إتقان رياضيات الصف الثاني عشر: مسائل هندسة الدائرة وحساب المثلثات

تدريب متقدم مع القطاعات، والأقواس، والإحداثيات الدائرية

مرحباً بك في هذه المجموعة الشاملة من مسائل حساب المثلثات لـ القطاعات والدائرة المصممة لطلاب رياضيات الصف الثاني عشر. تركز كل مسألة على مفاهيم أساسية لما قبل التفاضل والتكامل مثل طول القوس، والزوايا المركزية، واشتقاق إحداثيات النقاط على الدائرة، والتطبيق العملي للدوال المثلثية. يتم توفير حلول مفصلة خطوة بخطوة لضمان استيعابك التام لمنهجية كل إجابة.

الإحداثيات والزوايا في الوضع القياسي

عند حل المسائل أدناه، سنعتمد بشكل كبير على تعريفات الدوال المثلثية للزاوية \( \theta \). يتم تعريف هذه الدوال بدلالة إحداثيات نقطة \( P(x , y) \) تقع على الضلع النهائي للزاوية \( \theta \) على دائرة نصف قطرها \( R \).

\[ \cos(\theta) = \dfrac{x}{R} \quad \implies \quad x = R \cos(\theta) \]
\[ \sin(\theta) = \dfrac{y}{R} \quad \implies \quad y = R \sin(\theta) \]
\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} \quad , \quad R = \sqrt{x^2 + y^2} \]

سنستخدم أيضاً العلاقة الأساسية بين طول القوس \( S \)، ونصف القطر \( R \)، والزاوية المركزية \( \theta \). مهم: يجب أن تكون الزاوية \( \theta \) بالراديان لاستخدام هذه الصيغة مباشرة!

\[ S = R \theta \]
الإحداثيات والزوايا في وضع دائري قياسي
الشكل: الإحداثيات الدائرية القياسية نسبةً إلى نصف القطر R والزاوية θ.

مسائل التدريب الأساسية

المسألة 1 - طول القوس والإحداثيات على الدائرة

بالنظر إلى أن إحداثيات النقطة \( A \)، الواقعة على الدائرة أدناه، هي \( (8, 0) \)، وأن القوس \( s \) يبلغ طوله 20 وحدة، حدد إحداثيات النقطة \( P \) كما هو موضح في الرسم أدناه.

رسم بياني لدائرة طول قوسها 20
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: تحديد نصف القطر.
النقطة A تقع على محور السينات عند \( (8,0) \). وبما أن مركز الدائرة يقع عند نقطة الأصل \( (0,0) \)، فإن المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة A هي نصف القطر تماماً. إذن، \( R = 8 \).

الخطوة 2: إيجاد الزاوية المركزية \( \theta \).
نستخدم صيغة طول القوس \( s = R \theta \). لقد أعطينا \( s = 20 \) ونعلم أن \( R = 8 \). عوض بهذه القيم لحل من أجل \( \theta \) بالراديان:

\[ 20 = 8 \theta \implies \theta = \dfrac{20}{8} = 2.5 \text{ راديان} \]

الخطوة 3: حساب إحداثيات P.
استخدم صيغ الإحداثيات الدائرية القياسية \( x = R \cos(\theta) \) و \( y = R \sin(\theta) \). تأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان!

\[ x = 8 \cos(2.5) \approx 8(-0.8011) \approx -6.40 \]
\[ y = 8 \sin(2.5) \approx 8(0.5984) \approx 4.79 \]

الخلاصة:
إحداثيات النقطة \( P \) تقريباً هي \( (-6.40, 4.79) \). (هذا منطقي تماماً لأن النقطة تقع في الربع الثاني، حيث السينات سالبة والصادات موجبة).

المسألة 2 - طول القوس باستخدام الظل ونصف القطر

في نظام إحداثي ديكارتي، دائرة مركزها نقطة الأصل تمر عبر النقطة \( P(4\sqrt{2},\ 5\sqrt{2}) \). ما هو الطول الدقيق والمقرب للقوس \( S \) بدءاً من محور السينات الموجب إلى النقطة P؟

رسم بياني لدائرة تمر عبر نقطة إحداثية
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد نصف القطر \( R \).
نصف القطر هو المسافة من نقطة الأصل \( (0,0) \) إلى النقطة P. نستخدم صيغة المسافة (أو مبرهنة فيثاغورس):

\[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} \]
\[ R = \sqrt{(16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 50} = \sqrt{82} \]

الخطوة 2: إيجاد الزاوية المركزية \( \theta \).
نستخدم تعريف الظل لإيجاد الزاوية. بما أن كلاً من x و y موجبان، تقع النقطة في الربع الأول، لذلك لا نحتاج إلى تعديل الزاوية.

\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{5}{4} = 1.25 \]
\[ \theta = \arctan(1.25) \approx 0.8960 \text{ راديان} \]

الخطوة 3: حساب طول القوس \( S \).
باستخدام الصيغة \( S = R\theta \):

\[ S = \sqrt{82} \cdot \arctan(1.25) \approx 9.055 \cdot 0.8960 \approx 8.11 \text{ وحدة} \]

المسألة 3 - عقرب دقائق الساعة وطول القوس

طول عقرب الدقائق لساعة يد هو \( 4.5 \, \text{سم} \). أوجد الطول الدقيق للقوس الذي ترسمه تكة عقرب الدقائق بين الساعة 11:10 مساءً و 11:50 مساءً.

وجه ساعة يوضح حركة عقرب الدقائق
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: تحديد الزمن المنقضي.
من 11:10 مساءً إلى 11:50 مساءً، الزمن المنقضي هو 40 دقيقة بالضبط.

الخطوة 2: إيجاد الإزاحة الزاوية.
الساعة عبارة عن دائرة كاملة (\( 360^\circ \) أو \( 2\pi \) راديان)، تمثل 60 دقيقة من الوقت. نحتاج إلى إيجاد كسر الدائرة الذي غطاه عقرب الدقائق.

\[ \text{كسر الدائرة} = \dfrac{40 \text{ دقيقة}}{60 \text{ دقيقة}} = \dfrac{2}{3} \text{ من دورة كاملة} \]

الآن، حول هذا الكسر مباشرة إلى راديان. الدورة الكاملة هي \( 2\pi \):

\[ \theta = \dfrac{2}{3} \times 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \text{ راديان} \]

الخطوة 3: حساب طول القوس.
نصف القطر \( R \) هو طول عقرب الدقائق، وهو 4.5 سم. طبق صيغة طول القوس \( S = R \theta \):

\[ S = 4.5 \times \left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \dfrac{18\pi}{3} = \mathbf{6\pi \text{ سم}} \]

المسألة 4 - هندسة الدائرة مع نقاط متعددة

النقاط \( P(a, b) \)، و \( Q(5, 0) \)، و \( M(c, -1) \) تقع على دائرة مركزها \( O(0, 0) \) ونصف قطرها \( R = 5 \) وحدات. زاوية النقطة P معطاة كـ \( 35^\circ \).

دائرة مع نقاط متعددة P و Q و M

أوجد ما يلي:

  1. إحداثيات \( (a,b) \) للنقطة \( P \).
  2. طول القوس بين \( Q \) و \( P \) في الاتجاه المعاكس لاتجاه عقارب الساعة.
  3. الإحداثي السيني \( c \) للنقطة \( M \).
  4. الزاوية المركزية الكلية \( \theta \) المنطلقة من محور السينات الموجب إلى النقطة M.
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

أ) أوجد إحداثيات P:
باستخدام نصف القطر \( R = 5 \) والزاوية \( 35^\circ \)، نستخدم الصيغ القياسية (تأكد من أن الآلة الحاسبة في وضع الدرجات لهذه الخطوة):

\[ a = x = 5 \cos(35^\circ) \approx 4.096 \]
\[ b = y = 5 \sin(35^\circ) \approx 2.868 \]
\[ P(4.096, 2.868) \]

ب) أوجد طول القوس PQ:
أولاً، يجب أن نحول الزاوية من الدرجات إلى راديان لأن الصيغة \( S=R\theta \) تتطلب الراديان.

\[ \theta \text{ بالراديان} = 35^\circ \times \left(\dfrac{\pi}{180^\circ}\right) = \dfrac{35\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{36} \]
\[ \text{القوس } PQ = R\theta = 5 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{36}\right) = \dfrac{35\pi}{36} \approx 3.05 \text{ وحدة} \]

ج) أوجد الإحداثي السيني لـ M:
النقطة M هي \( (c, -1) \). بما أن M تقع على الدائرة، يجب أن تساوي مسافتها إلى نقطة الأصل نصف القطر (5).

\[ x^2 + y^2 = R^2 \implies c^2 + (-1)^2 = 5^2 \]
\[ c^2 + 1 = 25 \implies c^2 = 24 \implies c = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \]

انظر إلى الرسم. تقع النقطة M في الربع الثالث، حيث الإحداثيات السينية سالبة. لذلك، نرفض الجذر الموجب:

\[ c = -2\sqrt{6} \approx -4.899 \]

د) أوجد الزاوية \( \theta \):
ليكن إجمالي الزاوية من محور السينات الموجب إلى M هو \( \alpha \). وفقاً للرسم، \( \alpha = \theta + 35^\circ \).

نجد \( \alpha \) باستخدام ظل النقطة M \( (-2\sqrt{6}, -1) \):

\[ \tan(\alpha) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{-2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \]

بما أن النقطة في الربع الثالث، فإن دالة \( \arctan \) في الآلة الحاسبة (التي تعيد زاوية الربع الأول) ستكون خاطئة بمقدار \( 180^\circ \). يجب علينا إضافة \( 180^\circ \):

\[ \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\right) \approx 180^\circ + 11.54^\circ = 191.54^\circ \]

الآن، اطرح إزاحة الـ \( 35^\circ \) لحل من أجل \( \theta \):

\[ \theta = \alpha - 35^\circ = 191.54^\circ - 35^\circ = \mathbf{156.54^\circ} \]

المسألة 5 - طول القوس والمسافة في دائرة

دائرة نصف قطرها \( R = 4 \) وحدات ومركزها \( O \) موضح أدناه. الزاوية إلى النقطة P هي \( 130^\circ \).

رسم بياني لدائرة نصف قطرها 4 وحدات

أوجد ما يلي:

  1. طول القوس بين النقطتين \( D \) و \( P \) في الاتجاه المعاكس لاتجاه عقارب الساعة.
  2. إحداثيات \( (a , b) \) للنقطة \( P \).
  3. طول قطعتة الخط المستقيم \( PD \).
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

أ) احسب طول القوس DP:
حول الزاوية إلى راديان: \( \theta = 130^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{130\pi}{180} = \dfrac{13\pi}{18} \).

\[ \text{القوس } DP = R \cdot \theta = 4 \cdot \dfrac{13\pi}{18} = \dfrac{26\pi}{9} \approx 9.08 \text{ وحدة} \]

ب) جد إحداثيات P:
باستخدام تعريفات المثلثات القياسية مع \( R = 4 \) و \( \theta = 130^\circ \):

\[ a = 4 \cos(130^\circ) \approx -2.57 \]
\[ b = 4 \sin(130^\circ) \approx 3.06 \]
\[ P(-2.57, 3.06) \]

ج) جد طول قطعة الخط المستقيم PD:
تنتقل النقطة D على محور السينات الموجب عند مسافة R، لذا إحداثياتها هي \( D(4, 0) \). استخدم صيغة المسافة ثنائية الأبعاد \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \):

\[ PD = \sqrt{(4 \cos(130^\circ) - 4)^2 + (4 \sin(130^\circ) - 0)^2} \]
\[ PD = \sqrt{(-2.57 - 4)^2 + (3.06)^2} = \sqrt{(-6.57)^2 + 9.36} \]
\[ PD = \sqrt{43.16 + 9.36} = \sqrt{52.52} \approx \mathbf{7.25 \text{ وحدة}} \]

(بدلاً من ذلك، يمكنك استخدام قانون جيب التمام على المثلث OPD: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) \implies PD^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4)\cos(130^\circ) \). هذا ينتج نفس النتيجة تماماً!)

المسألة 6 - طول القوس والإحداثيات على الدائرة

في دائرة مركزها \( O \) ونصف قطرها \( R = 3 \)، طول القوس \( S \) بين النقطتين \( A \) و \( B \) معطى كـ \( S = 12.5 \, \text{وحدة} \). أوجد إحداثيات \( (a, b) \) للنقطة \( B \).

دائرة بطول قوس 12.5
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد الزاوية \( \theta \) بالراديان.
أعد ترتيب صيغة طول القوس \( S = R\theta \) لحل من أجل \( \theta \):

\[ \theta = \dfrac{S}{R} = \dfrac{12.5}{3} \approx 4.167 \text{ راديان} \]

(ملاحظة: بما أن \( \pi \approx 3.14 \) و \( \dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71 \)، فإن زاوية قدرها 4.167 راديان تقع تماماً في الربع الثالث. وهذا يتطابق مع رسمنا).

الخطوة 2: إيجاد الإحداثيات.
طبق صيغ الإحداثيات مباشرة باستخدام قياس الراديان. تأكد من أن الآلة الحاسبة في وضع الراديان.

\[ a = x = 3 \cos\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.523) \approx -1.57 \]
\[ b = y = 3 \sin\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.852) \approx -2.56 \]

إحداثيات B هي \( (-1.57, -2.56) \).

المسألة 7 - طول القوس من الإحداثيات

النقطة \( P \) لها إحداثيات \( (4.1 , b) \) وتقع على الدائرة، التي مركزها \( O \) ونصف قطرها \( R = 5 \)، في الربع الأول. أوجد طول القوس \( S \).

دائرة مع نقطة في الربع الأول
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد الزاوية \( \theta \).
أعطينا الإحداثي السيني (\( 4.1 \)) ونصف القطر (\( 5 \)). نستخدم علاقة جيب تمام (cosine):

\[ \cos(\theta) = \dfrac{x}{R} = \dfrac{4.1}{5} = 0.82 \]

بما أن النقطة P مذكورة صراحة أنها في الربع الأول، فالزاوية \( \theta \) حادة (بين 0 و \( \pi/2 \)). يمكننا استخدام دالة جيب التمام العكسية مباشرة لإجادة الزاوية بالراديان:

\[ \theta = \arccos(0.82) \approx 0.6094 \text{ راديان} \]

الخطوة 2: حساب طول القوس.
عوض بالزاوية بالراديان في صيغة طول القوس:

\[ S = R \theta = 5 \cdot \arccos(0.82) \approx 5 \cdot 0.6094 \approx \mathbf{3.05 \text{ وحدة}} \]

مسائل التحدي

هل أنت مستعد لاختبار دمجك لهذه المفاهيم؟ تجمع هذه المسائل بين الجبر، والهندسة، وحساب المثلثات لدفع مهاراتك في حل المشكلات.

مشكلة تحدي 1 - تعظيم مساحة القطاع

تم إنشاء قطاع من دائرة باستخدام قطعة مرنة من السلك بطول تماماً \( P = 100 \text{ سم} \). يشكل هذا السلك نصفي القطر وطول القوس الخارجي. أوجد نصف القطر \( R \) والزاوية المركزية \( \theta \) (بالراديان) التي ستعظم المساحة الداخلية لهذا القطاع.

عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: اكتب المعادلات.
محيط القطاع يتكون من نصفي قطر وطول القوس \( S \). إذن، \( P = 2R + S \). وبما أن \( S = R\theta \)، يمكننا كتابة معادلة المحيط كالتالي:

\[ 100 = 2R + R\theta \]

مساحة القطاع تُعطى بالصيغة \( A = \dfrac{1}{2}R^2\theta \).

الخطوة 2: عبر عن المساحة بدلالة متغيّر واحد.
من معادلة المحيط، حل من أجل \( \theta \):

\[ R\theta = 100 - 2R \implies \theta = \dfrac{100 - 2R}{R} \]

عوض بـ \( \theta \) هذه في معادلة المساحة لإنشاء دالة بدلالة \( R \) وحدها:

\[ A(R) = \dfrac{1}{2}R^2 \left( \dfrac{100 - 2R}{R} \right) = \dfrac{1}{2}R(100 - 2R) = 50R - R^2 \]

الخطوة 3: عظم دالة المساحة.
معادلة المساحة \( A(R) = -R^2 + 50R \) هي قطع مكافئ مفتوح لأسفل. تحدث القيمة العظمى عند الرأس. باستخدام صيغة الرأس \( R = \dfrac{-b}{2a} \):

\[ R = \dfrac{-50}{2(-1)} = 25 \text{ سم} \]

(بدلاً من ذلك، أخذ المشتقة: \( A'(R) = 50 - 2R = 0 \implies R = 25 \)).

الخطوة 4: أوجد الزاوية المقابلة \( \theta \).
عوض بـ \( R = 25 \) مرة أخرى في معادلتنا لـ \( \theta \):

\[ \theta = \dfrac{100 - 2(25)}{25} = \dfrac{50}{25} = \mathbf{2 \text{ راديان}} \]

بشكل مذهل، لأي محيط ثابت، تكون مساحة القطاع دائماً في أقصى حالاتها عندما تكون الزاوية المركزية 2 راديان بالضبط!

مشكلة تحدي 2 - سير حول بكرتين

سير مشدود ملفوف حول بكرتين دائريتين. البكرة الصغرى لها نصف قطر \( r_1 = 3 \text{ سم} \)، والبكرة الكبرى لها نصف قطر \( r_2 = 8 \text{ سم} \). المسافة بين مركزي البكرتين هي \( d = 13 \text{ سم} \). احسب الطول الكلي للسير.

عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: أوجد طول القطع المستقيمة.
ارسم خطاً موازياً لقطعة السير المستقيمة عبر مركز الدائرة الصغرى. هذا ينشئ مثلثاً قائم الزاوية ووتره يساوي المسافة بين المركزين (\( d = 13 \)) وضلع يساوي الفرق بين نصفي القطرين (\( r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5 \)).
ليكن \( L \) طول قطعة سير مستقيمة واحدة. باستخدام مبرهنة فيثاغورس:

\[ L^2 + 5^2 = 13^2 \implies L^2 + 25 = 169 \implies L^2 = 144 \implies L = 12 \text{ سم} \]

بما أن هناك قطعتين مستقيمتين (أعلى وأسفل)، فطولهما المجمع هو \( 2 \times 12 = 24 \text{ سم} \).

الخطوة 2: أوجد الزاوية المركزية لنقاط التماس.
ليكن \( \alpha \) هي الزاوية في المثلث القائم المجاورة للمراكز.
\( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \dfrac{5}{13} \). إذن، \( \alpha = \arccos(\dfrac{5}{13}) \approx 1.176 \text{ راديان} \).

الخطوة 3: احسب أطوال الأقواس حول البكرات.
من خلال الاستنتاج الهندسي، الزاوية التي يلمس عندها السير البكرة الصغرى هي \( 2\alpha \).
القوس على البكرة الصغرى: \( S_1 = r_1(2\alpha) = 3(2 \times 1.176) = 3(2.352) = 7.056 \text{ سم} \).

الزاوية التي يلمس عندها السير البكرة الكبرى هي القوس الأكبر، وهو \( 2\pi - 2\alpha \).
الزاوية الكبرى: \( 2\pi - 2.352 \approx 6.283 - 2.352 = 3.931 \text{ راديان} \).
القوس على البكرة الكبرى: \( S_2 = r_2(3.931) = 8(3.931) = 31.448 \text{ سم} \).

الخطوة 4: اجمع الأجزاء.
الطول الكلي = القطع المستقيمة + القوس الصغير + القوس الكبير

\[ \text{الطول الكلي} \approx 24 + 7.056 + 31.448 = \mathbf{62.5 \text{ سم}} \]

مشكلة تحدي 3 - طول قوس التقاطع

أوجد الإحداثيات الدقيقة لنقاط تقاطع الدائرة \( x^2 + y^2 = 25 \) والمستقيم \( y = 2x + 5 \). ثم حدد الطول الدقيق للقصير من القوسين اللذين يربطان هاتين النقطتين على الدائرة.

عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: أوجد نقاط التقاطع.
عوض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة:

\[ x^2 + (2x + 5)^2 = 25 \]
\[ x^2 + (4x^2 + 20x + 25) = 25 \]
\[ 5x^2 + 20x = 0 \]

أخرج \( 5x \) كعامل مشترك:

\[ 5x(x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ أو } x = -4 \]

أوجد قيم y المقابلة باستخدام \( y = 2x+5 \):
إذا كان \( x = 0, y = 5 \). النقطة الأولى: \( (0, 5) \).
إذا كان \( x = -4, y = -3 \). النقطة الثانية: \( (-4, -3) \).

الخطوة 2: أوجد الزاوية المركزية بين هاتين النقطتين.
لتكن المتجهين \( \vec{A} = (0, 5) \) و \( \vec{B} = (-4, -3) \). يمكننا إيجاد الزاوية \( \theta \) بينهما باستخدام صيغة الضرب القياسي: \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta) \).

الضرب القياسي: \( (0)(-4) + (5)(-3) = -15 \)
المعياران (كلاهما نصف القطر): \( |\vec{A}| = 5 \)، \( |\vec{B}| = 5 \).

\[ -15 = (5)(5) \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5} \]
\[ \theta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 2.214 \text{ راديان} \]

الخطوة 3: احسب طول القوس.
نحن نعلم أن نصف القطر هو \( R = 5 \). باستخدام \( S = R\theta \):

\[ S = 5 \cdot \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 5 \cdot 2.214 \approx \mathbf{11.07 \text{ وحدة}} \]

استكشف المزيد من الهندسة

التدرب حسب المرحلة الدراسية

الصف العاشر الصف الحادي عشر الصف الثاني عشر