمة \( ax + b \) هو الخط التقاربي المائل. لقد أعطينا أن الخط التقاربي المائل يجب أن يساوي المستقيم \( 2x - 3 \).

لذلك، نجعلهما متساويين:

بما أن كثيري حدود يكونان متساويين إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المتناظرة متساوية، فإننا نقارن الحدود ونحصل على:

بالنظر إلى المعادلة:

أولاً، بسّط الطرف الأيمن من المعادلة المعطاة. بما أنه يمكن كتابة 8 على صورة \( 2^3 \)، فإن اللوغاريتم يتبسط بسهولة:

أعد كتابة المعادلة الأصلية مع تعويض هذه القيمة الجديدة:

لحل من أجل \( x \)، يمكننا إعادة كتابة العدد 3 باستخدام لوغاريتم أساسه 9 بحيث يتطابق الطرفان، باستخدام القاعدة \( c = \log_b(b^c) \):

بما أن الأساسين اللوغاريتميين في الطرفين متطابقان، يمكننا حذف اللوغاريتمات وكتابة المعادلة الجبرية للمدخلات (الوسائط):

خذ الجذر التكعيبي للطرفين لحل من أجل \( x \):

بالنظر إلى المعادلة اللوغاريتمية الأولية:

لإنشاء علاقة جبرية بين \( x \) و \( y \)، أعد كتابة المعادلة من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية (\( \text{الأساس}^{\text{الناتج}} = \text{المدخل} \)):

التعبير المستهدف الذي نريد تقييمه هو \( \log_y(x^4) \)، والذي يحتوي على \( x^4 \). نحتاج إلى معالجة معادلتنا الأسية لإنشاء \( x^4 \). ربع طرفي المعادلة:

بَسّط باستخدام قاعدة قوة القوة:

الآن، عوض بهذه القيمة لـ \( x^4 \) مرة أخرى في التعبير المستهدف الذي نريد تقييمه. خذ لوغاريتم الأساس \( y \) للطرفين وبسّط:

باستخدام خاصية اللوغاريتمات \( \log_b(b^k) = k \)، يتم تقييم التعبير إلى:

بالنظر إلى المعادلة اللوغاريتمية:

لحل من أجل الأساس \( x \)، أعد كتابة المعادلة من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية (\( \text{الأساس}^{\text{الناتج}} = \text{المدخل} \)):

لعزل \( x \)، نقوم بعكس القوة التكعيبية بأخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة:

يمكننا تبسيط التعبير داخل الجذر. بما أن 8 مكعب كامل (\( 8 = 2^3 \))، فإننا نعوض به ونجمع الحدود:

الجذر التكعيبي والقوة التكعيبية يلغي كل منهما الآخر، مما يترك الإجابة النهائية:

بالنظر إلى المعادلة الأسية:

أولاً، استخدم قواعد الأسس لفصل وإعادة كتابة الحدود بحيث تشترك في أساس مشترك وهو 4. نحن نعلم أن \( 16 = 4^2 \):

للحد الثاني، استخدم القاعدة \( a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n} \) والتعويض من الأعلى:

عوض بهذه الحدود المبسطة مرة أخرى في المعادلة المعطاة:

أخرج العامل المشترك \( 4^{2x} \) لعزله. \( 4^{2x}(1 + \dfrac{1}{16}) = 10 \)، والتي تصبح \( 4^{2x}(\dfrac{17}{16}) = 10 \). اضرب كلا الطرفين في \( \dfrac{16}{17} \) لحل من أجل \( 4^{2x} \):

لتقليل الأساس من 4 إلى 2، خذ الجذر التربيعي الموجب لكلا طرفي المعادلة السابقة (الدوال الأسية موجبة دائماً):

ومن ثم، بما أن \( 4^x \) يكافئ رياضياً \( 2^{2x} \) (لأن \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \))، فلدينا إجابتنا:

ملاحظة: يمكن أيضاً حل هذه المسألة بدءاً بالتحويل المباشر إلى الأساس 2.

عوض بـ \( 16^x = (2^4)^x = 2^{4 x} \) مباشرة في المعادلة واتبع خطوات التحليل المشابهة للحل المعطى أعلاه.

بالنظر إلى المعادلة الأولى:

لأننا نريد إيجاد مجموع الحدود المرفوعة للقوة 4، يجب علينا تربيع طرفي المعادلة المعطاة لتوليد تلك الأسس الأعلى:

فك الطرف الأيمن باستخدام قاعدة مربع ذات الحدين \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \):

إعادة ترتيب الحدود، نحصل على تعبير يحتوي على هدفنا المنشود \( a^4 + b^4 \):

الآن نستخدم المعلومة الثانية المعطاة:

ربع طرفي المعادلة السابقة لكي تتطابق مع الحد الأوسط لتعبيرنا المفكوك:

عوض بهذه القيمة وهي \( 4 \) مكان \( a^2b^2 \) في المعادلة (I):

اضرب للتبسيط:

أضف 8 إلى الطرفين لإيجاد القيمة النهائية. ومن ثم:

لإيجاد القيمتين الصغرى والعظمى لدالة مثلثية معقدة، نبنيها من الداخل إلى الخارج. نحن نعلم أن المدى الأساسي لدالة الجيب الأساسية يكون دائماً بين -1 و 1، بغض النظر عن مدخلاتها الداخلية:

اضرب جميع حدود المتباينة المزدوجة في معامل السعة 2:

أضف الإزاحة الرأسية البالغة -5 إلى جميع حدود المتباينة:

بسط الحدود:

الآن، غير المتباينة أعلاه بتطبيق عملية القيمة المطلقة. نظراً لأن التعبير بأكمله داخل أقواس القيمة المطلقة يقع حصرياً في الأعداد السالبة (من -7 إلى -3)، فإن أخذ القيمة المطلقة يعكس الإشارات إلى موجبة ويعكس الترتيب العددي للحدود:

أخيراً، أضف الثابت الخارجي 3 إلى جميع حدود المتباينة المزدوجة لإكمال الدالة \( f(x) \):

بسط الحدود للكشف عن المدى النهائي:

لذلك، القيمة العظمى للدالة \( f(x) \) تساوي 10 والقيمة الصغرى للدالة \( f(x) \) تساوي 6.

عند تبسيط القيم المطلقة المتداخلة، نعمل من الداخل إلى الخارج. نستخدم شرط المجال المعطى لتحديد إشارة التعبير داخل الأقواس. إذا كان التعبير سالباً، فنحن نضربه في -1 لتقييم القيمة المطلقة.

أعطينا الشرط: إذا كان \( x \lt -7 \)، فعند إضافة 4 إلى الطرفين، نعلم أن:

أضف 3 إلى المتباينة السابقة وبسّط لتحديد إشارة التعبير الداخلي \( (3 + x) \):

بما أن \( (3+x) \) أقل قطعا من الصفر، وفقاً لتعريف القيمة المطلقة، يجب أن نضربه في -1 لإزالة الأقواس:

عوض بهذا مرة أخرى. يتبسط التعبير المعطى إلى:

الآن نقيم القيمة المطلقة الخارجية \( |x + 7| \). نعود إلى شرطنا الأصلي \( x \lt -7 \). إضافة 7 إلى الطرفين يكشف أن:

بما أن التعبير الجديد سالب تماماً أيضاً، نضرب مرة أخرى في -1 لتقييم القيمة المطلقة:

وبالتالي، فإن التعبير المبسط بالكامل هو:

لا يتم حساب متوسط السرعة بمجرد أخذ متوسط سرعتين معاً؛ بل يجب حسابها باستخدام الصيغة: المسافة الكلية مقسومة على الزمن الكلي. يجب أن نضع تعبيرات للمسافة والزمن.

ليكن \( d \) هي المسافة بين \( A \) و \( B \). الزمن المستغرق لقطع المرحلة الأولى من A إلى B يحسب بقسمة المسافة على السرعة:

حيث 50 كم/ساعة هي متوسط السرعة من \( A \) إلى \( B \).

ليكن متوسط السرعة المجهول لرحلة العودة (من \( B \) إلى \( A \)) هو \( v \). الزمن المستغرق لرحلة العودة هو:

الزمن الكلي للرحلة الذهاب والعودة هو مجموع الزمنين:

المسافة الكلية المقطوعة (ذهاباً وإياباً) هي ببساطة ضعف المسافة:

متوسط السرعة للرحلة بأكملها يُعطى بالمسافة الكلية مقسومة على الزمن الكلي. اجعل هذه الصيغة مساوية لمتوسط سرعتنا المستهدف البالغ 60 كم/ساعة:

عوض بالتعبيرات التي بنيناها في الصيغة:

لاحظ أن المسافة \( d \) موجودة في كل حد. احذف \( d \) من كل من البسط والمقام عن طريق القسمة عليها:

للتخلص من الكسر، اضرب الطرفين في تعبير المقام \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \):

وزع الـ 60 لتبسيط الحدود داخل الأقواس:

اطرح 1.2 من الطرفين لعزل الحد الذي يحتوي على المتغير:

حل من أجل \( v \) بالضرب في \( v \) والقسمة على 0.8:

وبالتالي، يجب أن يكون متوسط السرعة لرحلة العودة من \( B \) إلى \( A \) هو 75 كم/ساعة لكي يكون متوسط السرعة 60 كم/ساعة للرحلة بأكملها.

بالنظر إلى المعادلة غير الخطية، يمكننا استخدام المتطابقة الجبرية لفرق المربعين لتحليلها إلى ثنائيات حدود أبسط:

أعطينا معادلة ثانية: \( x + y = 6 \). عوض بالتعبير \( (x + y) \) في معادلتنا المحللة بالعدد 6:

اقسم الطرفين على 6 لحل من أجل \( x - y \):

لدينا الآن نظام معادلات خطي بسيط لحله باستخدام الحذف أو التعويض:

اجمع المعادلتين معاً عمودياً لحذف المتغير \( y \): \( (x+x) + (y-y) = -2 + 6 \)، وهو ما يعطي \( 2x = 4 \)، مما يعني أن \( x = 2 \).

عوض بـ \( x = 2 \) مرة أخرى في المعادلة الثانية: \( 2 + y = 6 \)، وهو ما يعطي \( y = 4 \).

حل النظام أعلاه يعطي الإجابة النهائية:

بالنظر إلى المعادلة الدالية:

لتقييم قيمة معينة مثل \( f(2) \)، نحتاج إلى تعويض قيم استراتيجية لـ \( x \) لبناء نظام معادلات قابل للحل. أولاً، عوض بـ \( x = 2 \) في المعادلة المعطاة:

هذا ينشئ معادلة بمجهول جديد، \( f(6) \). لإيجاد طريقة لحذفه، عوض بـ \( x = 6 \) في المعادلة الأصلية المعطاة:

لدينا الآن نظام من معادلتين. يمكننا حل المعادلة (ب) لعزل \( f(6) \):

عوض بهذا التعبير عن \( f(6) \) مرة أخرى في المعادلة (أ):

فك التعبير بتوزيع الـ 3 واجمع الحدود المتشابهة:

اطرح 18 من الطرفين وحل من أجل \( f(2) \):

بالنظر إلى المعادلة الدالية التكرارية:

يجب أن نستخدم القيمة المعروفة \( f(0) = 2 \) كنقطة انطلاق لإيجاد \( f(3) \). نحتاج إلى تحديد القيم لـ \( x \) التي ستنتج تقييمات الدالة التي نحتاجها.

لإيجاد الخطوة التالية في السلسلة من \( x=0 \)، دع \( x = 0 \) في المعادلة (أ):

عوض بالقيمة المعروفة \( f(0) = 2 \) في المعادلة:

الآن نحن نعلم أن \( f(1) = 5 \). نريد إيجاد \( f(3) \). نحتاج المدخل الداخلي للطرف الأيمن، \( (2x+1) \)، ليساوي 3. يحدث هذا عندما يكون \( x = 1 \). دع \( x = 1 \) في المعادلة (أ):

عوض بقيمتنا المحسوبة حديثاً \( f(1) = 5 \) في المعادلة (ب) للحصول على الإجابة النهائية:

دعنا نجد نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم بحل نظام المعادلتين المعطاتين. المستقيم المماس للدائرة يتقاطع معها عند نقطة واحدة بالضبط، مما يعني أن النظام الناتج يجب أن يكون له حل واحد بالضبط.

عوض بتعبير \( y \)، وهو \( 2 x + b \)، في معادلة الدائرة:

فك ثنائي الحدود المربع وبسّط المعادلة بجمع الحدود المتشابهة:

عدد نقاط التقاطع يُعطى بعدد حلول المعادلة التربيعية أعلاه. يكون المستقيم والدائرة متماسين إذا كانت المعادلة التربيعية أعلاه لها حل واحد فقط. المعادلة التربيعية لها حل واحد تماماً عندما يكون مميزها (\( \Delta = B^2 - 4AC \)) مساوياً لصفر.

جد المميز \( \Delta \) كدالة في \( b \)، باستخدام \( A=5 \)، و \( B=4b \)، و \( C=(b^2 - 4) \):

اجعل المميز مساوياً لصفر وحل من أجل \( b \):

خذ الجذر التربيعي للطرفين. حل من أجل \( b \) للحصول على حلين:

ليكن كثير حدود البسط \( P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \) وكثير حدود المقسوم عليه \( D(x) = x^2 - 3x + 2 \).

قسمة كثيري الحدود يمكن كتابتها جبرياً على النحو التالي:

حيث \( Q(x) \) هو خارج القسمة و \( r(x) \) هو الباقي. بحسب تعريف قسمة كثيرات الحدود، سيكون الباقي ذو درجة تساوي الواحد أو أقل لأن المقسوم عليه \( D(x) \) له درجة 2. وبالتالي، يمكننا التعبير عن الباقي كمعادلة خطية \( r(x) = ax + b \).

نحتاج الآن إلى إيجاد قيمتي \( a \) و \( b \) اللتان تحددان الباقي.

لاحظ أنه يمكن تحليل \( D(x) \) إلى ثنائيات حدود على النحو التالي:

ومن ثم، نعوض بالمقسوم عليه المحلل والباقي الخطي في معادلة القسمة:

باستخدام أصفار \( D(x) \) (وهما 1 و 2)، يمكننا تقييم \( P(x) \). نظراً لأن تعويض صفر المقسوم عليه سيجعل حد خارج القسمة بأكمله مضروباً في الصفر، فإنه يعزل حدود الباقي الخاصة بنا. أولاً، نكتب المعادلة لـ \( x=1 \):

هذا يتبسط إلى:

وبالمثل، نكتب المعادلة لـ \( x=2 \):

هذا يتبسط إلى:

الآن نحتاج إلى تقييم \( P(1) \) و \( P(2) \) باستخدام معادلة كثير الحدود الأصلية.

عوض بـ \( x=1 \) في \( P(x) \):

التالي، نعيد كتابة \( P(x) \) بتحليله قليلاً لجعل تقييم الأعداد الكبيرة أسهل:

ومن ثم، نحسب \( P(2) \) بالتعويض بـ \( x=2 \):

لدينا الآن نظام معادلات خطي لحله من أجل \( a \) و \( b \):

من المعادلة الأولى، نعلم أن \( b = -a \). عوض بهذا في المعادلة الثانية: \( 2a - a = 2^{99} - 1 \implies a = 2^{99} - 1 \).

حل النظام، نحصل على:

وبالتالي، بالتعويض بـ \( a \) و \( b \) مرة أخرى في \( r(x) = ax+b \)، يكون الباقي:

يمكننا حل هذا الجذر المتداخل بجعل التعبير غير المنتهي بأكمله مساوياً لمتغير.

ليكن \( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \).

ربع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر التربيعي الخارجي:

بما أن متسلسلة الجذور التربيعية غير منتهية، فإن التعبير الموجود أسفل الجذر الأول يطابق تعريفنا الأصلي للمتغير \( y \). لذلك، يمكننا التعويض بـ \( y \) في الطرف الأيمن من المعادلة. يمكننا كتابة:

هذه معادلة تربيعية قياسية. أعد ترتيبها لتصبح مساوية للصفر حتى نتمكن من حلها. اضرب في 3 لإزالة الكسور، مما ينتج \( 3y^2 = 1 + 3y \)، والتي تصبح:

استخدم الصيغة التربيعية (\( y = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)) لحل المعادلة التربيعية السابقة للحصول على:

بما أن التعبير الأصلي هو جذر تربيعي رئيسي، يجب أن تقيّم \( y \) إلى عدد موجب. الخيار الثاني ينتج نتيجة سالبة لأن \( \sqrt{21} > 3 \). بما أن \( y \) موجب، فالإجابة هي الجذر الموجب:

يمكننا تحديد قابلية حل النظام باستخراج مصفوفاته وتقييم محدداتها. مصفوفة المعاملات \( A \)، المكونة من مضاعفات المتغيرات، هي:

مصفوفة الثوابت \( b \)، المكونة من القيم الموجودة على الجانب الأيمن من علامة التساوي، هي:

تُعطي قاعدة كرامر الحل لكل متغير بدلالة محددات المصفوفات المشتقة من مصفوفة المعاملات \( A \) والمعدلة باستبدال الأعمدة بثوابت الطرف الأيمن. إذا كان محدد \( A \) يساوي صفرًا، ولكن المحدد المعدل لا يساوي صفرًا، فلن يكون للنظام حل.

لإيجاد \( x \)، استبدل العمود الأول من \( A \) بمتجه الثوابت \( b \):

ثم، يتم إيجاد الحل لـ \( x \) بالكسر: \( x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \)

لإيجاد \( y \)، استبدل العمود الثاني من \( A \) بمتجه الثوابت \( b \):

لإيجاد \( z \)، استبدل العمود الثالث من \( A \) بمتجه الثوابت \( b \):

الآن، نحتاج إلى حساب محددات المصفوفات \( A \) و \( A_x \). أولاً، قيّم المصفوفة \( A \):

باستخدام نشر العامل المرافق على طول الصف الأول (ضرب كل عنصر في الصف العلوي في محدد المصفوفة 2 في 2 المتبقية عند شطب صفها وعمودها):

حساب محددات 2 في 2 باستخدام الصيغة \( (ad - bc) \):

عوض بهذه القيم المحسوبة مرة أخرى في صيغة المحدد الرئيسية:

لذا، فقد أثبتنا أن \text{det}(A) = 0. هذا يعني أن النظام ليس له حل فريد. الآن نتحقق من محدد المصفوفة المعدلة \( A_x \):

نحسب هذا باستخدام نشر العامل المرافق على طول الصف الأول بنفس الطريقة تماماً:

حساب محددات 2 في 2:

بالتعويض بهذه القيم في صيغة النشر:

لا داعي لمواصلة حساب \( A_y \) أو \( A_z \). نظراً لأن قاعدة كرامر تتطلب القسمة على \( \text{det}(A) \)، فإن تقييم \( x \) سيؤدي إلى \( \dfrac{220}{0} \)، وهو غير معرف. إذا كان أحد محددات \( A_x \) أو \( A_y \) أو \( A_z \) غير صفري بينما المحدد الرئيسي يساوي صفراً، فإن نظام المعادلات يكون غير متسق وله ليس له حل.

لجمع وإضافة اللوغاريتمات، يجب أن تشترك في نفس الأساس تماماً. يمكننا استخدام صيغة تغيير الأساس، \( \log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \)، لتحويل جميع اللوغاريتمات في المعادلة إلى الأساس 2.

أولاً، حول حد الأساس-4. نحن نعلم أن \( \log_2(4) = 2 \):

التالي، حول حد الأساس-16. نحن نعلم أن \( \log_2(16) = 4 \):

الآن عوض بهذه الحدود المتحولة مرة أخرى في المعادلة الأصلية:

بما أن جميع الحدود تشترك الآن في المتغير \( \log_2(x) \)، يمكننا إخراجه كعامل مشترك:

جد مقاماً مشتركاً (وهو 4) لجمع الكسور داخل الأقواس:

اضرب الطرفين في المقلوب \( \dfrac{4}{7} \) لعزل اللوغاريتم:

أخيراً، أعد كتابة المعادلة من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية (\( \text{الأساس}^{\text{الناتج}} = \text{المدخل} \)) لحل من أجل \( x \):

يبدو هذا النظام مخيفاً، ولكن يمكننا استخدام المتطابقة الجبرية القياسية لمجموع مكعبين لتحليل المعادلة الأولى وتبسيط النظام:

عوض بالقيم المعروفة من المعادلتين الأصليتين في هذه المتطابقة. نحن نعلم أن مكعبي العددين مجموعهما 35، والمتغيرين الأساسيين مجموعهما 5:

اقسم الطرفين على 5 لعزل التعبير التربيعي:

نحتاج إلى معادلة أخرى لنقارن هذه بها. لننظر إلى التعبير \( (x+y)^2 \). إذا أخذنا المعادلة الثانية المعطاة \( (x+y = 5) \) وربعنا الطرفين، نحصل على:

فك ثنائي الحدود المربع الكامل:

يمكننا الآن طرح المعادلة (أ) من المعادلة (ب) لحذف الحدود المربعة وعزل \( xy \):

اقسم على 3:

لقد بسطنا النظام التكعيبي المعقد إلى لغز أبسط بكثير: نحن نبحث عن عددين مجموعهما 5 (\( x+y=5 \)) وحاصل ضربهما 6 (\( xy=6 \)). هندسياً، هذان هما جذرا معادلة تربيعية على الصورة \( t^2 - (\text{المجموع})t + (\text{الضرب}) = 0 \).

تحليل المعادلة التربيعية ينتج \( (t-2)(t-3) = 0 \)، مما يعني أن العددين يجب أن يكونا 2 و 3.

بما أن نظام المعادلات الأصلي متماثل تماماً لـ \( x \) و \( y \)، يمكن لأي من المتغيرين أن يأخذ أي قيمة. الحلول هي أزواج الإحداثيات:

لحل المتباينة الكسرية، يجب علينا أولاً إيجاد جميع النقاط الحرجة بتحليل كل من البسط والمقام تماماً.

كل من تعبيري الأعلى والأسفل هما فرق بين مربعين. دعنا نحللهما:

تحدث النقاط الحرجة حيث يكون البسط صفراً (يمثل نقاط التقاطع مع محور السينات) وحيث يكون المقام صفراً (يمثل خطوط التقارب الرأسية حيث تكون الدالة غير معرّفة).

• أصفار البسط: \( x = 3, x = -3 \). نظراً لأن المتباينة هي "أقل من أو يساوي" (\( \leq \))، يُسمح للدالة بأن تساوي الصفر. لذلك، سيتم تضمين هذه النقاط في حلنا النهائي (باستخدام أقواس مغلقة).
• أصفار المقام: \( x = 2, x = -2 \). نظراً لأن القسمة على الصفر غير معرفة رياضياً، لا يمكن أن توجد الدالة أبداً عند هذه النقاط. لذلك، لن يتم تضمين هذه النقاط أبداً في حلنا النهائي (باستخدام أقواس مفتوحة).

نضع هذه النقاط الحرجة الأربع على خط الأعداد بترتيب تصاعدي: -3، -2، 2، 3. هذا يقسم خط الأعداد إلى خمس فترات منفصلة. يجب علينا اختبار قيمة عشوائية داخل كل فترة لمعرفة ما إذا كان التعبير الكسري الإجمالي يقيم إلى عدد موجب أو سالب:

• الفترة \( (-\infty, -3) \): اختبر \( x = -4 \). إشارات الحدود المحللة هي \( \dfrac{(-)(-)}{(-)(-)} \). عدد سالب مقسوم على عدد سالب يعطي موجباً.
• الفترة \( (-3, -2) \): اختبر \( x = -2.5 \). الإشارات هي \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(-)} \). عدد سالب مقسوم على عدد موجب يعطي سالباً.
• الفترة \( (-2, 2) \): اختبر \( x = 0 \). الإشارات هي \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(+)} \). عدد سالب مقسوم على عدد سالب يعطي موجباً.
• الفترة \( (2, 3) \): اختبر \( x = 2.5 \). الإشارات هي \( \dfrac{(-)(+)}{(+)(+)} \). عدد سالب مقسوم على عدد موجب يعطي سالباً.
• الفترة \( (3, \infty) \): اختبر \( x = 4 \). الإشارات هي \( \dfrac{(+)(+)}{(+)(+)} \). عدد موجب مقسوم على عدد موجب يعطي موجباً.

تطلب منا المتباينة إيجاد المكان الذي يكون فيه التعبير أقل من أو يساوي صفر، مما يعني أننا نريد الفترات السالبة. هذه هي الفترات بين -3 و -2، وبين 2 و 3.

بتطبيق قواعد التضمين الخاصة بنا (أقواس مغلقة لجذور البسط، أقواس مفتوحة لجذور المقام غير المعرفة)، نكتب صيغة الفترة النهائية: