إيجاد أصفار كثيرات الحدود

بما أن $p(x)$ يمتلك صفراً عند $x = 2$، فهذا يعني أن $(x - 2)$ هو عامل لـ $p(x)$. نقسم $p(x)$ على $(x - 2)$ باستخدام القسمة المطولة أو القسمة التركيبية:

باستخدام ناتج القسمة، يمكن كتابة $p(x)$ في صورة محللة جزئياً:

بعد ذلك، حلل المقدار التربيعي $x^2 + 7x + 12$. نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما 12 ومجموعهما 7. هذان العددان هما 3 و 4:

عوض بهذه النتيجة مرة أخرى في $p(x)$ للحصول على الصورة المحللة بالكامل:

تُوجد الأصفار بمساواة المعادلة بالصفر: $p(x) = 0$. هذا يعني:

الأصفار النهائية:

الأصفار عند $x = \pm \sqrt{5}$ تتوافق مع العاملين الخطيين:

اضرب هذين العاملين معاً لتكوين قاسم تربيعي. لاحظ أن هذا فرق بين مربعين:

ومن ثم، يمكن كتابة كثير الحدود $p(x)$ على صورة:

أوجد $Q(x)$ باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود:

الآن، حلل المقدار التربيعي $Q(x) = 3x^2 + 5x - 2$:

يمكننا الآن كتابة $p(x)$ تحليلاً كاملاً:

الأصفار النهائية: اجعل كل عامل مساوياً للصفر:

أ) إثبات التكرار 2:
إذا كان $x = 1$ صفراً بتكرار 2، فيجب أن يكون $(x - 1)^2$ عاملاً لـ $p(x)$. فك $(x-1)^2$ يعطي $x^2 - 2x + 1$. قسمة $p(x)$ على $x^2 - 2x + 1$ يجب أن تعطي باقياً يساوي صفر:

بما أن الباقي هو $0$، فإن $x = 1$ هو بالفعل صفر بتكرار $2$.

ب) إيجاد جميع الأصفار:
باستخدام القسمة السابقة، يمكن كتابة $p(x)$ في الصورة المحللة:

حلل المقدار التربيعي $x^2 - 3$ كفرق بين مربعين:

الأصفار النهائية:

ج) رسم التمثيل البياني:
باستخدام الصورة المحللة والأصفار، ننشئ جدول الإشارات. لاحظ أنه عند $x=1$ (تكرار زوجي)، يلامس التمثيل البياني المحور ويرتد، بينما عند $x=\pm\sqrt{3}$ (تكرار فردي)، يقطع المحور.

نستخدم نقاط التقاطع مع محور x، وجدول الإشارات، ونقطة التقاطع مع محور y $(0 , -3)$، والسلوك الطرفي (كلا الطرفين يرتفعان لأنه ذو درجة زوجية ومعامل رئيسي موجب) لإكمال التمثيل البياني:

مبرهنة الأصفار النسبية: إذا كان $p(x)$ كثير حدود بمعاملات صحيحة، فإن أي صفر نسبي على صورة $\dfrac{m}{n}$ (في أبسط صورة) يجب أن يكون فيه $m$ عاملاً للحد الثابت و $n$ عاملاً للمعامل الرئيسي.

الحد الثابت = $2$. عوامل العدد 2 هي: $\pm 1, \pm 2$.
المعامل الرئيسي = $6$. عوامل العدد 6 هي: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

الأصفار النسبية المحتملة ($\dfrac{\text{عوامل } 2}{\text{عوامل } 6}$):

بسبب كثرة القيم المحتملة، نقوم برسم كثير الحدود وتخمين الأصفار من مواقع تقاطعه مع محور $x$. من التمثيل البياني أعلاه، يبدو أن الأصفار قريبة من $-\dfrac{1}{3}$ و $\dfrac{1}{2}$ و $2$.

نحسب $p\left(-\dfrac{1}{3}\right)$ و $p\left(\dfrac{1}{2}\right)$ و $p(2)$ للتحقق:

الأصفار النهائية: تم التحقق من التخمينات الثلاثة. الأصفار هي بالتحديد:

1. التعويض للتبسيط:
لاحظ أن هذا كثير حدود على "الصورة التربيعية". لتكن $u = x^2$. تصبح المعادلة:

2. تحليل المقدار التربيعي:
نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما $-36$ ومجموعهما $-5$. وهما $-9$ و $4$.

3. العودة إلى المتغير $x$:
استبدل $u$ بـ $x^2$ لإيجاد جذور $x$:

الأصفار النهائية:
يمتلك كثير الحدود جذرين حقيقيين وجذرين مركبين: $\mathbf{x = 3, -3, 2i, -2i}$.

1. مبرهنة الجذور المرافقة:
بما أن كثير الحدود ذو معاملات حقيقية، فإن الجذور المركبة تأتي في أزواج مترافقة. لذلك، إذا كان $x = 1 - i$ صفراً، فيجب أن يكون $x = 1 + i$ صفراً أيضاً.

2. بناء الصورة المحللة:
الأصفار الثلاثة هي $2, 1-i, 1+i$. العوامل هي $(x - 2)$، و $(x - (1-i))$، و $(x - (1+i))$. المعادلة العامة هي:

3. فك العوامل المركبة:
جمّع الأجزاء المركبة لاستخدام قانون الفرق بين مربعين:

إذن كثير الحدود هو $P(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$.

4. إيجاد الثابت $a$ باستخدام نقطة التقاطع مع محور y:
معطى أن $P(0) = -4$. عوض بـ $x=0$:

5. الفك إلى الصورة القياسية:

1. تحديد الجذور النسبية المحتملة:
عوامل الحد الثابت (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
عوامل المعامل الرئيسي (2): $\pm 1, \pm 2$.
الجذور المحتملة: $\pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \dfrac{3}{2}, \pm 6$.

2. اختبار الجذور باستخدام مبرهنة العامل:
ليكن $p(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. اختبر $x=1$:

بما أن $p(1) = 0$، فإن $x = 1$ هو جذر، و $(x - 1)$ هو عامل.

3. استخدام القسمة التركيبية للقسمة على $(x - 1)$:

 1 |   2   -1   -7    6
   |        2    1   -6
   ---------------------
       2    1   -6    0
                        

الناتج هو المقدار التربيعي $2x^2 + x - 6$.

4. تحليل المقدار التربيعي المتبقي:
نحتاج إلى تحليل $2x^2 + x - 6 = 0$. نبحث عن عددين حاصل ضربهما $(2)(-6) = -12$ ومجموعهما $1$. وهما $4$ و $-3$.

هذا يعطي الجذرين $x = \dfrac{3}{2}$ و $x = -2$.

الأصفار النهائية: