إيجاد دالة جيبية بمعرفة تمثيلها البياني

إتقان تحليل منحنيات الجيب وجيب التمام

مرحباً بك في هذه المجموعة من مسائل التدريب المصممة لمساعدتك على تحديد معادلة دالة جيبية بناءً على تمثيلها البياني. الصور العامة للدوال الجيبية هي:

\[ y = a \sin[ b ( x - d) ] + c \quad \text{or} \quad y = a \cos[ b ( x - d) ] + c \]

استخدم هذه المسائل للتدرب على تحديد السعة (\(a\))، والدورة (\(\frac{2\pi}{b}\))، وإزاحة الطور (\(d\))، والإزاحة الرأسية (\(c\)) مباشرة من التمثيل البياني.

مسائل التدريب الأساسية

المسألة 1 - جيب تمام مع إزاحة طور سالبة

أوجد معادلة الدالة الجيبية الموضحة في التمثيل البياني أدناه.

تمثيل بياني جيبي مع قيمة عظمى عند x = -pi/5
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد الإزاحة الرأسية والسعة
التدريج على محور y هو وحدة واحدة لكل تقسيم كبير. القيمة العظمى هي \( y_{\text{max}} = 1 \) والصغرى هي \( y_{\text{min}} = -7 \).
الإزاحة الرأسية (\(c\)):

\[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \]
السعة (\(a\)):
\[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \]
نظراً لأننا سنتابع نقطة عظمى لتحديد الإزاحة، يمكننا استخدام دالة جيب تمام موجبة، إذن \( a = 4 \).

الخطوة 2: إيجاد الدورة و \(b\)
التدريج على محور x هو \( \pi \) لكل تقسيم كبير و \( \dfrac{\pi}{5} \) لكل تقسيم صغير.
النقطتان A و B هما قيمتان عظميان متتاليتان. المسافة الأفقية بينهما هي الدورة \( P = 5\pi \).

\[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \implies |b| = \dfrac{2}{5} \]

الخطوة 3: إيجاد إزاحة الطور (\(d\))
نستخدم صيغة جيب التمام: \( y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \).
دالة جيب التمام غير المزاحة لها قيمة عظمى عند \( x = 0 \). تمثيلنا البياني له قيمة عظمى عند النقطة A، والتي تقع على بعد تقسيم صغير واحد إلى يسار محور y: \( x = -\dfrac{\pi}{5} \). وبالتالي، \( d = -\dfrac{\pi}{5} \).

الخلاصة:
بالتعويض بجميع القيم، تكون المعادلة:

\[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 \implies \mathbf{y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3} \]

المسألة 2 - جيب تمام بسعة عشرية

حدد الدالة الجيبية للتمثيل البياني أدناه.

تمثيل بياني جيبي بسعة أصغر
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد الإزاحة الرأسية والسعة
التقسيم الكبير على محور y هو وحدة واحدة، لذا التقسيم الصغير هو \( 0.2 \). من التمثيل البياني، \( y_{\text{max}} = 0.2 \) و \( y_{\text{min}} = -1.4 \).

\[ c = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \]
\[ |a| = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \]
سنستخدم دالة جيب تمام موجبة، إذن \( a = 0.8 \).

الخطوة 2: إيجاد الدورة و \(b\)
محور x لديه تقسيمات كبيرة بقيمة \( \pi \). النقطتان A و B هما قيمتان عظميان متتاليتان عند \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \) و \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \).
الدورة هي المسافة بين A و B: \( P = \dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = 4\pi \).

\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \implies |b| = \dfrac{1}{2} \]

الخطوة 3: إيجاد إزاحة الطور (\(d\))
باستخدام دالة جيب التمام، تحدث القيمة العظمى عند النقطة A، حيث \( x = \dfrac{\pi}{2} \). هذا يعني أن التمثيل البياني مزحزح لليمين بمقدار \( \dfrac{\pi}{2} \)، إذن \( d = \dfrac{\pi}{2} \).

الخلاصة:
المعادلة هي:

\[ \mathbf{y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6} \]

المسألة 3 - استخدام دالة الجيب

أوجد المعادلة الجيبية للتمثيل البياني أدناه، مستخدماً بالتحديد دالة الجيب (sine).

تمثيل بياني جيبي باستخدام منطق دالة الجيب
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد الإزاحة الرأسية والسعة
من التمثيل البياني، \( y_{\text{max}} = 0 \) و \( y_{\text{min}} = -2 \).

\[ c = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \]
\[ |a| = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \]
خط المنتصف الرأسي يقع عند \( y = -1 \).

الخطوة 2: إيجاد الدورة و \(b\)
تمثل النقطتان A و B دورة موجة كاملة على طول خط المنتصف. النقطة A عند \( x = 0.6 \) والنقطة B عند \( x = 2.6 \).
الدورة \( P = 2.6 - 0.6 = 2 \).

\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \implies |b| = \pi \]

الخطوة 3: إيجاد إزاحة الطور (\(d\))
نحن نستخدم دالة الجيب: \( y = a \sin[ b(x - d) ] + c \).
دالة الجيب غير المزاحة تبدأ من خط المنتصف وتتجه نحو الأعلى. يفعل تمثيلنا البياني هذا تماماً عند النقطة A، حيث \( x = 0.6 \) (أو \( \dfrac{3}{5} \)). لذلك، الإزاحة لليمين هي \( d = 0.6 \). وبما أن التمثيل البياني يصعد من هنا، يبقى \( a \) موجباً \( 1 \).

الخلاصة:
المعادلة هي:

\[ \mathbf{y = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1} \]

المسألة 4 - جيب تمام بإزاحات كسرية لباي

حدد معادلة التمثيل البياني التالي.

تمثيل بياني جيبي بدورة تساوي باي
عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد الإزاحة الرأسية والسعة
من محور y، \( y_{\text{max}} = -1 \) و \( y_{\text{min}} = -3 \).

\[ c = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \]
\[ |a| = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \]
باستخدام دالة جيب تمام موجبة، \( a = 1 \).

الخطوة 2: إيجاد الدورة و \(b\)
النقطتان A و B هما قيمتان عظميان متتاليتان تقعان عند \( A\left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \) و \( B\left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \).
الدورة \( P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).

\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \implies |b| = 2 \]

الخطوة 3: إيجاد إزاحة الطور (\(d\))
تحدث القيمة العظمى عند النقطة A، حيث \( x = \dfrac{3\pi}{5} \). هذه هي إزاحتنا الأفقية لليمين، إذن \( d = \dfrac{3\pi}{5} \).

الخلاصة:
المعادلة هي:

\[ \mathbf{y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2} \]

مسائل التحدي

هل أنت مستعد لدمج معرفتك؟ تختبر هذه المسائل قدرتك على تطبيق المفاهيم جبرياً والتفكير النقدي بشأن الانعكاسات والسيناريوهات الواقعية.

تحدي 1 - جيب تمام مع انعكاس

لدى تمثيل بياني جيبي نقطة صغرى عند \( (0, -5) \) وتوجد النقطة العظمى التاليه المباشرة له عند \( (4, 1) \). أوجد معادلة الدالة على الصورة \( y = a \cos(b(x-d)) + c \)، وبالتحديد حيث \( a < 0 \).

عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد السعة والإزاحة الرأسية
القيمة العظمى هي \( 1 \) والصغرى هي \( -5 \).

\[ c = \dfrac{1 + (-5)}{2} = -2 \]
السعة القياسية هي \( \dfrac{1 - (-5)}{2} = 3 \). وبما أن المسألة تتطلب \( a < 0 \)، يجب أن نستخدم منحنى جيب تمام منعكس، إذن \( a = -3 \).

الخطوة 2: إيجاد الدورة و \( b \)
المسافة الأفقية بين القيمة الصغرى والقيمة العظمى *التالية مباشرة* تمثل نصف دورة بالضبط.
نصف الدورة = \( 4 - 0 = 4 \). لذلك، الدورة الكاملة \( P = 8 \).

\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 8 \implies b = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} \]

الخطوة 3: إيجاد إزاحة الطور
منحنى جيب تمام سالباً قياسياً \( (- \cos) \) يبدأ عند قيمته الصغرى على محور y (حيث \( x=0 \)). وبما أن القيمة الصغرى لتمثيلنا البياني هي أيضاً عند \( x = 0 \)، فلا توجد إزاحة طور أفقية مطلوبة. وبالتالي، \( d = 0 \).

الخلاصة:

\[ \mathbf{y = -3\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x\right) - 2} \]

تحدي 2 - نمذجة الجيب الواقعية

تتغير درجات الحرارة في غرفة مختبر مكيفة بشكل جيبي. تصل إلى أعلى درجة حرارة تبلغ \( 24^\circ \text{C} \) عند الساعة 2:00 ظهراً (\( t = 14 \)) وأقل درجة حرارة تبلغ \( 18^\circ \text{C} \) عند الساعة 2:00 صباحاً (\( t = 2 \)). أوجد دالة الجيب \( T(t) = a \sin(b(t - d)) + c \) التي تمثل درجة الحرارة \( T \) بمرور الوقت \( t \) (بالساعات).

عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: إيجاد السعة والإزاحة الرأسية
العظمى \( = 24 \)، الصغرى \( = 18 \).
الإزاحة الرأسية (متوسط الحرارة): \( c = \dfrac{24 + 18}{2} = 21 \)
السعة: \( a = \dfrac{24 - 18}{2} = 3 \)

الخطوة 2: إيجاد الدورة و \( b \)
الوقت بين القيمة الصغرى (\( t=2 \)) والعظمى (\( t=14 \)) هو 12 ساعة. هذا يمثل نصف دورة.
الدورة \( P = 24 \) ساعة.

\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = 24 \implies b = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12} \]

الخطوة 3: إيجاد إزاحة الطور لدالة الجيب
دالة الجيب الموجبة تبدأ عند خط المنتصف الخاص بها (\( y=21 \)) وتتجه *نحو الأعلى*. نحتاج إلى إيجاد الوقت \( t \) الذي يحدث فيه ذلك. نقطة المنتصف الصاعدة تحدث تماماً في المنتصف بين القيمة الصغرى والقيمة العظمى.
نقطة المنتصف الزمنية: \( t = \dfrac{2 + 14}{2} = 8 \) (وهي الساعة 8:00 صباحاً).
لذلك، تبدأ موجة الجيب دورتها عند \( t = 8 \)، مما يعني أن الإزاحة هي \( d = 8 \).

الخلاصة:

\[ \mathbf{T(t) = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{12}(t - 8)\right) + 21} \]

تحدي 3 - حل إزاحة الطور جبرياً

دالة جيبية معطاة بالمعادلة \( y = 5\sin(3x - C) + 4 \). من المعروف أن التمثيل البياني يمر بالنقطة الإحداثية \( \left(\dfrac{\pi}{9}, 6.5\right) \). أوجد أصغر قيمة موجبة لثابت الإزاحة \( C \).

عرض الحل المفصل
الحل خطوة بخطوة:

الخطوة 1: التعويض بالنقطة
عوض بـ \( x = \dfrac{\pi}{9} \) و \( y = 6.5 \) في المعادلة:

\[ 6.5 = 5\sin\left(3\left(\dfrac{\pi}{9}\right) - C\right) + 4 \]

الخطوة 2: عزل حد الجيب
اطرح 4 من الطرفين:

\[ 2.5 = 5\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]
اقسم على 5:
\[ 0.5 = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - C\right) \]

الخطوة 3: حل المعادلة المثلثية
نعلم أن دالة الجيب تساوي \( 0.5 \) عند زوايا مثل \( \dfrac{\pi}{6} \) و \( \dfrac{5\pi}{6} \). دعنا نساوي التعبير الداخلي بهذه القيم الأساسية.

الحالة 1:

\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} \implies \mathbf{C = \dfrac{\pi}{6}} \]

الحالة 2:
\[ \dfrac{\pi}{3} - C = \dfrac{5\pi}{6} \implies C = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{5\pi}{6} \implies C = -\dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{2} \]

وبما أن المسألة تطلب أصغر قيمة موجبة، فنحن نختار ناتج الحالة 1.

الخلاصة:
أصغر قيمة موجبة هي \( C = \dfrac{\pi}{6} \).

استكشف المزيد من حساب المثلثات

التدرب حسب المرحلة الدراسية

الصفوف 4-5 الصفوف 6-9 الصفوف 10-12