أسئلة تمثيل كثيرات الحدود بيانيا مع الحلول

تعلم كيفية استخدام خصائص تمثيلات كثيرات الحدود البيانية لتحديد ومطابقة كثيرات الحدود مع معادلاتها. تتضمن مسائل الرياضيات هذه للصف الثاني عشر حلولاً مفصلة وتفسيرات بيانية تركز على الجذور، والتضاعف، وسلوك النهايات.

الخصائص الرئيسية لتمثيلات كثيرات الحدود البيانية

سلوك النهايات (درجة زوجية): إذا كان المعامل الرئيسي $a > 0$، فإن كلا الطرفين يرتفعان. إذا كان $a < 0$، فإن كلا الطرفين ينخفضان.

سلوك النهايات (درجة فردية): إذا كان $a > 0$، الطرف الأيسر ينخفض والطرف الأيمن يرتفع. إذا كان $a < 0$، الطرف الأيسر يرتفع والطرف الأيمن ينخفض.

التضاعف 1: يقطع التمثيل البياني محور x بشكل مستقيم عبر الجذر.

تضاعف زوجي (2، 4، 6...): يمس التمثيل البياني محور x ويعود أدراجه (مماس).

تضاعف فردي > 1 (3، 5...): يقطع التمثيل البياني محور x ولكنه يتسطح أثناء مروره.

🔍 التحقق التحليلي: نقطة التقاطع مع محور الصادات (y-intercept)

عند مطابقة التمثيل البياني بمعادلة، تحقق دائماً من نقطة التقاطع مع محور y بحساب $p(0)$. يخبرك الحد الثابت لكثيرة الحدود المفكوكة فوراً بالمكان الذي يجب أن يقطع فيه التمثيل البياني محور y، وغالباً ما تكون هذه أسرع طريقة لاستبعاد الخيارات الخاطئة.

الأسئلة: مطابقة وتحديد كثيرات الحدود

السؤال 1: استبعاد التمثيلات البيانية غير الصحيحة

أعطِ أربعة أسباب مختلفة تجعل التمثيل البياني أدناه مستحيلاً أن يكون تمثيلاً بيانياً لدالة كثيرات الحدود:

\[ p(x) = x^4 - x^2 + 1 \]
التمثيل البياني لكثير الحدود في السؤال 1

الحل: الأسباب الأربعة هي:

  1. التناظر: دالة كثيرات الحدود المعطاة $p(x) = x^4 - x^2 + 1$ تحتوي فقط على أسس زوجية، مما يجعلها دالة زوجية. لذلك، يجب أن يكون تمثيلها البياني متناظراً بالنسبة لمحور y. التمثيل البياني المعطى ليس متناظراً بالنسبة لمحور y.
  2. الجذور الحقيقية: يمكن تحليل كثيرة الحدود $p(x)$ بالتعويض بـ $u = x^2$. مميز المعادلة $u^2 - u + 1$ هو $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$. بما أن المميز سالب، فليس لكثيرة الحدود جذور حقيقية. ومع ذلك، فإن التمثيل البياني المعطى يحتوي بوضوح على نقاط تقاطع مع محور x.
  3. نقطة التقاطع مع محور y: تُحسب نقطة التقاطع مع محور y بتقييم $p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$، وهي موجبة. نقطة التقاطع مع محور y في التمثيل البياني المعطى سالبة بوضوح.
  4. سلوك النهايات: نظراً لوجود معامل رئيسي موجب ($a = 1$) ودرجة زوجية ($n = 4$)، يجب أن يكون لكثيرة الحدود تمثيل بياني ترتفع فيه الجهتان اليمنى واليسرى ($y \to \infty$). في التمثيل البياني المعطى، كلا الجهتين تنخفضان.
السؤال 2: مطابقة المعادلات مع التمثيلات البيانية المعقدة

طابق دوال كثيرات الحدود مع تمثيلاتها البيانية حيث تظهر جميع نقاط التقاطع مع محور x.

\[ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 \]
\[ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 \]
\[ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) \]
\[ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 \]
\[ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 \]
\[ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) \]
التمثيل البياني لكثير الحدود في السؤال 2

الحل:

وفقاً لمعادلاتها، فإن جميع دوال كثيرات الحدود الست المعطاة من الدرجة 5 (مجموع أسس العوامل). ومع ذلك، فإن معاملاتها الرئيسية ذات إشارات مختلفة. نصنف كثيرات الحدود إلى مجموعتين:

المجموعة الأولى: المعاملات الرئيسية الموجبة

كثيرات الحدود $f$، و $h$، و $i$ لها معاملات رئيسية موجبة.

\[ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 \]
\[ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) \]
\[ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 \]

نظراً لكونها من الدرجة 5 (فردية) ومعاملات رئيسية موجبة، فإن هذه التمثيلات البيانية لها سلوك النهايات التالي:
عندما $x \to \infty$، $y \to \infty$ (الطرف الأيمن يرتفع).
عندما $x \to -\infty$، $y \to -\infty$ (الطرف الأيسر ينخفض).

تتطابق التمثيلات البيانية المعطاة في الأجزاء أ (e)، ج (c)، و هـ (a) مع سلوك النهايات هذا. نُطابقها باستخدام جذورها والتضاعف:

  1. كثير الحدود $f(x)$ له جذر ذو تضاعف 1 عند $x = -1$ (يقطع)، وتضاعف 2 عند $x = 1$ (يمس)، وتضاعف 2 عند $x = -2$ (يمس). هذا يتطابق مع التمثيل البياني e.
  2. كثير الحدود $h(x)$ له جذر ذو تضاعف 1 عند $x = -1$ (يقطع)، وتضاعف 3 عند $x = 1$ (يقطع ويتسطح)، وتضاعف 1 عند $x = 3$ (يقطع). هذا يتطابق مع التمثيل البياني a.
  3. كثير الحدود $i(x)$ له جذر ذو تضاعف 2 عند $x = -1$ (يمس) وتضاعف 3 عند $x = 2$ (يقطع ويتسطح). هذا يتطابق مع التمثيل البياني c.

المجموعة الثانية: المعاملات الرئيسية السالبة

كثيرات الحدود $g$، و $j$، و $k$، عند فكها، لها معاملات رئيسية سالبة (ملاحظة: بالنسبة لـ $j(x)$، فإن العامل $(1-x)$ ينتج المعامل السالب).

\[ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 \]
\[ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 \]
\[ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) \]

نظراً لكونها من الدرجة 5 (فردية) ومعاملات رئيسية سالبة، فإن هذه التمثيلات البيانية لها سلوك النهايات التالي:
عندما $x \to \infty$، $y \to -\infty$ (الطرف الأيمن ينخفض).
عندما $x \to -\infty$، $y \to \infty$ (الطرف الأيسر يرتفع).

تتطابق التمثيلات البيانية المعطاة في الأجزاء ب (f)، د (d)، و و (b) مع هذا السلوك. نُطابقها باستخدام جذورها:

  1. كثير الحدود $g(x)$ له جذر ذو تضاعف 1 عند $x = -1$ (يقطع)، وتضاعف 4 عند $x = 1$ (يمس). هذا يتطابق مع التمثيل البياني f.
  2. كثير الحدود $j(x)$ له جذر ذو تضاعف 2 عند $x = -1$ (يمس)، وتضاعف 1 عند $x = 1$ (يقطع)، وتضاعف 2 عند $x = 2$ (يمس). هذا يتطابق مع التمثيل البياني d.
  3. كثير الحدود $k(x)$ له جذر ذو تضاعف 2 عند $x = -1$ (يمس)، وتضاعف 2 عند $x = 1$ (يمس)، وتضاعف 1 عند $x = 3$ (يقطع). هذا يتطابق مع التمثيل البياني b.

مسائل التحدي للمزيد من التدريب

اختبر فهمك لسلوك النهايات، والتضاعفات، وتمثيل كثيرات الحدود بيانيا:

  1. التحدي 1: كثير حدود من الدرجة 4 له جذر مزدوج عند $x=2$، وجذر مفرد عند $x=-1$، وجذر مفرد عند $x=4$. نقطة التقاطع مع محور y تقع عند $(0, 16)$. اكتب معادلة كثير الحدود بالشكل المفكوك (العوامل).
  2. التحدي 2: حدد سلوك النهايات لكثير الحدود $P(x) = -3x^2(x-4)^3(2x+1)^2$. (تلميح: ما هي الدرجة والمعامل الرئيسي؟)
  3. التحدي 3: صح أم خطأ: إذا قطع تمثيل بياني لكثير حدود محور x عند $x=c$ دون أن يتسطح، فيجب أن يكون للعامل $(x-c)$ تضاعف يساوي 1 بالضبط.
انقر هنا لعرض الإجابات النهائية
  • الإجابة 1: $P(x) = -1(x-2)^2(x+1)(x-4)$. (تم إيجاد المعامل $a=-1$ بتعويض $P(0) = a(-2)^2(1)(-4) = -16a = 16$).
  • الإجابة 2: الدرجة هي $2 + 3 + 2 = 7$ (فردية). المعامل الرئيسي سالب ($-3 \times 1^3 \times 2^2 = -12$). لذلك، عندما $x \to -\infty$، $y \to \infty$؛ وعندما $x \to \infty$، $y \to -\infty$.
  • الإجابة 3: صحيح. التضاعف 3 أو أعلى (فردي) سيقطع المحور ولكنه سيتسطح بشكل ملحوظ (نقطة انقلاب) عند الجذر.

روابط ومراجع