إيجاد الدوال المثلثية بمعرفة تمثيلياتها البيانية (إزاحة الطور)

1. السعة (\(a\)):
القيمة العظمى لـ y هي 2. إذن \( |a| = 2 \). لنستخدم \( a = 2 \).

2. الدورة (\(b\)):
بالنظر إلى مقياس التمثيل البياني، 4 تقسيمات أفقية صغيرة تساوي \( \pi \)، إذن القسم الصغير الواحد = \( \dfrac{\pi}{4} \).
دورة الموجة الكاملة تمتد على 16 قسماً صغيراً تماماً.
الدورة \( P = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \).
باستخدام \( P = \dfrac{2\pi}{b} \)، نحل: \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{1}{2} \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
موجة الجيب القياسية تقطع نقطة الأصل \( (0,0) \) صعوداً نحو الأعلى. تمثيلنا البياني يقطع محور x صعوداً عند قسم صغير واحد إلى يسار محور y.
إزاحة الطور = \( -\dfrac{\pi}{4} \) (إزاحة لليسار).
صيغة إزاحة الطور هي \( -\dfrac{c}{b} \). عوض بالقيم المعلومة:
\( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{1/2} \implies c = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \).

الخلاصة:

1. السعة (\(a\)):
القيمة العظمى تقع في المنتصف تماماً بين 1 و 2. إذن \( |a| = 1.5 \). ليكن \( a = 1.5 \).

2. الدورة (\(b\)):
دورة كاملة واحدة (مثل القمة إلى القمة) تمتد على 4 وحدات بالضبط على محور x.
الدورة \( P = 4 \).
\( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4b = 2\pi \implies b = \dfrac{\pi}{2} \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
يقطع التمثيل البياني محور x صعوداً عند \( x = 1 \). هذه إزاحة بمقدار وحدة واحدة لليمن.
إزاحة الطور = \( 1 \).
\( 1 = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b \).
عوض بـ \( b \): \( c = -\dfrac{\pi}{2} \).

الخلاصة:

1. السعة (\(a\)):
القيمة العظمى لـ y هي 10. \( |a| = 10 \). ليكن \( a = 10 \).

2. الدورة (\(b\)):
5 تقسيمات صغيرة تساوي \( \pi \)، إذن القسم الصغير الواحد = \( \dfrac{\pi}{5} \).
الدورة الكاملة الواحدة تمتد على 8 تقسيمات صغيرة.
الدورة \( P = \dfrac{8\pi}{5} \).
\( \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8\pi b = 10\pi \implies b = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
يقطع التمثيل البياني المحور المركزي صعوداً عند قسمين إلى يمين محور y.
إزاحة الطور = \( 2 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \) (إزاحة لليمين).
\( \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \).
عوض بـ \( b \): \( c = -\left(\dfrac{5}{4}\right)\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = -\dfrac{2\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2} \).

الخلاصة:

1. السعة (\(a\)):
القيمة العظمى هي 2. \( |a| = 2 \). ليكن \( a = 2 \).

2. الدورة (\(b\)):
12 قسماً صغيراً يساوي \( \pi \)، إذن القسم الصغير الواحد = \( \dfrac{\pi}{12} \).
الدورة الكاملة الواحدة تمتد على 8 تقسيمات.
الدورة \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \).
\( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies \mathbf{b = 3} \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
يبدأ التمثيل البياني تقاطعه الصاعد عند قسم واحد لليمين.
إزاحة الطور = \( \dfrac{\pi}{12} \).
\( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -3\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \).

الخلاصة:

1. السعة (\(a\)):
القيمة العظمى لـ y هي 4. \( |a| = 4 \). ليكن \( a = 4 \).

2. الدورة (\(b\)):
4 تقسيمات صغيرة تساوي \( \dfrac{\pi}{2} \)، إذن القسم الصغير الواحد = \( \dfrac{\pi}{8} \).
الدورة الكاملة تمتد على 12 قسماً صغيراً.
الدورة \( P = 12 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{2} \).
\( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 3\pi b = 4\pi \implies b = \dfrac{4}{3} \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
دالة جيب التمام القياسية تبدأ عند القمة عندما \( x = 0 \). قمة تمثيلنا البياني مزاحة بـ 3 تقسيمات صغيرة لليمين.

إزاحة الطور = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
عوض بـ \( b \): \( c = -\left(\dfrac{4}{3}\right)\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{12\pi}{24} = -\dfrac{\pi}{2} \).

الخلاصة:

1. السعة (\(a\)):
القيمة العظمى هي 3. \( |a| = 3 \). ليكن \( a = 3 \).

2. الدورة (\(b\)):
طول الدورة الكاملة الواحدة على محور x هو وحدة واحدة بالضبط.
الدورة \( P = 1 \).
\( 1 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = 2\pi \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
القمة مزاحة لليمين بمقدار 0.5 وحدة.
إزاحة الطور = \( \dfrac{1}{2} \).
\( \dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -\dfrac{b}{2} \).
عوض بـ \( b \): \( c = -\dfrac{2\pi}{2} = -\pi \).

الخلاصة:

1. السعة (\(a\)):
القيمة العظمى لـ y هي 40. \( |a| = 40 \). ليكن \( a = 40 \).

2. الدورة (\(b\)):
4 تقسيمات صغيرة تساوي \( \dfrac{\pi}{2} \)، إذن القسم الصغير الواحد = \( \dfrac{\pi}{8} \).
الدورة الكاملة تمتد على 8 تقسيمات.
الدورة \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \).
\( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies \pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = 2} \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
القمة مزاحة بـ 3 تقسيمات لليمين.
إزاحة الطور = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
عوض بـ \( b = 2 \): \( c = -2\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{6\pi}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \).

الخلاصة:

أ) إيجاد الدورة:
بالنسبة لموجة جيب قياسية، المسافة الأفقية بين نقطة تقاطع مع محور x (حيث تقطع المحور صعوداً) والقيمة العظمى التالية مباشرة تساوي تماماً ربع الدورة الكاملة.
ربع الدورة = \( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
إذن، الدورة الكاملة \( P = 4 \times \pi = \mathbf{4\pi} \).

ب) إيجاد \( b \)، و\( c \)، والمعادلة:
استخدم صيغة الدورة لإيجاد \( b \):
\( P = \dfrac{2\pi}{|b|} \implies 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{1}{2}} \).

أوجد إزاحة الطور \( c \):
نقطة التقاطع الصاعدة مع محور x تمثل "بداية" دورة الجيب. تحدث عند \( x = \dfrac{6\pi}{5} \)، وهي إزاحة لليمين.
إزاحة الطور = \( \dfrac{6\pi}{5} \).
\( \dfrac{6\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) \).
عوض بـ \( b \): \( c = -\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) = \mathbf{-\dfrac{3\pi}{5}} \).

الخلاصة:

1. السعة (\(a\)):
السعة هي \( \dfrac{5 - (-5)}{2} = 5 \). وبما أن المسألة تشترط \( a < 0 \)، يجب أن نستخدم موجة جيب تمام منعكسة. إذن \( a = -5 \).

2. الدورة (\(b\)):
المسافة الأفقية بين القيمة الصغرى والقيمة العظمى التالية هي نصف دورة تماماً.
نصف الدورة = \( \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \).
الدورة الكاملة \( P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \).
\( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \).

3. إزاحة الطور (\(c\)):
موجة جيب تمام منعكسة \( (- \cos) \) تبدأ طبيعياً عند قيمتها الصغرى. وبما أن القيمة الصغرى لتمثيلنا البياني تقع عند \( x = \dfrac{\pi}{6} \)، فإن التمثيل البياني مزاح لليمين بمقدار \( \dfrac{\pi}{6} \).
إزاحة الطور = \( \dfrac{\pi}{6} \).
\( \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \).
عوض بـ \( b = \dfrac{3}{2} \): \( c = -\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{3\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \).

الخلاصة:

1. فهم متطابقة الدالة المتممة:
دالة الجيب هي ببساطة دالة جيب التمام مزاحة أفقياً. نعلم المتطابقة:
\( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).

2. التعويض بالتعبير الداخلي:
اعتبر تعبيرنا الداخلي بالكامل \( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) بمثابة \( \theta \).
\( y = 3\cos\left( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) \).

3. تبسيط إزاحة الطور:
أوجد مقاماً مشتركاً والثوابت (وهو 6).
\( -\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{2\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{6} \).

الخلاصة:
دالة جيب التمام المكافئة هي:

1. ربط القيمة العظمى بدالة جيب التمام:
تصل الدالة \( y = 8\cos(\theta) \) إلى قيمتها العظمى عندما يكون التعبير الداخلي \( \theta \) مساوياً لـ \( 0, 2\pi, 4\pi, -2\pi \)، إلخ.
لذلك، عند نقطة القيمة العظمى، يمكننا مساواة التعبير الداخلي بـ \( 2k\pi \):

2. التعويض بقيمة x المعروفة:
نعلم أن القيمة العظمى تحدث عند \( x = \dfrac{\pi}{12} \):

3. إيجاد قيم موجبة لـ \( c \):
يمكننا اختبار قيم صحيحة لـ \( k \) لإيجاد نتائج موجبة لـ \( c \).
إذا كانت \( k = 0 \): \( c = - \dfrac{\pi}{3} \) (سالبة، تُهمل).
إذا كانت \( k = 1 \): \( c = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{5\pi}{3}} \).
إذا كانت \( k = 2 \): \( c = 4\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{12\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{11\pi}{3}} \).

الخلاصة:
قيمتان موجبتان محتملتان لـ \( c \) هما \( \dfrac{5\pi}{3} \) و \( \dfrac{11\pi}{3} \). كلاهما ينشئ معادلة صحيحة تصف نفس التمثيل البياني تماماً.