مسائل على الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد مع حلول تفصيلية

استكشف مجموعة متنوعة من المسائل على الخطوط ثلاثية الأبعاد مع حلول خطوة بخطوة وشروحات واضحة. تعلم كيفية حل مسائل الهندسة والمتجهات التي تتضمن خطوطاً في الفضاء ثلاثي الأبعاد — مثالية للطلاب، والمعلمين، وكل من يستعد لاختبارات الرياضيات المتقدمة.

الصيغ الرئيسية للخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد

المعادلة المتجهة: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle + t \langle a, b, c \rangle $$

المعادلات الوسيطية (البارامترية): $$ x = x_0 + at, \quad y = y_0 + bt, \quad z = z_0 + ct $$

المعادلات المتماثلة (الاحداثية): $$ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $$

المسافة من نقطة إلى خط: $$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$

الأسئلة: الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد

المسألة 1: تحويل الصيغة المتجهة

اكتب معادلة الخط المعطاة بالصيغة المتجهة بواسطة $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle $$ بالصيغتين الوسيطية والمتماثلة.

الحل:

تساوي مركبات المتجه في المعادلة المتجهة أعلاه يعطي الصيغة الوسيطية:

$$ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t $$

حل بالنسبة لـ $t$ من كل معادلة مما سبق:

$$ t = \frac{x + 2}{3}, \quad t = \frac{y - 3}{2}, \quad t = \frac{z}{5} $$

بما أن جميعها تساوي $t$، فإن الصيغة المتماثلة للمعادلة هي:

$$ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{5} $$
المسألة 2: الصيغة المتماثلة من نقطة ومتجه

أوجد الصيغة المتماثلة لمعادلة الخط المار بالنقطة $P(1, -2, 3)$ والموازي للمتجه $\vec{n} = \langle 2, 0, -3 \rangle$.

الحل:

المعادلة المتجهة: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle $$

تساوي مركبات المتجه: $$ x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t $$

حل بالنسبة لـ $t$: $$ t = \frac{x - 1}{2}, \quad t = \frac{z - 3}{-3} $$

لأن الاتجاه في محور $y$ هو $0$، فإن $y$ ثابتة وتساوي $-2$. الصيغة المتماثلة هي:

$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 $$
المسألة 3: خط يمر بنقطتين

أوجد المعادلات الوسيطية للخط المار بالنقطتين $P(1, 2, 3)$ و $Q(0, -2, 1)$.

الحل:

متجه الاتجاه $\vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle$

المعادلة المتجهة: $$ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle $$

تساوي مركبات المتجه في المعادلة المتجهة أعلاه يعطي:

$$ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t $$
المسألة 4: الخطوط المتوازية

أوجد المعادلات الوسيطية للخط الذي يمر بالنقطة $P(-3, 5, 2)$ ويوازي الخط الذي معادلاته: $$ x = 2t + 5, \quad y = -4t, \quad z = -t + 3 $$

الحل:

اكتب الخط المعطى بالصيغة المتماثلة:

$$ \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 3}{-1} $$

متجه الاتجاه هو: $\langle 2, -4, -1 \rangle$

الخط المار بالنقطة $P(-3, 5, 2)$ يوازي الخط المعطى وبالتالي لهما نفس متجه الاتجاه. المعادلات الوسيطية للخط المار بالنقطة $P$ هي:

$$ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t $$
المسألة 5: خط عمودي على خطين

أوجد معادلة خط يمر بالنقطة $P(1 , -2 , 3)$ وعمودي على الخطين $L_1$ و $L_2$ المعطيين كالتالي:

الخط $L_1$: $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z + 9}{4} $$

الخط $L_2$: $$ x = 3t - 4, \quad y = -t + 6, \quad z = 5t $$

الحل:

الخط $L$ (المراد إيجاده) عمودي على الخطين $L_1$ و $L_2$، وبالتالي فهو عمودي على متجهي اتجاههما $\vec{d}_1$ و $\vec{d}_2$. ومنه، فإن حاصل الضرب الاتجاهي (التقاطعي) لـ $\vec{d}_1$ و $\vec{d}_2$ يعطي متجه الاتجاه للخط $L$.

من المعادلة المتماثلة لـ $L_1$، متجه الاتجاه هو: $$ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle $$

متجه الاتجاه لـ $L_2$ هو: $$ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle $$

متجه الاتجاه للخط $L$ يمكن أخذه كحاصل الضرب الاتجاهي:

$$ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle $$

معادلة الخط $L$ المار بالنقطة $P(1, -2, 3)$ والموازي للمتجه $\vec{d}$ تُعطى بواسطة:

$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle $$
المسألة 6: تقاطع خطين

أوجد نقطة تقاطع الخطين $L_1$ و $L_2$ في الفضاء ثلاثي الأبعاد والمعرفين كالتالي:

الخط $L_1$: $$ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 $$

الخط $L_2$: $$ \frac{x - 7}{4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 2}{-3} $$

الحل:

اكتب معادلات الخط $L_2$ بالصيغة الوسيطية باستخدام وسيط (بارامتر) مختلف $s$:

$$ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 $$

لتكن $A(x, y, z)$ هي نقطة التقاطع. مساواة الإحداثيات تعطي النظام:

$$ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) $$
$$ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) $$
$$ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) $$

أعِد كتابة المعادلتين (1) و (2):

$$ 2t - 4s = 8 \quad \text{و} \quad -3t - 2s = -4 $$

حل بالنسبة لـ $t$ و $s$: $$ t = 2 \quad \text{و} \quad s = -1 $$

تحقق من هذه القيم في المعادلة (3):

الطرف الأيسر: $4(2) - 3 = 5$. الطرف الأيمن: $-3(-1) + 2 = 5$. القيمتان متطابقتان، لذا فالخطان يتقاطعان.

عوض بـ $t=2$ مرة أخرى في معادلات $L_1$ لإيجاد نقطة التقاطع:

$$ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 $$
المسألة 7: الزاوية بين خطين

أوجد الزاوية بين الخطين $L_1$ و $L_2$ المعطيين بالمعادلات المتماثلة:

$$ L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{-4} $$
$$ L_2: \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2} $$

الحل:

ليكن $\mathbf{d}_1$ و $\mathbf{d}_2$ هما متجهي الاتجاه للخطين $L_1$ و $L_2$.

$$ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \quad \text{و} \quad \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle $$

الزاوية $\theta$ بين الخطين $L_1$ و $L_2$ تساوي الزاوية بين متجهي اتجاهيهما، وتُعطى بالصيغة:

$$ \theta = \arccos\left( \frac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) $$

احسب حاصل الضرب النقطي (القياسي):

$$ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 $$

بما أن حاصل الضرب النقطي يساوي $0$ والمقادير لا تساوي صفراً:

$$ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $$
المسألة 8: خطوط متطابقة

بيّن أن المعادلات المتماثلة المعطاة أدناه تمثل نفس الخط.

الخط $L_1$: $$ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{4} $$

الخط $L_2$: $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{8} $$

الحل:

يمكننا تبيان أن الخطين يشتركان في نقطتين. أعِد كتابة المعادلتين بالصيغة الوسيطية كالتالي:

$$ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t $$
$$ L_2: \quad x = 1 - 2s, \quad y = 2 + 4s, \quad z = 3 + 8s $$

النقطة $P_1$ على $L_1$: $(2, 0, -1)$

النقطة $P_2$ على $L_2$: $(1, 2, 3)$

تحقق من أن النقطة $P_1(2, 0, -1)$ تقع على $L_2$ باستخدام المعادلات المتماثلة لـ $L_2$:

$$ \frac{2 - 1}{-2} = \frac{0 - 2}{4} = \frac{-1 - 3}{8} = -\frac{1}{2} $$

جميع الحدود متساوية، لذا $P_1$ تقع على $L_2$.

تحقق من أن النقطة $P_2(1, 2, 3)$ تقع على $L_1$ باستخدام المعادلات المتماثلة لـ $L_1$:

$$ \frac{1 - 2}{-1} = \frac{2}{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$

جميع الحدود متساوية، لذا $P_2$ تقع على $L_1$.

بما أنهما يشتركان في نقطتين مختلفتين على الأقل، فإن المعادلتين تمثلان نفس الخط.

المسألة 9: المسافة من نقطة إلى خط

أوجد المسافة بين النقطة $P_0(1, -2, 3)$ والخط المعطى بالمعادلة المتجهة: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 3, 0 \rangle + t \langle -2, 3, 1 \rangle $$

الحل:

وفقاً للمعادلة، تقع النقطة $P(2, 3, 0)$ على الخط. متجه الاتجاه هو $\vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle$.

المسافة $D$ من الخط إلى النقطة $P_0$ تُعطى بواسطة:

$$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$

لتكن $\vec{P_0P} = \langle 2-1, 3-(-2), 0-3 \rangle = \langle 1, 5, -3 \rangle$.

إذن، $\vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 1, 5, -3 \rangle \times \langle -2, 3, 1 \rangle = \langle 14, 5, 13 \rangle$.

$$ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{196 + 25 + 169} = \sqrt{390} $$
$$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$
$$ D = \frac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} $$
المسألة 10: أقصر مسافة بين خطين

أوجد أقصر مسافة بين الخطين $L_1$ و $L_2$ المعرفين بمعادلتيهما:

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle -1, 4, -4 \rangle $$
$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

الحل:

النقاط $P_1(2, 0, -1)$ و $P_2(1, -2, 3)$ هي نقاط على الخطين $L_1$ و $L_2$ على التوالي. متجهات الاتجاه هي:

$$ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{و} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle $$

أقصر مسافة $D$ بين الخطين تُعطى بالصيغة:

$$ D = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} $$

حيث $\mathbf{n}$ هو حاصل الضرب الاتجاهي لـ $\mathbf{d}_1$ و $\mathbf{d}_2$.

$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle $$
$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle 1-2, -2-0, 3-(-1) \rangle = \langle -1, -2, 4 \rangle $$
$$ D = \frac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \frac{| -36 + 72 |}{18\sqrt{2}} = \frac{36}{18\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$
المسألة 11: شروط توازي خطين

أوجد قيمة $b$ لكي يكون الخطان $L_1$ و $L_2$ المعطيان بمعادلتيهما أدناه متوازيين.

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle 10, b, 4 \rangle $$
$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

الحل:

يجب أن تكون متجهات الاتجاه متناسبة: $$ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle $$

من المركبة الأولى: $$ 10 = -5k \implies k = -2 $$

من المركبة الثالثة (للتحقق): $$ 4 = k(-2) \implies k = -2 $$

من المركبة الثانية: $$ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 $$

المسألة 12: خط متقاطع وعمودي

أوجد معادلة خط يمر بالنقطة $P(1, -2, 3)$ ويقطع الخط المعطى بالمعادلات الوسيطية $$ x = -3 + t, \quad y = 3 + t, \quad z = -1 + t $$ ويكون عمودياً عليه. أيضاً، أوجد نقطة تقاطع الخطين.

الحل:

معادلة الخط المراد إيجاده: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle a, b, c \rangle $$

عمودي على: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + t \langle 1, 1, 1 \rangle $$

التقاطع يتطلب إيجاد نقطة محددة $M(x_0, y_0, z_0)$ على الخط المعطى بحيث يكون $\vec{PM}$ عمودياً على اتجاه الخط المعطى $\langle 1,1,1 \rangle$.

$\vec{PM} = \langle -3+t - 1, 3+t - (-2), -1+t - 3 \rangle = \langle t-4, t+5, t-4 \rangle$.

بما أن $\vec{PM}$ عمودي على $\langle 1,1,1 \rangle$، فإن حاصل ضربهما النقطي يساوي صفراً:

$$ (t-4)(1) + (t+5)(1) + (t-4)(1) = 0 $$
$$ 3t - 3 = 0 \implies t = 1 $$

نقطة التقاطع $M$ (عندما $t=1$) هي: $$ M(-3+1, 3+1, -1+1) = (-2, 4, 0) $$

متجه الاتجاه $\vec{PM}$ هو $\langle 1-4, 1+5, 1-4 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle$. يمكن تحجيمه (تبسيطه) إلى $\langle 1, -2, 1 \rangle$.

معادلة الخط الجديد: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle 1, -2, 1 \rangle $$

المسألة 13: التحقق من وجود نقاط على خط

أي من النقاط $A(3, 4, 4)$، $B(0, 5, 3)$، و $C(6, 3, 7)$ تقع على الخط المعرف بالمعادلات الوسيطية $$ x = 3t + 3, \quad y = -t + 4, \quad z = 2t + 5 $$

الحل:

اكتب صيغة المعادلات المتماثلة للخط: $$ \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 5}{2} $$

النقطة A $(3, 4, 4)$: $$ \frac{3 - 3}{3} = 0, \quad \frac{4 - 4}{-1} = 0, \quad \frac{4 - 5}{2} = -\frac{1}{2} $$
العبارة الأخيرة لا تساوي العبارتين الأوليين، وبالتالي فإن $A$ لا تقع على الخط.

النقطة B $(0, 5, 3)$: $$ \frac{0 - 3}{3} = -1, \quad \frac{5 - 4}{-1} = -1, \quad \frac{3 - 5}{2} = -1 $$
جميع العبارات متساوية، وبالتالي فإن $B$ تقع على الخط.

النقطة C $(6, 3, 7)$: $$ \frac{6 - 3}{3} = 1, \quad \frac{3 - 4}{-1} = 1, \quad \frac{7 - 5}{2} = 1 $$
جميع العبارات متساوية، وبالتالي فإن $C$ تقع على الخط.

روابط ومراجع