قواعد تفاضل الاحتساب (Calculus)

تعرّف على قواعد تفاضل الاحتساب الأساسية مثل قاعدة الجمع والطرح، قاعدة الضرب، قاعدة الدالة المركبة، قاعدة النسبة وغيرها، بالإضافة إلى القواعد الأخرى المهمة. اكتشف القواعد باللغة العربية واستخدمها في تفاضل وتكامل الدوال بسهولة. توفر هذه الصفحة أيضًا أمثلة وشروحات مفصلة لكل قاعدة بالإضافة إلى صيغ لاتكس للتعبير عن القواعد بشكل رياضي. استفد من المعرفة وقم بتنفيذ التفاضل والتكامل في موقع الويب الخاص بك بثقة وسهولة.

1. قاعدة الجمع

   \[ (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) \]

   مثال

   \[ f(x) = 3x^2 + 2x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = (3x^2)' + (2x)' = 6x + 2 \]
   

2. قاعدةالطرح

   \[ (f - g)'(x) = f'(x) - g'(x) \]

   مثال

   
   \[ f(x) = 5x^3 - x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = (5x^3)' - (x^2)' = 15x^2 - 2x \]
   

3. قاعدة الضرب

   \[ (f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

   مثال

   \[ f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = (x^2)' \cdot \sin(x) + x^2 \cdot (\sin(x))' = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \]
   

4. قاعدة النسبة

   \[ \left(\dfrac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} \]

   مثال

   \[ f(x) = \frac{x}{\sin(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{(x)' \cdot \sin(x) - x \cdot (\sin(x))'}{(\sin(x))^2} = \frac{\sin(x) - x \cdot \cos(x)}{(\sin(x))^2} \]
   

5. قاعدة القوة

   \[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1}(x) \]

   مثال

   
   \[ f(x) = x^8 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \cdot (x^8)' = 8x^7 \]
   

6. قاعدة الدالة المركبة (Chain Rule)

   قاعدة القوة إذا كانت \( y = f(g(x)) \)، فإن التفاضل يكون كالتالي: \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \; , \; u = g(x)\]

   مثال

   \[ f(x) = e^{3x^2} \] اكتب \( y = e^u \) و \( u = 3x^2 \)
   لذلك \( \dfrac{dy}{du} = e^u \) و \( \dfrac{du}{dx} = 6 x \)
   نكتب الآن \[ \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} = e^u \; 6x = 6x \; e^{3x^2} \]
   

7. قاعدة الدالة العكسية

   لنفترض أن \(f(x) \) دالة ذات دالة عكسية \(f^{- 1}(x) \). إذا كان \( f'(x) \) يمثل مشتق \( f(x) \) و \( (f^{-1})'(x) \) يمثل مشتق \(f^{- 1}( x) \) ، ثم يتم إعطاء مشتق الدالة العكسية بواسطة: \[ (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]

   مثال

   دع \(f (x) = \sin (x) \) و \(f^{- 1} (x) = \sin^{- 1} (x) \) معكوسها.
   لذلك \(f'(x) = \cos (x) \)
   استخدم الصيغة أعلاه للكتابة \[ \quad (\sin^{-1})'(x) = \frac{1}{\cos(\sin^{-1}(x))} \] استخدم الصيغة \(\cos (\sin ^ {- 1} (x)) = \sqrt {1 - x ^ 2} \) للكتابة \[ \quad (\sin^{-1})'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
   

8. قاعدة الدالة اللوغاريتمية

   \[ (\log_a(x))' = \dfrac{1}{x \cdot \ln(a)} \]

   مثال

   \[ (\log_3(x))' = \dfrac{1}{x \; \ln 3} \]
   

9. قاعدة الدالة الأسية

   \[ (a^x)' = a^x \cdot \ln(a) \]

   مثال

   \[ (7^x)' = 7^x \; \ln 7 \]