إيجاد معادلة كثير الحدود بمعرفة تمثيلها البياني: مسائل مع الحلول

إتقان نقاط التقاطع، والتضاعفات، وسلوك المنحنى

تعلم كيفية تحديد دالة كثير الحدود مباشرة من تمثيلها البياني. توفر هذه الصفحة مسائل تدريبية موجهة تركز على تحديد الميزات المرئية الرئيسية مثل الأصفار، والتضاعفات الفردية/الزوجية، والتماثل. يتم تضمين حلول خطوة بخطوة وشروحات واضحة لمساعدتك على استيعاب العملية تماماً.

مسائل التدريب الأساسية

المسألة 1 - كثير حدود من الدرجة الثالثة بجذور متعددة

أوجد المعادلة الدقيقة لدالة كثير الحدود من الدرجة الثالثة \( g \) الموضحة أدناه.

تمثيل بياني لكثير حدود من الدرجة الثالثة يقطع عند x=-1 ويلامس عند x=3
عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: تحديد الأصفار والتضاعفات
يقطع التمثيل البياني للدالة محور x بشكل نظيف عند \( x = -1 \). هذا يشير إلى صفر ذي تضاعف 1، مما يتوافق مع العامل \( (x + 1) \).
يلامس التمثيل البياني محور x ويلتف (يرتد) عند \( x = 3 \). هذا يشير إلى صفر ذي تضاعف 2 (شكل قطع مكافئ)، مما يتوافق مع العامل \( (x - 3)^2 \).

الخطوة 2: تكوين المعادلة
بناءً على العوامل، للدالة \( g \) الصورة العامة:

\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \]
حيث \( k \) هو ثابت مضاعف مجهول.

الخطوة 3: حل قيمة \( k \)
يمكننا إيجاد \( k \) باستخدام النقطة المحددة على التمثيل البياني ذات الإحداثيات \( (1, 3) \):

\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \]
\[ k(2)(-2)^2 = 3 \]
\[ 8k = 3 \implies k = \dfrac{3}{8} \]

الخلاصة:
المعادلة الدقيقة لـ \( g(x) \) هي:

\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]

المسألة 2 - كثير حدود من الدرجة الرابعة مع تضاعفات

أوجد دالة كثير الحدود من الدرجة الرابعة \( f \) التي يوضح الشكل أدناه تمثيلها البياني.

تمثيل بياني لكثير حدود من الدرجة الرابعة مع أصفار عند x=-2، x=-1، و x=2
عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: تحديد الأصفار والتضاعفات
من خلال تحليل تقاطعات x، نجد ثلاث نقاط تفاعل مميزة:
* تقاطع مباشر عند \( x = 2 \)، مما يعني تضاعفاً قدره 1، يعطي العامل \( (x - 2) \).
* تقاطع مباشر عند \( x = -2 \)، مما يعني تضاعفاً قدره 1، يعطي العامل \( (x + 2) \).
* ملامسة وارتداد عند \( x = -1 \)، مما يعني تضاعفاً قدره 2، يعطي العامل \( (x + 1)^2 \).

الخطوة 2: تكوين المعادلة
ضرب هذه العوامل ينتج كثير الحدود الأساسي من الدرجة الرابعة:

\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]
حيث \( k \) ثابت.

الخطوة 3: حل قيمة \( k \)
يكشف التمثيل البياني عن تقاطع واضح مع محور y عند \( (0, -1) \). عوض بـ \( x = 0 \) و \( y = -1 \):

\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \]
\[ k(-2)(2)(1)^2 = -1 \]
\[ -4k = -1 \implies k = \dfrac{1}{4} \]

الخلاصة:
المعادلة هي:

\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]

المسألة 3 - كثير حدود من الدرجة الرابعة بتضاعفات مختلفة

أوجد المعادلة الدقيقة لكثير الحدود من الدرجة الرابعة \( f \) المرسوم أدناه.

تمثيل بياني لكثير حدود مع صفر انعطافي عند نقطة الأصل
عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: تحديد الأصفار والتضاعفات
يحتوي التمثيل البياني على تقاطعات x عند \( x = 0 \) و \( x = \dfrac{5}{2} \). وبما أن التمثيل البياني يقطع محور x في كلا النقطتين، يجب أن يكون لكلا الصفرين تضاعف فردي.
* عند \( x = 0 \)، يظهر التمثيل البياني شكلاً مسطحاً يشبه حرف "S" أو شكلاً تكعيبيّاً. هذا يشير إلى تضاعف قدره 3، مما ينتج العامل \( x^3 \).
* عند \( x = \dfrac{5}{2} \)، يكون التقاطع مباشراً وخطيّاً نسبياً، مما يشير إلى تضاعف قدره 1، ينتج العامل \( \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \).

الخطوة 2: تكوين المعادلة
باستخدام هذه الملاحظات، نكتب الصورة العامة:

\[ f(x) = k(x)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

الخطوة 3: حل قيمة \( k \)
نستخدم نقطة الإسناد المعطاة \( (2, -4) \) لإيجاد \( k \):

\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \]
\[ -4 = k(8) \left(-\dfrac{1}{2}\right) \]
\[ -4 = -4k \implies k = 1 \]

الخلاصة:
معادلة كثير الحدود هي:

\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

المسألة 4 - إيجاد معاملات الصورة القياسية

يظهر أدناه التمثيل البياني لكثير حدود من الدرجة الثالثة \( y = a x^3 + b x^2 +c x + d \). حدد القيم المحددة للمعاملات \( a, b, c, \) و \( d \).

تمثيل بياني لكثير حدود مستخدم لإيجاد المعاملات القياسية
عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إعداد الصورة التحليلية (العوامل)
كثير الحدود من الدرجة 3. يظهر التمثيل البياني صفراً بتضاعف 1 عند \( x = -2 \) (العامل: \( x + 2 \))، وصفراً بتضاعف 2 عند \( x = 1 \) (العامل: \( (x - 1)^2 \)).

\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]

الخطوة 2: إيجاد \( k \)
استخدم تقاطع y الواضح عند \( (0, 1) \):

\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 \]
\[ 1 = 2k \implies k = \dfrac{1}{2} = 0.5 \]

الخطوة 3: الفك إلى الصورة القياسية
الآن، فك كثير الحدود المحلل لكشف المعاملات الفردية:

\[ y = 0.5(x + 2)(x^2 - 2x + 1) \]
\[ y = 0.5(x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2) \]
\[ y = 0.5(x^3 - 3x + 2) \]
\[ y = 0.5x^3 - 1.5x + 1 \]

الخلاصة:
بمقارنة هذا بـ \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \)، نستنتج:

\[ a = 0.5, \quad b = 0, \quad c = -1.5, \quad d = 1 \]

المسألة 5 - تماثل كثير الحدود الزوجي

التمثيل البياني لكثير الحدود \( y=a x^4+bx^3+c x^2+d x+e \) متماثل تماماً بالنسبة لمحور الصادات، كما هو موضح أدناه. أوجد القيم الدقيقة للمعاملات \( b, d, \) و \( e \).

تمثيل بياني لكثير حدود متماثل زوجي
عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: استغلال مفاهيم التماثل
بما أن التمثيل البياني متماثل تماماً عبر محور y، يجب أن تكون الدالة دالة زوجية (حيث \( f(x) = f(-x) \)).
لكي يكون كثير الحدود دالة زوجية، لا يمكن أن يحتوي إلا على الأسس الزوجية لـ \( x \). الحدان \( bx^3 \) و \( dx \) هما دالتان فرديتان. لكي يبقى كثير الحدود ككل زوجياً، يجب أن تكون معاملاتهما صفراً:

\[ b = 0, \quad d = 0 \]

الخطوة 2: إيجاد الثابت \( e \)
يتبسط كثير الحدود إلى \( y = a x^4 + c x^2 + e \).
يمثل المعامل \( e \) تقاطع y. بالنظر إلى التمثيل البياني، يقع تقاطع y بوضوح عند \( (0, -2) \):

\[ -2 = a(0)^4 + c(0)^2 + e \]
\[ e = -2 \]

الخلاصة:
المعاملات المطلوبة هي:

\[ b = 0, \quad d = 0, \quad e = -2 \]

مسائل التحدي

عزز فهمك أكثر من خلال سيناريوهات التمثيل البياني الوصفية هذه. ارسم الصورة الذهنية أو ارسمها على ورقة قبل الحل!

تحدي 1 - تمثيل بياني وصفي من الدرجة الخامسة

التمثيل البياني لكثير حدود من الدرجة الخامسة \( P(x) \) يقطع محور x مباشرة عند \( x = -2 \)، ويلامس ويمس محور x عند \( x = 1 \)، ويلامس ويمس محور x مرة أخرى عند \( x = 4 \). يمتلك التمثيل البياني تقاطع y عند \( (0, -16) \). أوجد معادلة كثير الحدود.

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: بناء العوامل
* يقطع مباشرة عند \( x = -2 \implies \) تضاعف 1: العامل \( (x + 2) \).
* مماس عند \( x = 1 \implies \) تضاعف 2: العامل \( (x - 1)^2 \).
* مماس عند \( x = 4 \implies \) تضاعف 2: العامل \( (x - 4)^2 \).
(تحقق من الدرجة: 1 + 2 + 2 = 5. هذا يتطابق تماماً مع الدرجة المذكورة).

الخطوة 2: إعداد المعادلة

\[ P(x) = k(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

الخطوة 3: حل قيمة \( k \)
استخدم تقاطع y \( (0, -16) \):

\[ -16 = k(0 + 2)(0 - 1)^2(0 - 4)^2 \]
\[ -16 = k(2)(-1)^2(-4)^2 \]
\[ -16 = k(2)(1)(16) \]
\[ -16 = 32k \implies k = -\dfrac{1}{2} \]

الخلاصة:

\[ P(x) = -0.5(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

تحدي 2 - كثير الحدود الفردي

يمثل كثير الحدود \( Q(x) \) دالة فردية. يمر تمثيلها البياني بنقطة الأصل، ويكون مماساً لمحور x عند \( x = 2 \)، ويمر عبر نقطة الإسناد \( (1, -9) \). أوجد معادلة كثير الحدود من أقل درجة التي تناسب هذا الوصف.

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: فهم التماثل الفردي
الدالة الفردية متماثلة حول نقطة الأصل (\( Q(-x) = -Q(x) \)). هذا يعني أن أي سلوك بياني يحدث على محور x الموجب يجب أن ينعكس (قطرياً) على محور x السالب.
* مماس عند \( x = 2 \implies \) مماس عند \( x = -2 \).
* يمر عبر نقطة الأصل \( \implies \) جذر عند \( x = 0 \).

الخطوة 2: بناء العوامل (أقل درجة)
* جذر عند \( 0 \) مع قطع \( \implies \) تضاعف 1: العامل \( (x) \).
* مماس عند \( 2 \implies \) تضاعف 2: العامل \( (x - 2)^2 \).
* مماس عند \( -2 \implies \) تضاعف 2: العامل \( (x + 2)^2 \).
(أقل درجة هي 1 + 2 + 2 = 5).

الخطوة 3: حل قيمة \( k \)

\[ Q(x) = k(x)(x - 2)^2(x + 2)^2 \]

استخدم النقطة \( (1, -9) \):
\[ -9 = k(1)(1 - 2)^2(1 + 2)^2 \]
\[ -9 = k(1)(-1)^2(3)^2 \]
\[ -9 = k(1)(1)(9) \]
\[ 9k = -9 \implies k = -1 \]

الخلاصة:

\[ Q(x) = -x(x - 2)^2(x + 2)^2 \]

تحدي 3 - أقل درجة من الشكل

يظهر التمثيل البياني لكثير الحدود \( H(x) \) شكل قطع مكافئ يلامس محور x عند \( x = -3 \)، ويقطع بشكل نظيف في خط مستقيم عند \( x = 2 \)، ويقطع محور x مسطحاً على شكل حرف "S" عند \( x = 5 \). إذا مر التمثيل البياني بالنقطة \( (3, -72) \)، فأوجد المعادلة المحددة لكثير الحدود من أقل درجة.

عرض الحل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: ترجمة الشكل إلى تضاعف
* ملامسة قطع مكافئ عند \( x = -3 \implies \) تضاعف زوجي. أقل درجة = 2. العامل: \( (x + 3)^2 \).
* تقاطع بخط مستقيم عند \( x = 2 \implies \) تضاعف 1. العامل: \( (x - 2) \).
* تقاطع على شكل حرف "S" مسطح عند \( x = 5 \implies \) تضاعف فردي أكبر من 1. أقل درجة = 3. العامل: \( (x - 5)^3 \).

الخطوة 2: إعداد المعادلة
ضرب هذه العوامل ينشئ كثير الحدود من الدرجة السادسة:

\[ H(x) = k(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]

الخطوة 3: حل قيمة \( k \)
عوض بالنقطة \( (3, -72) \):

\[ -72 = k(3 + 3)^2(3 - 2)(3 - 5)^3 \]
\[ -72 = k(6)^2(1)(-2)^3 \]
\[ -72 = k(36)(-8) \]
\[ -72 = -288k \]
\[ k = \dfrac{-72}{-288} = \dfrac{1}{4} \]

الخلاصة:

\[ H(x) = 0.25(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]

استكشف المزيد من كثيرات الحدود

التدرب حسب المرحلة الدراسية

الصفوف 4-5 الصفوف 6-9 الصفوف 10-12