أسئلة على الدوال العكسية مع الحلول

يظهر أدناه التمثيل البياني لـ $f(x) = 2 x^3 - 1$.
1) ارسم التمثيل البياني لدالة العكس لـ $f$ في نفس نظام المحاور.
2) أوجد دالة العكس لـ $f$ وتأكد من إجابتك باستخدام بعض النقاط.

---

1) الحل البياني: حدد النقاط التي يمكن تحديد إحداثياتها $(a , b)$ بسهولة من التمثيل البياني لـ $f$:

على التمثيل البياني للدالة العكسية، سيكون لهذه النقاط إحداثيات مبدلة $(b , a)$:

ارسم النقاط وخطط التمثيل البياني لدالة العكس لـ $f$ بحيث يكون التمثيلان البيانيان منعكسين عبر $y = x$.

2) الحل التحليلي: اكتب الدالة كمعادلة بمتغيرين:

حل بالنسبة لـ $x$:

ابدل بين $x$ و $y$ لكتابة دالة العكس:

التحقق: تأكد من أن النقطتين (-1, 0) و (-3, -1) تقعان على $f^{-1}$:

كلا النقطتين تحققان المعادلة بشكل صحيح.

الخطوة 1: تحديد تعيين المجال والمدى.
نحن معطاون دالة تربيعية بمجال مقيّد: $x \leq 2$. دعنا نكتب الدالة بالصورة القياسية (صورة الرأس) بإكمال المربع:

الرأس هو $(2, 1)$ والقطع المكافئ يفتح للأعلى. بما أن المجال يقيدنا بالنصف الأيسر ($x \leq 2$)، فإن مدى $f$ هو $y \geq 1$.
لذلك، بالنسبة لـ $f^{-1}$:
مجال $f^{-1}$: $[1, \infty)$
مدى $f^{-1}$: $(-\infty, 2]$

الخطوة 2: الكتابة كمعادلة وحل بالنسبة لـ $x$.

أخذ الجذر التربيعي يعطي حلين:

الخطوة 3: اختر الفرع الصحيح باستخدام قيد المدى.
بما أن مدى الدالة العكسية يجب أن يكون $x \leq 2$ (من المجال الأصلي)، يجب علينا اختيار فرع الجذر التربيعي السالب:

الخطوة 4: التبديل بين $x$ و $y$.

الإجابة النهائية: $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$ مع المجال $[1, \infty)$ والمدى $(-\infty, 2]$.

---

1) الحل البياني: حدد بعض النقاط على التمثيل البياني لـ $f(x)$. قائمة محتملة للإحداثيات $(a, b)$ هي:

ابدل الإحداثيات إلى $(b, a)$ لتمثيل دالة العكس بيعانياً:

ارسم هذه النقاط لتخطيط $f^{-1}$ منعكساً عبر $y = x$.

2) الحل التحليلي:
إعداد المجال والمدى: من التمثيل البياني (أو جبرياً $2x-3 \geq 0$)، مجال $f$ هو $x \geq 1.5$ والمدى هو $y \geq 0$. لذلك، سيكون مجال $f^{-1}$ هو $x \geq 0$.

اكتب كمعادلة:

ربع الطرفين وحل بالنسبة لـ $x$:

ابدل بين $x$ و $y$ وطبق قيد المجال:

ارسم التمثيل البياني لـ $f^{-1}$ باستخدام التمثيل البياني المعطى لـ $y = f(x)$ وحدد معادلتها تحليلرياً.

---

1) الحل البياني: استخرج الرؤوس الأساسية من الدالة المتشعبة $f(x)$:

ابدل الإحداثيات لإيجاد رؤوس $f^{-1}(x)$:

2) إيجاد $f^{-1}(x)$ تحليلرياً: نحتاج إلى إيجاد معادلات القطعتين الخطيتين للتمثيل البياني العكسي.

القطعة الأولى: بين قيم $x$ التي تساوي $-3$ و $-1$. تمر بالنقطتين (-3, 5) و (-1, 2).
الميل $m_1$:

المعادلة (باستخدام صيغة الميل والنقطة مع النقطة (-1,2)):

القطعة الثانية: بين قيم $x$ التي تساوي $-1$ و $3$. تمر بالنقطتين (-1, 2) و (3, 0).
الميل $m_2$:

المعادلة (باستخدام صيغة الميل والنقطة مع النقطة (3,0)):

(ملاحظة: هذا يكافئ جبرياً الصيغة $-\dfrac{1}{2}(x+1)+2$).

الخلاصة (دالة العكس المتشعبة):

الخطوة 1: تحديد المجال والمدى.
تكون الدالة $f(x)$ معرفة إذا كان ما تحت الجذر العكسي أكبر من أو يساوي الصفر والمقام لا يساوي الصفر:

تحليل الإشارات عند القيم الحرجة $x=0$ و $x=2$ يعطي المجال:
مجال $f$: $(0, 2]$

بما أن الجذر يعطي قيمة موجبة (أو صفراً) ومضروباً في إشارة سالبة، فإن المدى هو جميع الأعداد غير الموجبة.
مدى $f$: $(-\infty, 0]$

لذلك، بالنسبة لدالة العكس:
مجال $f^{-1}$: $(-\infty, 0]$
مدى $f^{-1}$: $(0, 2]$

الخطوة 2: رسم التمثيل البياني.
النقاط على $f$: (2 , 0) و (1 , -1).
النقاط على $f^{-1}$: (0 , 2) و (-1 , 1).

الخطوة 3: أوجد $f^{-1}(x)$ تحليلرياً.

ربع الطرفين (يتطلب هذا تتبع مجالنا لتجنب الحلول الدخيلة):

ابدل بين $x$ و $y$، واكتب قيد المجال المطلوبة:

يظهر أدناه التمثيلات البيانية لـ 6 دوال. ارسم التمثيل البياني لدالة العكس لكل دالة.

---

الحل: لكل تمثيل بياني، حدد النقاط التي يسهل تحديد إحداثياتها. استخدم هذه النقاط ومبدأ الانعكاس عبر الخط $y = x$ لتخطيط الدوال العكسية.

الخطوة 1: تحديد المجال والمدى.
لكي يكون اللوغاريتم معرفاً، يجب أن يكون ما بداخله موجباً: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
تخرج اللوغاريتمات جميع الأعداد الحقيقية، لذا فإن المدى غير مقيّد.
مجال $f$: $(-2, \infty)$
مدى $f$: $(-\infty, \infty)$

لذلك، بالنسبة لدالة العكس:
مجال $f^{-1}$: $(-\infty, \infty)$
مدى $f^{-1}$: $(-2, \infty)$

الخطوة 2: الحل جبرياً.

حول إلى الصورة الأسية:

الخطوة 3: التبديل بين $x$ و $y$.

إذا كانت $f(x) = \ln(x) + 4x - 8$، فما هي قيمة $f^{-1}(-4)$؟

---

الحل: لسنا بحاجة لإيجاد معادلة دالة العكس كاملة. ليكن $a = f^{-1}(-4)$. باستخدام خاصية التركيب للدوال العكسية $f(f^{-1}(x)) = x$، نعلم أن:

نحتاج إلى إيجاد قيمة $a$ بحيث تكون $f(a) = -4$:

لا يمكن حل هذه المعادلة التجاوزية جبرياً بشكل بحت، ولكن يمكن تقريب حلها بيانياً كنقطة تقاطع التمثيلات البيانية لكل من $y = \ln(x)$ و $y = 4 - 4x$.

يقع التقاطع بدقة عند $a = 1$. يمكننا التحقق من ذلك جبرياً:

الإجابة النهائية: