مسائل هندسية مع حلول للصف الثاني عشر

المثلث $ABC$ يمتلك ضلعين متساويين في الطول وبالتالي فهو مثلث متطابق الضلعين قاعدته $AC$. يُحسب قياس الزاوية $\angle BAC$ كالتالي:

الزاوية $\angle BOC$ هي زاوية مركزية و $\angle BAC$ هي زاوية محيطية، وكلا الزاويتين تقطعان نفس القوس $BC$. وفقاً لمبرهنة الزاوية المحيطية:

لتكن $R_1, R_2$ و $R_3$ هي أنصاف أقطار الدوائر $C_1, C_2$ و $C_3$ حيث $R_1 = R_2 = R$.

ليكن $C_3O$ هو المسافة الرأسية من مركز $C_3$ إلى قطعة الخط الأفقي الواصلة بين المركزين $C_1$ و $C_2$. إذن:

طبق مبرهنة فيثاغورس على المثلث القائم $C_3 O C_1$:

الحل لأجل $C_3O$:

باستخدام المعادلة (I)، نعوض بـ $C_3O$ لنحصل على الارتفاع النهائي $h$:

لتكن $r, R_2$، و $R_3$ هي أنصاف أقطار الدوائر $C_1, C_2$، و $C_3$ على التوالي، مع $R_2 = R_3 = R$. لاحظ أن $r = 10$ سم.

طبق مبرهنة فيثاغورس على المثلث القائم $M C_1 C_3$:

من هندسة الشكل، يمكننا تعويض أطوال الأضلاع بما يعادلها من أنصاف الأقطار: $C_1C_3 = r + R$
$MC_3 = R$
$MC_1 = R - r$

عوض بهذه القيم في المعادلة (I):

فك واختصر المعادلة:

بما أن $R > 0$، اقسم الطرفين على $R$:

عوض بـ $r = 10$ سم:

الزاويتان $\angle BtA$ و $\angle CtD$ متقابلتان بالراس، وبالتالي:

بما أن $\angle BtA = 90^\circ$ وهي زاوية محيطية، فيجب أن يكون $AB$ هو قطر الدائرة (عكس مبرهنة طاليس).

بما أن $CD$ يوازي $AB$، فإن المثلث $BtA$ والمثلث $CtD$ مثلثان متشابهان. تناسب ارتفاعاتهما وقواعدهما المقابلة يمنحنا:

الحل لأجل القطر $AB$:

نصف القطر هو نصف القطر:

أخيراً، احسب مساحة الدائرة:

لنقسّم المربع الكبير إلى أربعة مربعات أصغر برسم خطوط أفقية وعمودية تمر عبر المركز.

تأمل مربعاً صغيراً واحداً (مثل السفلي الأيسر). هذا المربع له طول ضلع $2x$ (نصف $4x$). جزء من هذا المربع مظلل، بينما الجزء الآخر أبيض (غير مظلل). الجزء المظلل محاط بربع دائرة. لنركز على الجزء الأبيض أولاً.

مساحة الركن الأبيض (غير المظلل) في مربع صغير واحد هي مساحة المربع الصغير ناقص مساحة ربع الدائرة:

بالنظر إلى المربع الكبير بأكمله، توجد 8 مناطق بيضاء متطابقة (2 في كل مربع من المربعات الصغرى الأربعة).

المساحة $A$ للجزء المظلل في الشكل بأكمله هي المساحة الكلية للمربع الكبير ناقص المساحات الـ 8 غير المظللة:

ارسم نصف قطر إلى نقطة التماس (مما يشكل زاوية قائمة) ونصف قطر إلى نهاية الوتر. هذا يشكل مثلثاً قائماً.

المثلث القائم له وتر بطول $R$، وأحد الضلعين بطول $r$، والضلع الثاني يساوي تماماً نصف طول الوتر ($20 / 2 = 10$ مم). استخدم مبرهنة فيثاغورس:

مساحة الحلقة $A$ تُحسب بطرح مساحة الدائرة الصغرى من مساحة الدائرة الكبرى:

عوض بـ $R^2 - r^2 = 100$ في صيغة المساحة:

يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام مقدار الضرب الاتجاهي للمتجهين $\mathbf{AB}$ و $\mathbf{AD}$:

أولاً، احسب المتجهين من النقطتين المعطتين $A(-2, -2), B(2, b), D(4, 2)$:

احسب صيغة المحددة للضرب الاتجاهي:

خذ المقدار واجعله مساوياً لـ 80:

بما أن النقطة $B(2, b)$ تقع بوضوح في الربع الأول على الرسم البياني، نختار $b = 14$.

بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن المتجهين المتقابلين متساويان: $\mathbf{AB} = \mathbf{DC}$.

مساواة المركبات المتناظرة: $c - 4 = 4 \implies c = 8$
$d - 2 = 16 \implies d = 18$

الخلاصة:

توجد 3 مثلثات قائمة. استخدم مبرهنة فيثاغورس لكتابة معادلة لكل منها:

حل المعادلة (III) بأخذ الجذر التربيعي (بما أن الأطوال يجب أن تكون موجبة):

اطرح المعادلة (II) من المعادلة (I) للتخلص من $z^2$:

حلل فرق المربعين:

عوض بـ $x + y = 15$ في المعادلة المحللة:

الآن، حل نظام المعادلات الخطية:

بالجمع: $2y = \dfrac{96}{5} \implies \mathbf{y = \dfrac{48}{5}}$
بالطرح: $2x = \dfrac{54}{5} \implies \mathbf{x = \dfrac{27}{5}}$

استخدم المعادلة (I) لإيجاد $z$:

قسّم المستطيل إلى 4 مستطيلات أصغر برسم خطوط عمودية وأفقية تمر عبر النقطة الداخلية.

طبق مبرهنة فيثاغورس على المثلثات القائمة الأربعة المتكونة في الزوايا (لتكن الأضلاع $a, b, c, d$ كما هو موضح في الرسم):

اطرح المعادلة (II) من (I):

اطرح المعادلة (III) من (IV):

اجعل التعبيرين لـ $(a^2 - b^2)$ متساويين:

بسبب التناظر، يمكن تقسيم المنطقة المظللة إلى نصفين متساويين أيمن وأيسر. لنحسب مساحة النصف الأيسر.

النصف الأيسر من منطقة التداخل هو مساحة القطاع الدائري $BOC$ ناقص مساحة المثلث $BOC$. بما أن المسافة بين المركزين هي $6$، فإن طول $OM$ (نصف المسافة) هو $3$.

المثلث $BOM$ هو مثلث قائم، لذا يمكننا إيجاد الزاوية $BOM$:

الزاوية المركزية الكاملة $BOC$ تساوي ضعف $\angle BOM$. لذلك:

1. مساحة القطاع $BOC = \dfrac{1}{2} (2 \angle BOM) r^2$ (بالراديان)

2. مساحة المثلث $BOC = \dfrac{1}{2} \sin(2 \angle BOM) r^2$

المساحة الإجمالية المظللة هي ضعفا النصف الأيسر:

عوض بـ $r = 4$ و $\angle BOM = \arccos(0.75)$:

1. تحديد المبرهنة:
تتطلب هذه المسألة مبرهنة الأوتار المتقاطعة. تنص على أنه عندما يتقاطع وتران داخل دائرة، فإن حاصل ضرب قطعي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب قطعي الوتر الآخر.

2. صياغة المعادلة:

3. التعويض والحل:

1. تفكيك المسدس:
يمكن تقسيم المسدس المنتظم المحاط بدائرة إلى 6 مثلثات متطابقة الأضلاع تماماً برسم خطوط من مركز الدائرة إلى الرؤوس الستة. وبما أنه مسدس منتظم، فإن طول ضلع المسدس يساوي تماماً نصف قطر الدائرة المحيطة ($s = R = 10$).

2. مساحة مثلث متطابق الأضلاع واحد:
صيغة مساحة المثلث متطابق الأضلاع الذي ضلعه $s$ هي:

عوض بـ $s = 10$:

3. المساحة الإجمالية:
اضرب في المثلثات الستة التي تكوّن المسدس:

1. تحديد المبرهنة:
لإيجاد طول المتوسط بمعرفة أضلاع المثلث الثلاثة، نستخدم مبرهنة أبولونيوس، التي تربط طول المتوسط بأطوال أضلاعه:

2. تحديد القطع المستقيمة:
بما أن $AM$ متوسط، فإن $M$ يقسم $BC$ بالتساوي تماماً.

3. التعويض والحل: