مسائل الأعداد المركبة مع الحلول - الصف الثاني عشر

أ) \( (3 + 2i) - (8 - 5i) \)

وزّع الإشارة السالبة وجمّع الأجزاء الحقيقية والتخيلية معاً:

---

ب) \( (4 - 2i)(1 - 5i) \)

استخدم طريقة FOIL لفك الحدود الثنائية، وتذكر أن \( i^2 = -1 \):

---

ج) \( \dfrac{-2 - 4i}{i} \)

لإزالة الوحدة التخيلية من المقام، اضرب البسط والمقام في \( -i \) (مرافق \( i \)):

عوض بـ \( i^2 = -1 \):

---

د) \( \dfrac{-3 + 2i}{3 - 6i} \)

اضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام، وهو \( 3 + 6i \):

فك كل من البسط والمقام:

البسط: \( -9 - 18i + 6i + 12i^2 = -9 - 12i - 12 = -21 - 12i \)

المقام: \( 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45 \)

اقسم كلا الحدين على 45 وبسّط الكسور:

أولاً، نعزل العدد المركب \( x + yi \) بضرب طرفي المعادلة المعطاة في \( i \):

عوض بـ \( i^2 = -1 \) واكتب بالصيغة القياسية:

التعبير الذي نحتاج إلى تقييمه هو \( (x + yi)(x - yi) \). لاحظ أن \( (x - yi) \) هو ببساطة المرافق المركب لـ \( (x + yi) \). لذلك:

هذا فرق بين مربعين: \( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \). تطبيق هذه القاعدة:

ليكن العدد المركب المجهول هو \( z = a + bi \)، حيث \( a \) و \( b \) أعداد حقيقية. مرافقه المركب هو بالتالي \( z' = a - bi \).

عوض بـ \( z \) و \( z' \) في المعادلة المعطاة:

فك وجمّع الحدود الحقيقية والتخيلية في الطرف الأيمن:

يتساوى عددان مركبان إذا وفقط إذا تساوت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية المقابلة تماماً. بمساواة الأجزاء، نكون نظاماً من معادلتين خطيتين بسيطتين:

الأجزاء الحقيقية: \( 4a = 5 \implies a = \dfrac{5}{4} \)

الأجزاء التخيلية: \( -2b = -6 \implies b = 3 \)

وأخيراً، عوض بـ \( a \) و \( b \) مرة أخرى في تعريفا الأصلي لـ \( z \):

ليكن \( z = a + bi \)، مما يجعل مرافقه \( z' = a - bi \).

حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه ينتج دائماً مجموع مربعي مكوناته:

أعطينا أن \( zz' = 25 \)، لذا معادلتنا الأولى هي:

أعطينا أيضاً المعادلة الخطية \( a + b = 7 \). يمكننا حل هذا النظام بالتعويض. اعزل \( b \) في المعادلة الخطية:

عوض بهذا التعبير عن \( b \) في المعادلة التربيعية:

فك المربع الكامل:

جمّع الحدود المتشابهة لتكوين معادلة تربيعية قياسية (\( Ax^2 + Bx + C = 0 \)):

قسم المعادلة بأكملها على 2 للتبسيط:

حلل المعادلة التربيعية:

هذا يعطي قيمتين ممكنتين لـ \( a \). نستخدم \( b = 7 - a \) لإيجاد القيم المقابلة لـ \( b \):

• إذا كان \( a = 4 \)، إذن \( b = 7 - 4 = 3 \). وهذا يعطي العدد المركب \( z_1 = 4 + 3i \).
• إذا كان \( a = 3 \)، إذن \( b = 7 - 3 = 4 \). وهذا يعطي العدد المركب \( z_2 = 3 + 4i \).

لذلك، الأعداد المركبة التي تحقق كلا الشرطين هي:

أ) بما أن \( x = 2 + 4i \) جذر، فإن تعويضه في المعادلة يجب أن ينتج عنه صفر:

فك ثنائي الحدود المربع ووزّع \( b \):

عوض بـ \( i^2 = -1 \) وبسّط:

جمّع الأجزاء الحقيقية والتخيلية معاً:

لكي يساوي عدد مركب الصفر، يجب أن يكون جزؤه الحقيقي وجزؤه التخييلي مساويين لصفر:

الجزؤ التخييلي: \( 16 + 4b = 0 \implies 4b = -16 \implies \mathbf{b = -4} \)

الجزؤ الحقيقي: \( -12 + 2b + c = 0 \). عوض بـ \( b = -4 \):

---

ب) نظراً لأن معاملات كثير الحدود (\( 1, b, c \)) كلها أعداد حقيقية، تنص نظرية جذور المرافق المركب على أن الجذور يجب أن تظهر في أزواج مترافقة. لذلك، الجذر الثاني هو \( 2 - 4i \).

التحقق: عوض بـ \( x = 2 - 4i \)، و \( b = -4 \)، و \( c = 20 \) في المعادلة:

(طريقة بديلة: استخدام صيغ فييت. مجموع الجذور هو \( -b \)، وحاصل الضرب هو \( c \). الجذور المعطاة \( 2+4i \) و \( 2-4i \)، المجموع = \( 4 \implies b = -4 \). الحاصل = \( (2)^2 + (4)^2 = 20 \implies c = 20 \)).

ليكن \( z = a + bi \)، حيث \( a \) و \( b \) أعداد حقيقية.

عوض بهذا في المعادلة المعطاة:

فك الطرف الأيمن:

ساوِ الأجزاء الحقيقية والتخيلية لتكوين نظام معادلات:

1) \( a^2 - b^2 = -1 \)

2) \( 2ab = 2\sqrt{6} \)

من المعادلة 2، اعزل \( b \):

عوض بهذا التعبير عن \( b \) في المعادلة 1:

اضرب المعادلة بأكملها في \( a^2 \) للتخلص من المقام:

هذه معادلة تربيعية بدلالة \( a^2 \). يمكننا تحليلها كالتالي:

هذا يعطي \( a^2 = -3 \) أو \( a^2 = 2 \). بما أن \( a \) يجب أن يكون عدداً حقيقياً، فلا يمكن لـ \( a^2 \) أن يكون سالباً. لذلك، نرفض \( a^2 = -3 \).

حل \( a^2 = 2 \) يعطي جذرين حقيقيين: \( a = \sqrt{2} \) و \( a = -\sqrt{2} \).

الآن، نستخدم \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \) لإيجاد القيم المقابلة لـ \( b \):

• إذا كان \( a = \sqrt{2} \)، إذن \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{6}{2}} = \sqrt{3} \).
• إذا كان \( a = -\sqrt{2} \)، إذن \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{3} \).

بدمج هذه في عددنا المركب \( z = a + bi \)، نحصل على حلين:

ليكن \( z = a + bi \) و \( z' = a - bi \)، حيث \( a \) و \( b \) أعداد حقيقية.

عوض بهذه التعبيرات في المعادلة المعطاة:

فك كلا مجموعة النواتج بعناية باستخدام طريقة FOIL:

الناتج الأول: \( 4a + 4bi + 2ai + 2bi^2 = 4a - 2b + (2a + 4b)i \)

الناتج الثاني: \( 8a - 8bi - 2ai + 2bi^2 = 8a - 2b + (-2a - 8b)i \)

اجمع التعبيرات المفكوكة معاً:

بسط بتجميع الحدود المتشابهة:

ساوِ الأجزاء الحقيقية والتخيلية لتكوين نظام معادلات:

الجزؤ التخييلي: \( -4b = 10 \implies \mathbf{b = -\dfrac{5}{2}} \)

الجزؤ الحقيقي: \( 12a - 4b = -2 \). عوض بقيمة \( b \):

لذلك، العدد المركب \( z \) هو:

بما أن جميع المعاملات في كثير الحدود من الدرجة الثالثة (\( 1, 6, 61, 106 \)) هي أعداد حقيقية، تضمن نظرية جذور المرافق المركب أنه إذا كان \( z_1 = -2 + 7i \) جذراً، فإن مرافقه \( z_2 = -2 - 7i \) يجب أن يكون جذراً أيضاً.

إذا عرفنا جذرين، يمكننا تكوين العامل التربيعي الذي يوافق هذين الجذرين بضرب \( (z - z_1)(z - z_2) \):

للضرب بسهولة، أعد تجميع الحدود الداخلية لتكوين فرق بين مربعين:

هذا التعبير التربيعي يجب أن يكون عاملاً لكثير الحدود التكعيبي الأصلي. ليكن الجذر الحقيقي المتبقي هو \( r \). يمكن تحليل كثير الحدود التكعيبي كالتالي:

يمكننا إيجاد العامل الخطي المفقود \( (z - r) \) بإجراء القسمة المطولة لكثيرات الحدود، أو استخدام اختصار بالنظر إلى الحد الرائد والحد الثابت:

• الحد الرائد \( z^3 \) مقسوماً على \( z^2 \) يعطي \( z \).
• الحد الثابت \( 106 \) مقسوماً على \( 53 \) يعطي \( +2 \).

لذلك، العامل الخطي هو \( (z + 2) \). هذا يعني أن المعادلة التكعيبية المحللة بالكامل هي:

مساواة العامل الخطي بالصفر يعطينا الجذر الحقيقي:

أ) لإظهار أن \( 2i \) هو جذر، نعوض بـ \( z = 2i \) في كثير الحدود ونتحقق من أنه يساوي صفراً.

أولاً، احسب قوى \( 2i \):

• \( (2i)^2 = 4i^2 = -4 \)
• \( (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -8i \)
• \( (2i)^4 = 16i^4 = 16(1) = 16 \)

عوض بهذه في كثير الحدود:

بما أن الناتج هو 0، إذن \( 2i \) هو جذر بالفعل.

---

ب) نظراً لأن كثير الحدود له معاملات حقيقية، تنص نظرية جذور المرافق المركب على أن \( -2i \) هو جذر أيضاً.

العوامل المقابلة لهذين الجذرين هي \( (z - 2i) \) و \( (z + 2i) \). ضربهما معاً يعطي عاملاً تربيعياً:

لإيجاد الجذور المتبقية، نقسم كثير الحدود الأصلي من الدرجة الرابعة على هذا العامل التربيعي \( z^2 + 4 \) باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود:

إذن، يحلل كثير الحدود إلى:

الجذور المتبقية تأتي من حل المعادلة التربيعية \( z^2 + z - 2 = 0 \). تحليلها:

هذا ينتج \( z = -2 \) و \( z = 1 \). لذلك، المجموعة الكاملة لجذور المعادلة هي:

بما أن كثير الحدود له معاملات حقيقية بحتة، يجب أن تظهر أي جذور مركبة في أزواج مترافقة. بما أننا أعطينا جذرين مركبين، فإننا نعرف على الفور الجذرين الآخرين:

الجذران المعطيان: \( 2 - i \) و \( 1 - i \)

الجذران المترافقان: \( 2 + i \) و \( 1 + i \)

يمكننا بناء كثير الحدود بضرب العوامل المرتبطة بهذه الجذور الأربعة:

دعنا نضرب أزواج المرافق معاً أولاً. سيتتج عن ذلك تربيعيان بمعاملات حقيقية. إعادة التجميع لاستخدام فرق المربعين:

الزوج الأول:

الزوج الثاني:

الآن، اضرب هذين الكثيرين من الحدود التربيعيين معاً للحصول على \( P(z) \):

وزّع كل حد في كثير الحدود الأول على الثاني:

جمّع الحدود المتشابهة:

• حد \( z^4 \): \( z^4 \)
• حدود \( z^3 \): \( -2z^3 - 4z^3 = -6z^3 \)
• حدود \( z^2 \): \( 2z^2 + 8z^2 + 5z^2 = 15z^2 \)
• حدود \( z \): \( -8z - 10z = -18z \)
• الحد الثابت: \( 10 \)

بمقارنة هذا بالشكل المعطى \( z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \)، نجد المعاملات:

فك كثير الحدود ذي الحدين للقوة 6 هو أمر شاق. بدلاً من ذلك، يمكننا تحويل العدد المركب إلى شكله القطبي \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) واستخدام مبرهنة ديموافر: \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \).

أولاً، أوجد المقياس \( r \) للعدد المركب \( z = \sqrt{3} + i \):

بعد ذلك، أوجد السعة (الزاوية) \( \theta \):

بما أن كلا المكونين موجبان، فالزاوية تقع في الربع الأول: \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \) (أو 30°).

إذن، الصورة القطبية هي \( z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \).

الآن، طبق مبرهنة ديموافر من أجل \( n = 6 \):

نحن نعلم أن \( \cos(\pi) = -1 \) و \( \sin(\pi) = 0 \):

الصيغة القياسية هي: \( -64 + 0i \).

ليكن المتغير المركب \( z = x + yi \)، حيث \( x \) و \( y \) يمثلان الإحداثيات الديكارتية.

عوض بهذه القيمة في معادلة المعيار المعطاة:

جمّع المكونات الحقيقية والتخيلية داخل المعيارين:

معيار العدد المركب \( a+bi \) هو \( \sqrt{a^2+b^2} \). طبق ذلك على الطرفين:

ربع الطرفين للتخلص من الجذور التربيعية:

فك ثنائي الحدود المربع على الطرفين:

اطرح \( x^2 \)، و \( y^2 \)، و \( 4 \) من الطرفين. تختصر بشكل جميل لتترك:

قسم على 4 للحصول على المعادلة الديكارتية النهائية:

\( y = -x \)

الوصف الهندسي: المحل الهندسي هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل بميل -1. (مفهومياً، \( |z - A| = |z - B| \) يصف دائماً المنصف العمودي لقطعة الخط الواصلة بين النقطتين A و B في المستوى المركب. هنا، A هي (2, 0) و B هي (0, -2). منصفهما العمودي هو بالفعل الخط y = -x.)

لإيجاد جذور المكعب، نكتب أولاً العدد \( 8i \) بالصيغة القطبية.

المقياس هو 8، وبما أنه يقع على محور التخيل الموجب، فإن زاويته هي \( \dfrac{\pi}{2} \). الصورة القطبية العامة هي:

لإيجاد جذور المكعب (\( z = (8i)^{1/3} \))، نستخدم صيغة الجذور لديموافر: نأخذ الجذر التكعيبي للمقياس، ونقسم السعة على 3:

نجد الجذور الثلاثة المتميزة بالتعويض بـ \( k = 0, 1, 2 \):

عندما \( k = 0 \):

عندما \( k = 1 \):

عندما \( k = 2 \):

الجذور الثلاثة هي: \( \sqrt{3} + i \)، و \( -\sqrt{3} + i \)، و \( -2i \).