إيجاد دورة الدوال المثلثية - رياضيات الصف الثاني عشر

الخطوة 1: تحديد الدورات الكاملة على التمثيل البياني.
حدد الأصفار التي تفصل دورة كاملة أو عدداً صحيحاً من الدورات. في هذا المثال، بملاحظة الفترة من \(x = 0\) إلى \(x = 1\)، يمكننا عد دورتين كاملتين للموجة بالضبط.

الخطوة 2: حساب الدورة التجريبية.
نظراً لأن دورتين تتسعان في مسافة أفقية قدرها \(1 - 0 = 1\)، فإن الدورة \(P\) (طول دورة واحدة) هي:

الخطوة 3: حل قيمة المعامل \(b\).
صيغة دورة موجة الجيب هي \(P = \frac{2\pi}{b}\). ساوهِ هذا بدورتنا المحسوبة:

بالضرب التبادلي والحل لأجل \(b\):

الخطوة 1: إيجاد مسافة دورة كاملة واحدة.
لاحظ تقاطعات الصفر. تبدأ الدورة عند \(x = -\frac{\pi}{4}\)، وتمر عبر قمة وقاع، وتكمل دورة كاملة عند تقاطع الصفر \(x = \frac{\pi}{4}\).

الخطوة 2: حساب الدورة.
الدورة \(P\) هي المسافة الأفقية بين هاتين النقطتين:

الخطوة 3: حل قيمة المعامل \(b\).
ساوهِ الدورة البيانية بالصيغة الجبرية \(P = \frac{2\pi}{b}\):

اضرب كلا الطرفين في \(2b\):

الخطوة 1: تحديد النقاط الرئيسية لحساب المسافة.
يوفر التمثيل البياني علامات تدريج على محور x، ولكن لا توجد إحداثيات مباشرة للقمم. ومع ذلك، يمكننا إيجاد المواقع الدقيقة للأصفار (تقاطعات x) بأخذ نقطة المنتصف بين علامات التدريج المعطاة.

الصفر على اليسار (منتصف المسافة بين \(-\pi/4\) و \(-\pi/8\)):

الصفر على اليمين (منتصف المسافة بين \(0\) و \(\pi/8\)):

الخطوة 2: حساب الدورة.
المسافة بين صفرين متتاليين تمثل تماماً *نصف* دورة (نصف الدورة).

لذلك، الدورة الكاملة \(P\) هي ضعفا هذه المسافة:

الخطوة 3: حل قيمة \(b\).

الخطوة 1: فهم العلاقة بين القيم القصوى.
المسافة الأفقية على طول محور x بين قيمة عظمى متتالية (النقطة A عند \(x = \frac{3\pi}{6}\)) وقيمة صغرى (النقطة B عند \(x = \frac{7\pi}{6}\)) تساوي نصف الدورة تماماً.

الخطوة 2: حساب الدورة.
أولاً، أوجد المسافة بين A و B:

الدورة الكاملة \(P\) هي ضعفا هذه المسافة:

الخطوة 3: حل قيمة \(b\).
ساوهِ الصيغة الجبرية بالدورة العددية:

بالضرب التبادلي: \(6\pi = 4\pi b \implies \mathbf{b = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}}\)

الخطوة 1: إيجاد الدورة مباشرة.
المسافة الأفقية بين نقطتي صغرى متتاليتين تمثل دورة كاملة واحدة بالضبط. لذلك، الدورة \(P\) هي ببساطة الفرق بين إحداثيات x الخاصة بهما:

الخطوة 2: حل قيمة \(b\).
باستخدام صيغة الدورة \(P = \frac{2\pi}{b}\):

1. بالنسبة لـ \(y = \sin(x)\cos(x) - 3\):
   استخدم متطابقة ضعف الزاوية: \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\). القسمة على 2 تعطي \(\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\).
   أعد كتابة الدالة:
   \[y = \frac{1}{2} \sin(2x) - 3\]
   المعامل الداخلي هو \(b=2\). الدورة:
   \[\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}\]
2. بالنسبة لـ \(y = 2 + 5\cos^2(x)\):
   استخدم متطابقة خفض الأس: \(\cos^2(x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 1)\).
   أعد كتابة الدالة:
   \[y = 2 + 5\left(\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = 2 + \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{9}{2}\]
   المعامل الداخلي هو \(b=2\). الدورة:
   \[\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}\]
3. بالنسبة لـ \(y = \cos(x) + \sin(x)\):
   أعد كتابة هذه الدالة كموجة جيب مزاحة الطور. اضرب واقسم على \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\):
   \[y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)\right)\]
   \[y = \sqrt{2}\left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(x)\right)\]
   باستخدام متطابقة مجموع الزوايا \(\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B\):
   \[y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\]
   المعامل الداخلي هو \(b=1\). الدورة:
   \[\mathbf{P = \frac{2\pi}{1} = 2\pi}\]

بحسب التعريف، إذا كانت \(p\) هي دورة الدالة \(f\)، فإن:

لنقم بتعويض حيث \(x = kX\)، لتصبح:

الآن، أخرج الثابت \(k\) عامل مشتركاً من معامل الطرف الأيسر:

بما أننا عرفنا \(h(x) = f(kx)\)، يمكننا التعويض بـ \(h\) في معادلتنا:

تحدد هذه العبارة دالة دورية جديدة \(h\). وهي تشير إلى أن إزاحة الإدخال بمقدار \(\frac{p}{k}\) تعطي قيمة الدالة الأصلية. لذلك، الدالة \(h(x) = f(kx)\) دورية بدورة تساوي:

الخطوة 1: إيجاد دورة كل حد على حدة.
بالنسبة للحد الأول، \(y_1 = 3\sin(4x)\)، المعامل \(b = 4\). دورتها هي:

بالنسبة للحد الثاني، \(y_2 = 2\cos(6x)\)، المعامل \(b = 6\). دورتها هي:

الخطوة 2: إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
دورة مجموع الدوال الدورية هي المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لدوراتها الفردية. نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للكسرين \(\frac{\pi}{2}\) و \(\frac{\pi}{3}\).
لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للكسور، اكتبها مقام مشترك. المقام المشترك الأصغر لـ \(2\) و \(3\) هو \(6\):

المضاعف المشترك الأصغر للبسوط (\(3\pi\) و \(2\pi\)) هو \(6\pi\). اقسم هذا على المقام المشترك:

الخطوة 1: إيجاد دورة الدالة الأساسية.
تجاهل القيمة المطلقة أولاً. الدالة الأساسية هي \(f(x) = \sin(2x)\). دورة موجة الجيب هذه هي:

الخطوة 2: تحليل تأثير القيمة المطلقة.
موجة الجيب القياسية تتذبذب فوق وتحت محور x، مكملة حدبة موجبة وقاعاً سالباً خلال دورتها الكاملة البالغة \(\pi\).
أخذ القيمة المطلقة يجبر القاع السالب على الانعكاس للأعلى فوق محور x، ليصبح حدبة موجبة مطابقة. وبما أن النصف الأول من الدورة والنصف الثاني أبحرا متطابقين تماماً الآن، فإن النمط يتكرر بسرعة مضاعفة.
لذلك، تطبيق القيمة المطلقة على موجة الجيب أو جيب التمام ينصف دورتها الأساسية.

الخطوة 3: حساب الدورة النهائية.

الخطوة 1: تذكر دورة الظل القياسية.
على عكس دالتي الجيب وجيب التمام اللتين دورتها الأساسية \(2\pi\)، فإن الدورة الأساسية لدالة الظل \(y = \tan(x)\) هي \(\pi\). لذلك، صيغة دورة الدالة \(y = a\tan(bx - c)\) هي \(P = \frac{\pi}{|b|}\).

الخطوة 2: تحديد معامل \(b\).
بالنظر إلى مدخل دالة الظل \(\left(\frac{\pi x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)\)، فإن المعامل المرتبط بمتغير \(x\) هو \(b = \frac{\pi}{3}\). (ملاحظة: المقدار \(-\frac{\pi}{4}\) هو إزاحة طور ولا يؤثر على طول الدورة).

الخطوة 3: حساب الدورة.

الدورة تساوي تماماً \(3\) وحدات طول.