إيجاد الدوال المثلثية بمعرفة تمثيلياتها البيانية (الإزاحة الرأسية)

أ) إيجاد العظمى والصغرى:
نعلم أن المدى القياسي لدالة الجيب الأساسية يقع بين -1 و 1:

اضرب جميع الأجزاء في السعة \( a \) (بافتراض \( a > 0 \)):

أضف الإزاحة الرأسية \( d \) لجميع الأجزاء:

هذا يخبرنا بأعلى وأدنى نقطتين مطلقتين للدالة:

---

ب) الحل لأجل \( a \) و \( d \):
تعامل مع معادلات الجزء (أ) كنظام من المعادلات الخطية:
1) \( d + a = \text{max} \)
2) \( d - a = \text{min} \)

لإيجاد \( d \): اجمع المعادلتين معاً:
\( (d + a) + (d - a) = \text{max} + \text{min} \)
\( 2d = \text{max} + \text{min} \implies \mathbf{d = \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}} \)

لإيجاد \( a \): اطرح المعادلة 2 من المعادلة 1:
\( (d + a) - (d - a) = \text{max} - \text{min} \)
\( 2a = \text{max} - \text{min} \implies \mathbf{a = \dfrac{\text{max} - \text{min}}{2}} \)

1. إيجاد السعة (\(a\)) والإزاحة الرأسية (\(d\)):
اقرأ القيم القصوى من محور y: \( \text{max} = 0 \) و \( \text{min} = -4 \).

2. إيجاد الدورة (\(b\)):
بالنظر إلى التمثيل البياني، تكمل دورة كاملة واحدة بالضبط عند \( x = \dfrac{4\pi}{3} \).
الدورة \( P = \dfrac{4\pi}{3} \).
باستخدام الصيغة: \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{3}{2}} \).

3. إيجاد إزاحة الطور (\(c\)) جبرياً:
معادلتنا الجزئية هي: \( y = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}x + c \right) - 2 \).
نحتاج إلى نقطة واضحة من التمثيل البياني للتعويض بها. عند تقاطع y، يلامس التمثيل البياني القمة: \( (0, 0) \).
عوض بـ \( x = 0 \) و \( y = 0 \):

تساوي دالة الجيب 1 عند \( \dfrac{\pi}{2} \) (زائد أي مضاعف لـ \( 2\pi \)). نختار أبسط قيمة موجبة: \( \mathbf{c = \dfrac{\pi}{2}} \).

الخلاصة:

1. إيجاد السعة (\(a\)) والإزاحة الرأسية (\(d\)):
من التمثيل البياني، \( \text{max} = \dfrac{18}{5} \) و \( \text{min} = -\dfrac{6}{5} \).

2. إيجاد الدورة (\(b\)):
النقطتان المعطتان \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) (قمة) و \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) (قاع) تثلان نصف دورة موجة تماماً.
نصف الدورة = \( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5} \).
الدورة الكاملة \( P = 2 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5} \).
باستخدام الصيغة: \( \dfrac{8}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8b = 10\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{5\pi}{4}} \).

3. إيجاد إزاحة الطور (\(c\)) جبرياً:
معادلتنا الجزئية هي: \( y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}x + c \right) + \dfrac{6}{5} \).
عوض بنقطة القمة \( x = \dfrac{3}{5}, y = \dfrac{18}{5} \):

اطرح \( \dfrac{6}{5} \) من الطرفين:
اقسم على \( \dfrac{12}{5} \):

يساوي الجيب 1 عند \( \dfrac{\pi}{2} \). لذلك:

الخلاصة:

أ) إيجاد الدورة:
المعامل \( b \) داخل جيب التمام هو \( \dfrac{\pi}{12} \).
الدورة \( P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 2\pi \times \dfrac{12}{\pi} = \mathbf{24 \text{ ساعة}} \).
(هذا منطقي تماماً لدورة درجات الحرارة اليومية.)

ب) إيجاد درجة الحرارة العظمى:
الدالة على الصورة \( a\cos(bt) + d \). نعلم أن \( \text{max} = d + |a| \).
الإزاحة الرأسية \( d = 30 \) والسعة \( |a| = |-8| = 8 \).
\( \text{max} = 30 + 8 = \mathbf{38^\circ C} \).

ج) تقييم أوقات محددة:
• 12 صباحاً (\(t = 0\)):
\( T(0) = -8\cos(0) + 30 = -8(1) + 30 = \mathbf{22^\circ C} \)

• 6 صباحاً (\(t = 6\)):
\( T(6) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)

• 12 ظهراً (\(t = 12\)):
\( T(12) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos(\pi) + 30 = -8(-1) + 30 = 8 + 30 = \mathbf{38^\circ C} \)

• 6 مساءً (\(t = 18\)):
\( T(18) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)

1. إيجاد السعة (\(a\)) والإزاحة الرأسية (\(d\)):
العظمى = 120، الصغرى = 40.
\( d = \dfrac{120 + 40}{2} = 80 \)
\( a = \dfrac{120 - 40}{2} = 40 \)

2. إيجاد الدورة (\(b\)):
إذا كانت تكمل 5 تذبذبات في الثانية، فالتردد هو 5 هرتز. الدورة هي الزمن اللازم لتذبذب واحد.
الدورة \( P = \dfrac{1}{5} = 0.2 \) ثانية.
\( 0.2 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{2\pi}{0.2} = 10\pi \).

3. تحديد الدالة وإزاحة الطور:
بما أنها تبدأ في أقصى ارتفاع لها عند \( t = 0 \)، فهي تتصرف تماماً كموجة جيب تمام موجبة. لا توجد إزاحة طور مطلوبة (\( c = 0 \)).

الخلاصة:

1. استخدام نقطة الأصل:
تمر الدالة عبر \( (0,0) \).
\( f(0) = A \sin(B \cdot 0) + D \)
\( 0 = A(0) + D \implies \mathbf{D = 0} \).
بما أن \( D = 0 \)، فالتمثيل البياني غير مزاح رأسياً. المحور المركزي هو محور x.

2. استخدام نقطة القمة:
القيمة العظمى هي 6. وبما أن المحور المركزي هو 0، فالصعة تساوي تماماً المسافة من المركز إلى القمة.
لذلك، \( \mathbf{A = 6} \).

3. إيجاد الدورة:
بالنسبة لموجة جيب غير مزاحة (\( D=0 \)، بدون إزاحة طور)، تحدث القيمة العظمى الأولى عند ربع دورتها تماماً.
تحدث القمة عند \( x = \dfrac{\pi}{4} \).
لذلك، \( \dfrac{1}{4} \times P = \dfrac{\pi}{4} \implies P = \pi \).
باستخدام صيغة الدورة: \( \pi = \dfrac{2\pi}{B} \implies \mathbf{B = 2} \).

الخلاصة:
\( A = 6, \quad B = 2, \quad D = 0 \)
المعادلة هي \( \mathbf{f(x) = 6\sin(2x)} \).

1. تحديد المعاملات الثابتة:
الإزاحة الرأسية \( D \) ومعامل التردد \( B \) لا يتغيران بين صوري الجيب وجيب التمام المتكافئة.
\( D = 5 \)
\( B = 4 \)

2. معالجة إشارة السعة:
الدالة الأصلية لها سعة سالبة (\( -3 \)). نحتاج إلى أن يكون \( A > 0 \)، إذن \( A = 3 \).
لاحتواء الإشارة السالبة، يمكننا استخدام الخاصية \( -\sin(\theta) = \sin(\theta \pm \pi) \).
لنضف \( \pi \) إلى التعبير الداخلي:
\( y = 3 \sin\left(4x - \dfrac{\pi}{2} + \pi\right) + 5 \)
\( y = 3 \sin\left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 5 \)

3. التحويل من الجيب إلى جيب التمام:
استخدم متطابقة الدالة المتممة: \( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).
عوض بتعبيرنا الداخلي بالكامل كـ \( \theta \):
\( y = 3 \cos\left( \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) + 5 \)
يلغي المقداران \( \dfrac{\pi}{2} \) و \( -\dfrac{\pi}{2} \) بعضهما البعض تماماً.

الخلاصة:
الدالة المكافئة المبسطة هي: