حل المعادلات اللوغاريتمية مع الحلول للصف الثاني عشر

الخطوة 1: تحديد المجال.
يجب أن تكون ما بداخل اللوغاريتمات موجبة:
$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$
لذلك، المجال لهذه المعادلة هو $1.5 < x < 3$.

الخطوة 2: أعد كتابة المعادلة بحيث تكون حدود اللوغاريتم في طرف واحد:

الخطوة 3: استبدل $-2$ بـ $\log 10^{-2}$:

الخطوة 4: استخدم قاعدة القسمة $\log A - \log B = \log\left(\dfrac{A}{B}\right)$:

الخطوة 5: الدالة $\log(x)$ تقابلية (واحدة لواحد)، إذن نستنتج:

الخطوة 6: حل بالنسبة لـ $x$:

الخطوة 7: التحقق مقابل المجال.
$\dfrac{101}{67} \approx 1.507$. بما أن $1.507$ يقع بين $1.5$ و $3$، فالصيغة صحيحة.
الإجابة النهائية: $x = \dfrac{101}{67}$

الخطوة 1: تحديد المجال.
$x > 0$
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ أو $x < -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
تقاطع هذه الشروط هو $x > 1$. المجال هو $(1, \infty)$.

الخطوة 2: استخدم قواعد اللوغاريتمات لإعادة كتابة كلا الطرفين (قاعدة القسمة على اليسار، وقاعدة القوة على اليمين):

الخطوة 3: احذف اللوغاريتمات (خاصية التقابل):

الخطوة 4: بما أن $x > 1$، فإن $x - 1 \neq 0$. اضرب الطرفين في $(x - 1)^2(x + 1)$ لتبسيط المقامات:

الخطوة 5: حل المعادلة التربيعية:

الجذور: $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ و $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41$

الخطوة 6: التحقق مقابل المجال.
$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ ليست أكبر من $1$، لذلك تُرفض (حل دخيل).
الإجابة النهائية: $x = 1 + \sqrt{2}$

الخطوة 1: تحديد المجال.
$2x - 9 > 0 \Rightarrow x > 4.5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
التقاطع هو $x > 4.5$. المجال هو $(4.5, \infty)$.

الخطوة 2: انقل اللوغاريتمات إلى طرف واحد واستبدل $2$ بـ $\log_2 4$:

الخطوة 3: طبق قاعدة الضرب:

الخطوة 4: ساوي ما بداخل اللوغاريتم وفك الأقواس:

الخطوة 5: حل المعادلة التربيعية بالتحليل:

الجذور: $x = \dfrac{1}{2}$ و $x = 5$.

الخطوة 6: التحقق مقابل المجال.
$x = \dfrac{1}{2}$ أصغر من $4.5$، لذا فهو حل دخيل. فقط $x = 5$ يقع ضمن المجال.
الإجابة النهائية: $x = 5$

الخطوة 1: تحديد المجال.
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
التقاطع هو $x > -1$. المجال هو (-1, \infty)$.

الخطوة 2: طبق قاعدة القوة على الطرفين:

الخطوة 3: طبق قاعدة القسمة:

الخطوة 4: احذف اللوغاريتم الطبيعي وحل:

الخطوة 5: تحليل المقدار التربيعي:

الخطوة 6: التحقق مقابل المجال.
$x = 1$ أكبر من $-1$، إذن الحل صحيح.
الإجابة النهائية: $x = 1$

الخطوة 1: تحديد المجال.
من $\log_2(x)$، $x > 0$.
من $\log_2(x^2)$، $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
التقاطع هو $x > 0$. المجال هو $(0, \infty)$.

الخطوة 2: استخدم قاعدة القوة لتبسيط الحد الثاني:

الخطوة 3: استخدم التعويض. لتكن $u = \log_2(x)$:

الخطوة 4: حل بالنسبة لـ $u$ بالتحليل:

الخطوة 5: أعد التعويض لإيجاد قيمة $x$:

الخطوة 6: التحقق مقابل المجال.
كل من $16$ و $\dfrac{1}{4}$ أكبر تماماً من $0$.
الإجابة النهائية: $x = 16$ و $x = \dfrac{1}{4}$

الخطوة 1: تحديد المجال.
للوغاريتم الداخلي: $x > 0$.
للوغاريتم الخارجي: $\log(x) > 0 \Rightarrow x > 1$.
التقاطع هو $x > 1$. المجال هو $(1, \infty)$.

الخطوة 2: اقسم الطرفين على $10$:

الخطوة 3: حول اللوغاريتم الخارجي إلى الصورة الأسية (الأساس 10):

الخطوة 4: حول اللوغاريتم الداخلي إلى الصورة الأسية:

الخطوة 5: التحقق مقابل المجال.
$18.15 > 1$، إذن الحل صحيح.
الإجابة النهائية: $x = 10^{\left(10^{0.1}\right)}$